1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 63
Текст из файла (страница 63)
и у — ': Т вЂ” »Т.'- в приложениях чаше всего происходят из симметричной невырожденной билинейной формы д» на !.. Поскольку она сама является тензором, операции подъема и опускания индексов можно применять и к ней. Опишем этот формализм подробнее. Форма йц ставит в соответствие вектору а! линейный функционал Ь! . 2 д!!а'Ь!. Координаты этого функционала в двойственном базисе г.* суть д!!а! (суммирование по !), или ввиду симметрии д!!а!. Иньпии словами, опускание (единственного) верхнего индекса тензорп а' с полюсцью метрического тензора у!! приводит к тензору а!=у!!а. ! Отсюда сразу жс получается общая формула для опускания л!обого числа индексов у разложимого тензора и затем по липей- ности у любого тензора: Т.
!«ы"'!д=д, у,Т г," ° !~!~+," !« й" !р6~ "' !т !11, ' ' ' !туг !1 ". !р В частности, мы можем воспользоваться ею для вычисления тензора у!!, получающегося из дп подъемом индексов. Действительно, к!! = к!лк!!к Прочтем здесь правую часть как формулу для (), 1)-го элемен-э матрицы, получающейся умножением матрицы (а)ь) на матрипу ( Х й))й ~ Так как слева также стоит матрица (дм), очевидно, ы~ ! ,и бй )1 т. е. л)атри)(а (до)) обратна к л)атри)(е (й))) (учесть симл)етричность).
Это же вычисление показывает, что д)) есть тепзор Кронекера. Поэтому общая формула для подъема индексов имеет впд Т ьы "р)1"')о — д 6+1 ь+),. др рТ ~ о ) "! с, ... )ь Если мы хотим опустить (соответственно поднять) другие наборы индексов, формулы очевидным образом видоизменяются. й б. Симметричные теизоры 1. Пусть Š— фиксированное линейное пространство и То(Е) =- = Ев о, д ) 1. В п. 3 $2 мы показали, что каждлй перестановке о из группы 5„перестановок чисел 1, ..., д можно поставить в соответствие линейное отображение ): Т,'(Е) -~ То(Е), которое действует на разлогкимых тензорах по формуле )о% З ° ° З (о) = (оа) З ° ° ° З (о)еь Назовем тензор Т ~ Т)о(Е) симметричным, если ) (Т) = Т для всех а ~5,.
Очевидно, симметричные тензоры образуют линейное подпространство в То(Е). Все скаляры удобно считать симметричными тензорамн. При отождествлении из г) п, 1 $3 симметричные тензоры из Т,'(Е) отвечают симметричным билинейным формам на Е. Обозначим через 5о(Е) надпространство симметричных тензоров в Тор(Е). Мы построим сейчас проектор 5: Т)(Е)-~.
Т„"(Е), образ которого будет соипадать с 5о(Е), предполагая, что характеристика основного поля равна нулю или хотя бы не делит )1!. Он называется отображением симметризации. В классических обозначениях вместо 5(Т) пишут ТВ '" о). 2. Предложение. Положим 5= —,', ~~ ).:То(Е)- Т,'(Е). ояэ Тогда 5з = 5 и 1т 5 = 5о(Е), До к аз а тел ьств о. Очевидно, результат симметризации всякого тензора симметричен, так что (гп5с: 5о(Е). Наоборот, на симметричных тензорах симметризация является тождественной операцией, так что если Теи5о(Е), то Т = 5(Т), Это показывает одновременно, что 1)и 5 = 5о(Е) и что 5' = 5.
«. Пусть (еь ..., в,) — базис пространства Е. Тогда разложимые тензоры ей З ... Зв; образуют базис Т,'(Е), а их снмметризации 5(в;, З ... З е~ ) порождают 5ч(Е). Введем обозначение 5(е;, З ... З е; ) =в~ ... е~ . Формальное произведение ей ... е, не меняется при перестановке индексов, и можно условиться выбирать в качестве канонической записи таких симметричных тензоров запись е" ,... е'„", где а~ ) О, а, + ...
+ а, =д; здесь число а; показывает, сколько раз векзор в; фигурирует в е;, З ... З е; . 4. Предложение. Тензоры е«д... е««ен5«(Е), а, +... +а,=д, образуют базис в пространстве 5«(Е), которое, таким обраэолц можно отождествить с пространством однородных многочленов степени д от элементов базиса Е. Доказательство. Мы должны лишь пронерить, что тензоры в',~ ... е'„линейно независимы в Т,'(Е). Если ~„,с,, е,"... е'„=О, то 5(~',с, ..., е~З ... Зе~З ... Зе„З ...
Зв)=-О. «~ "' «л « «« Собирая в левой части подобные члены, нетрудно убедиться, ~то коэффициентами при элементах тензорного базиса пространства Т,".,(Ц окажутся скаляры с,,,„, умноженные на целые числа, состоящие из произведений простых чисел ч- д. Поскольку характеристика Я' по предположению больше у!, из равенства нулю этих коэффициентов следует, что все с,«..., равны нулю.
б. Следствие. Йгп5«(Е)=( ). 6. Положим 5(Ц=(т-':5ч(Е). В силу предложения и. 4 5(Е) «! можно отождествить с пространством всех миогочленов от элементов базиса Е. На этом пространстве имеется структура алгебры, умножением в которой является обычное умножение многочленов. Однако сразу, возможно, не ясно, не зависит ли это умноэкение от выбора исходного базиса. Поэтому мы введем его инвариантно.
Поскольку ниже приходится рассматривать все 5«(Ц одновременно, мы считаем, что характеристика йл равна нулю. 7. Предложение. Введем на пространстве 5(Е) билинейное умножение по форл1уле Т,Т,=5(Т, ЗТ,), ( =5 (Е), у 5'(Е). Оно превращает 5(Е) в комл1утативную ассоциативнию алгебру над полем,'й". В представлении симметричных тепзоров в виде многочленов от элел>ентов базиса Е это умножение совпадает с уз>ножениел! многочленов. Д о к а з ат е л ь с т в о.
Проверим сначала, что для любых тензоров Т! ~ Тз" (Е), Тзч- Тзз(Е) имеет место формула 5(5(т!) Е Тз) =5(т! В5(тз)) =5(т! В тз). В самом леле, 5(т)вт,= >, ~~> ),(т)е Тз. з~э откуда 5(5(т,)ет,)= —,', ~' 5д.(т,)ет,). аяэ Но 5ЩТ!)Е Тз)=5(Т, В Тз) для любых о~5!» Это очевидно для разложимых тензоров Ть Тз и слелует лля остальных по линейности. Поэтому сумма справа состоит из р! слагаемых 5 (Т,ЕТз), так что 5(5(т!)Втз)=5(т, Ет,). Аналогично устанавливается второе равенство. Отсюда легко вывести, что на симметричных тензорах операция (Т„тз)» 5(Т! Е Тз)= Т Тз ассоциативна.
Действительно, (т!Тз)тз=5(5(т! В тз) Е тз)=5(т! Втз В тз) и аналогично т,(тзтз)=5(т, Е5(т, Е т.))=5(т, ЕТ, Ет.). Кроме того, она коммутативна! формула 5(Т, З Тз) =5(Тзв Т,) очевидна для разложимых тснзоров и следует для остальных по линейности. Из этих утверждений следует, что (е>! ... е"„)(е~! ... ез )=е",+з' ... е„"+з", что завершает локазательство. 8.
Построенная выше алгебра 5(Е) называется сил>метрической алгеброй пространства Е. Элементы алгебры 5(Е*) можно рассматривать как полиномиальные функции на пространстве Е со значениями в поле Л': элементу ( ен Е* ставится в соответствие он сам как функционал на Е, а произведению элементов в 5(Е*) и их линейной комбинации— произведение и линейная комбинация соответствующих функций. Не вполне очевидно, что разные элементы 5(Е') различаются также как функции на Е. Мы оставляем этот вопрос читателю в качестве упражнения. Для симметрических алгебр над конечными полями, которые мы введем ниже, это у>хе не так: например, функция хе — х тожлественно равна ну:по в поле Л' из р элементов.
9. Второе определение симметрической алгебры. В принятом нами определении симметрической алгебры с помощью оператора Я используется деление на факторналы. Это невозможно над полями конечной характеристики и в теории модулей над кольцами, где формализм тензорной алгебры также существует и весьма полезен. Поэтому мы вкратце опишем другое определение симметрической алгебры пространства Е, в котором она реализуется не как подпространство, а как факторпространство То (1.) =~ ТР (Е). р=о Для этого рассмотрим двусторонний идеал 1 в тензорной алгебре То(1.), порожденный всеми элементами вида Т вЂ” 1оЯ. Те=То(Е), аен3„р=1, 2, 3, Он состоит из всевозможных сумм таких тензоров, слава н справа тензорно умноженных на любые элементы То(Ц.
Нетрудно видеть, что 1 = ®1~, где 1Р=1() ТР(Ц, т. е. этот идеал градуировав. 8 ! Положим З(Е) =ТоЩ! как факторпространство. То же рассуждение, что в $11 ч. 3, показывает, что Я(Е) = 93~(Е) оЗ(Е) = То (Е)!1~. р-о Благодаря тому, что ! — идеал, в о(Е) можно ввести умножение по формуле (Т,+1)(Т,+1)=Т,Это+1.
Оно билинейно и ассоциативно, так как это верно для тензорного умножения. Кроме того, оно коммутатнвно, ибо если Ть То разложимы, то То Э Т~ = ! (Т, Э То) для подходящей перестановки о и, значит, Т1 Э То — То Э Т, о-:1. Таким образом, Я(Ц есть коммутативная ассоциативная и'-алгебра. Можно показать, что естественное отображение Е-р.8(Е): 6-~! + 1 является вложением и что в терминах любого базиса пространства 1 элементы 3(Е) однозначно представляются как многочлены от этого базиса. Элементы Яр(Ц отвечают однородным многочленам степени р.
Если характеристика Л' равна нулю, то сквозное отображение $(Е) Т (1)-р-Б(Е) является изоморфизмом алгебр, сохраняющим градунровку. Поскольку Я(Е) существует в более общей ситуации, для алгебраических нужд симметрическую алгебру удобно вводить именно таким способом. й 6. Кососимметрнчные тензоры и внешняя алгебра линейного пространства 1. В той же ситуации, что и в п.
1 $ 5, назовем тензор Т~ ~ Т„'(Е) кососиммегричным (или ангисиммегричным), если ( (Т) = =е(а) Т, где е(а) — знак перестановки а, для всех аенЗ«. Очевидно, кососимметричные тензоры образуют линейное подпростраиство в Тр«(Е) Все скаляры удобно считать одновременно кососимметричнйми н симметричными тензорами. При отождествлении из г) п. 1 $ 3 кососимметричные тензоры из Тр (1.) отвечают симплектическим билинейным формам на (.. Обозначим через Л«(Е) надпространство кососимметрических тензоров в Тр«(Е). По аналогии с $5 построим линейный проектор А: Т,'(5)-»Т,'Я, образ которого совпадает с Л«(Ь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
