1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 61
Текст из файла (страница 61)
З 1.. В случае, когда все пространства 1., разные, можно пользоваться изоморфизмами 1 для однозначного отождествления 1н З ... З Ц, с 1. и> З ... З 1. ьч. В этом смысле тензорное умножение коммутативно. Однако записывать это отождествление в виде равенства, пе указывая явно 1ь (как мы делали для ассоциативности), опасно, если среди пространств ~,, .... 1>е есть одинаковые. 4. Двойственность. Имеется канонический изоморфизм 1;З... З1',— (1.,З...З1.,). Чтобы построить его, поставим в соответствие каждому элементу (1н ..., ~р)ев 1л Х...Х 1,„полилинейпую функцию 1>(1>) ...
1,(1„) от (1ь ., 1е)~1.>Х ... Х1,„. В силу утверждения б) теоремы п. 3 это отображение проводится через отображение 1нЗ... Э!.„— (пространство полплннейпых функций на Е, Х ... Х Ц). Последнее пространство в силу конструкции п. 4 $ 1 отождествляется с пространством Я'(Л, З ... З 1,, л!')=(1н З ... З 1.,)'. Таким образом, мы построилп искомое отображение.
Чтобы показать, что опо является изоморфизмом, заметим, что размерности пространств (Ь, З ... Э Ьр) и Ь, Э ... Э Ьр совпадают (мы ограничиваемся конечномерными 1.;). Поэтому достаточно проверить, что наше отображение сюръективно. Но в его образе содержатся функции 1»(1») ...
1„(1р), где 1г пробегают некоторый базис Ьь и, как в и. 5 $1„нетрудно убедиться, что онн образую~ базис .У(Ьь..., Ьр; Х') = =(Ь, З ... З 1.,)*. Отождествление (Ь, Э ... Э Ьр) с Ь» З ... З Ьр с помощью описанного изоморфизма обычно безобидно. 5. Изоморфизм Ы(Ь, М) с Ь" ЭМ. Рассмотрим билинейное отображение Ь'ХМ вЂ” р2'(Ь, М): (~, и)» — р(1»-~((1) т), где 1" е- =Ь*, 1~ Ь, пг е= М. Как билинейность выражения 1(») и по 1 н гп, так и его линейность по 1 очевидны. В силу многократно использованного свойства универсальности ему отвечает линейное отобрагкение Ь'З М вЂ” р2'(Ь, М) Выберем в Ь, М базисы (1ь ..., 1р), (ть ..., пм) и в 1." — дггойственный базис (1», ..., 1").
Элемент Р З т; теизорного произведепвя базисов Ь', М переходит в линейное отображение, которое переводит вектор 1репЬ в 1г(1р)т, =6;,пар Матрица этого линейного отображения размера Ь Х а имеет единицу на месте (11) и нуля на остальных местах. Поскольку такие матрицы образуют базис Ы(Ь, М), построенное отобрагкение переводит базис в базис и является изоморфнзмом. Рассмотрим важный частный случай: Ь = М.
Здесь 2'(Ь, Ь) Ь" З Ь. Пространство эндоморфизмов Ы(Ь, Ь) содержит выделенный элемент: тождественное отображение Ыь. Его образ в Ь" З Ь, как видно из предыдущих рассуждений, равен ~х~~ 1г» где (1р), (1») — пара двойственных базисов в Ь и Ь". Таким образом, формула для этого элемента имеет одинаковый вид во всех парах днойственных оазисов. Кроме того, пространство эндоморфнзмов .У(Ь, Ь) снабжено каноническим линейным функционалом следа Тг: Ы'(Ь, Ь)-»-Х.
Из прегкних рассуждений следует, что след отображения, которое поставлено в соответствие элементу РЗ 1ь равен бн (посмотрите на матрицу), так что общему элементу тензорного произведения Ь' Э Ь ставится в соответствие число Х аг1» Э1. -. У„чг. »-.-1 Этот линейный функционал Т.* З А-+.Л' называется сверткой. Позже мы дадим определение свертки в более общем контексте. 6. Изоморфизм Ы(АЭМ, Ж) с З'(А,Ы(М, Ж)).
Пространство .У(Т. ЭМ, У) изоморфно пространству билинейных отображений ьХМ вЂ” У. Каждое такое билинейное отображение 1: (1, т)- -~1(1, т) при фиксированном первом аргументе 1 представляет собой линейное отображение М вЂ” »У; от 1 это отображение зависит линейно. Таким образом, получаем каноническое линейное отображение У().ЭМ У)=У(1. М' 1У). У(Т. У(М У)). Рассуждение с базисами в Т., М, 1т', аналогичное проведенному в предыдущем пункте, показывает, что оно является изоморфизмом (как всюду, пространства предполагаются конечномерными). (Это отождествление является важным примером общекатегорного понятия «функторов, сопряженных по Кану».) 7.
Тензорное произведение линейных отображений. Пусть Т.ь ... ..., Т.„; Мь ..., ̄— два семейства линейных пространств, 1к Т«-~-М~ — линейные отображения. Тогда можно постронть линейное отображение г~ З З 1» 1 ~ З Э 1 М~ Э З М называемое тензорным произведением )~ н однозначно характеризуемое простым свойством ()~ З ° ° Э)»)(1 Э ° З 1») )~%) Э ° ° ° Э)„(1») для всех й ев йь Его существование доказывается все тем же стандартным применением утверждения б) теоремы и. 3 $ 1, если заметить, что отображение г«Х ° ° ° Х ~.р ' % Э ° ° ° Э Мр: (11 ° ° (р)' ')~(1~) З ° ° ° З 1р(1р) полнлинейно. Если все ); суть нзоморфизмы, то и )~ З ... З 1» является изоморфизмом. 8.
Свертка и подъем индексов. С помощью этой конструкции мы можем дать общее определение свертки «по паре или нескольким парам индексов». Пусть у нас имеется тензорное произведение 1., З ... З ьр, причем для некоторых двух индексов й/~(1,..., р) имеем Т.; = А*, А1 Т..
Свертка ло андекгцм й 1 есть линейное отображение » Э. Эь»- К ьм «-! »,аь; которое получается как композиция следующих линейных отобрагкений: а) Отображение 1„где а — перестановка индексов (1, ..., р), переводгщая 1 в 1, 1 в 2 и сохраняющая порядок остальных ин- дексов »» / »» 1',: Е,З...ЗЕ- Е!ЗЕ1З~ К Е,)=Е*ЗЕЗ~Я Еь «-! » 1 «ф! 1 »» ф* 1. ! б) Свертка первых двух множителей, тензорно умноженная на тождественное отображение остальных: Е*ЗЕЗ К Е„-ЛЗ З Е, . » ф 1. 1 !»ф1, 1 в) Отождествление Если имеется несколько пар индексов (й, 11), ..., (1„ /,) таких, что Е» =М, Е1 =М,то эту конструкцию можно повторить не«' «й* сколько раз в применении ко всем парам последовательно.
Резуль- тирующее линейное отображение называется сверткой по этим парам индексов. Оно зависит от самих пзр, но ие от порядка про- ведения сверток по ним. Может оказаться, что (1, ..., р) = = (11, 11, ..., 1„Ц. Тогда получится полная свертка, Снова рассмотрим тензорное произведение Е, З ... З Е» и предположим, что для 1-го пространства задан нзоморфизм у: Е! — ~Е; (в приложениях он чаще всего строится с помощью невырожденной симметричной билинейной формы иа Е;).
Тогда линейное отображение (б З ... З Д З ... З и: Е, З ... З Е1 З ... З Е,- —. Е! З ... З Е1 З... З Е, называется «опусканием 1-го индекса», обратное к нему — «подьемом 1-го индекса». Объяснение термина будет дано в следуюшем параграфе. Обе конструкции, свертки и подъема/опускания индекса, чаше всего применяются в случае Е! = Е илн Е', когда на Е задана ортогональная структура.
Возникает масса линейных отображений, связываюших пространства Е ~~З Е~«, которые строятся как композиции поднятия и опускания индексов и сверток. Эти отображения играют большую роль в римановой геометрии, где с их помощью (и с помощью аналитических операций типа дифференцирования) строятся важнейшие дифференциально-геометрические инварианты.
9. Тензорное умножение как точный функтор. Фиксируем линейное пространство М и рассмотрим отображение категории конечномерных линейных пространств в себя: Е» — »ЕЗМ на объектах, 1> — »1ЗЫм иа морфизмах. Из определений легко усмотреть, что Ыс>-»Ысвм и 1'у" — ~1'у З !бм=() ® !бм) (у® !"и). Поэтому данное отображение является у>уннтором, который называется функтором тензорного умно>кения на М. е Покажем, что если последовательностьΠ— » Т« — » Š— Е,- 0 точна, то и последовательность >емм «я ми 0 ТпЗМ )ЗМ ЦЗМ О точна.
Это свойство называется точностью функгора тензорного умнолсения. Как и точность функтора .У, оно нарушается в категориях модулей, и это нарушение служит важным объектом изучения в гомологической алгебре: ср. обсуждение в 5 14 ч. !. Правде всего проверить точность, выбрав в Еь Т., Е» базисы, приспособленные к 1, у таким образом, что (еь ..., е,) — базис Е,, (! (е,),..., )(е,); е,"+и ..., е,' Д вЂ” базис Е; (у (е',+,)„..., д (е',+ ))— базис Еь Выбрав еще базис (е",, ..., е,") пространства М, получим, что тензорпые произведения базисов (е, З е",.)„(1(е,) З ер е'„® е",.~, (д(е') З е) приспособлены к ! З Ым, уЗ Ым в том же амысле слова. й 3. Тензорная алгебра линейного пространства 1.
Пусть Š— некоторое конечномерное линейное пространство над полем Я'. Любой элемент тензорного произведения ТРЮ=Е З ...ЗТ. З1З. ЗЕ, называется гензором на Е типа (р, у) и валентности (или ранга) р+ д. Говорят также, что он является смешанным тензором, р раз ковариантным и д раз конгравариантным. Первые две части книги фактически были посвящены изучению следующих тензоров малого ранга. а) Удобно положить Тй(1-) =Ж', т.
е. называть скаляры тенаорами ранга О. б) Т~1(А) Е, т. е. тензоры типа (1,0) суть линейные функционалы на Е. Тензоры типа (О, 1) суть просто векторы из Е.. в) Т~(Е) =Е ® В. В п. б 5 2 мы отождествили Е*З1. с пространством Я(Т., Е). Следовательно, тенаоры типа (1, 1) «суть» линейные операторы на б. г) 7»»(Е) Ь З Е .. В и. 4 5 2 мы отождествили 1.'ЗЕ» с (Е(») Е)', или с билинейными отображениями Е ХА->-,ус'. Таким образом, тензоры типа (2, 0) «суть» скалярные произведения па й, В п. б $2 мы отождествили Е' З Е» с 2'(Р', 1,') = 2'(Е, Е«). При вб4 этом отождествлении скалярному произведению на Е ставится в соответствие линейное отображение Е- Е', которое отвечает рас- смотрению этого скалярного произведения как функции от одного из своих аргументов при фиксированном втором.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
