1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Число Й= бепРр называется размар- носгью многообразия К Представим старший член Р, (и) в виде аи е —. Можно доказать, что е — целое число, которое называется гп " степенью многообразия )г. Размерность и степень — важнейшие характеристики «величины» алгебраического многообразия. Можно дать их чисто геометрическое определение: если поле Х алгебраически замкнуто, то г(-мерное многообразие степени е пересекается с кдостаточно общим» проектнвным пространством Р" 'с: с: Р" дополнительной размерности в точности по е разным точкам.
Мы пе будем доказывать эту теорему. Заметим в заклгочение, что после открытия Гильберта около полувека оставался нерешенным вопрос, как следует интерпретировать значения многочлена Гильберта Рг(А) для тех целых значений й, при которых Рг(й)чьг)ггпгз()г) (в частности отрицательных й). Он был решен лишь в пятидесятых годах с созданием теории когомологий когерентных пучков, когда выяснилось, что при любом й значение Рт(к) есть знгьтернированная сумма размерностей некоторых пространств когомологий многообразия )г. Аналогичная интерпретация была дана многочленам Гильберта любых конечно порожденных градуированных модулей. УПРАЖНЕНИЯ К Доказать, что многочлен Гильберта проективного пространства Р" не зависит от размерности пг проективного пространства Р , в которое Р" вложено: Р'сР . 2.
Вычислить миогочлен Гнльберта модули Аг'г/сЛоч, гле Р— форма степени в. Ч а с т ь 4. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА й 1. Тензорное произведение линейных пространств 1. Последняя часть нашей книги посвяшена систематическому изучению полилинейных конструкций линейной алгебры. Основой алгебраического аппарата служит понятие тензорного произведения, которое вводится в этом параграфе и подробно изучается дальше. К сожалению, главные приложения этого формализма лежат за пределами собственно линейной алгебры: они относятся к дифференциальной геометрии, теории представлений групп и квантовой механике.
Мы лишь вкратце коснемся их в последних параграфах. 2. Конструкция. Рассмотрим конечное семейство векторных пространств 1.ь ...-, 1р над одним и тем же полем скаляров Л'. Напомним, что отображение 1,, Х ... Х 1.с. 1., где 1, †е одно пространство над Л', называется полплинейным, если оно линейно по каждому из аргументов 1, ~ Еь 1 = 1, ..., р, при фиксированных остальных. Наша ближайшая цель — постронть универсальное полилинейное отображение пространств Т.ь ..., Ц. Его образ будет называться тензорным произведением этих пространств. Точный смысл утверждения об универсальности объяснен ниже, в формулировке теоремы п. 3. Конструкция состоит из трех шагов, а) Пространство Ж.
Это множество всех финитных функций на Т., Х ... Х 1р со значениями в Л', т. е. теоретико-множественных отображений Т.~ Х - Х 1. — Л', равных нулю во всех точках множества 1.~ Х ... ХЦ, кроме конечного числа. Оно образует линейное пространство над Л' с обычными операциями поточечного сложения и умножения на скаляр, Его базисом являются дельта- функции б(1ь ..., 1,), равные 1 в единственной точке (1ь ..., 1с) ен сна.,Х ...
Х1.е и нулю в остальных. Опуская знак й, мы можем считать, что .я состоит из формальных конечных линейных комбинаций семейств (1ь ., (е)ен1~Х . ХТр: .4Г =(~~'„ай а (1ь ..., 1,)! ай...с чн Л). Заметим, что если поле Л' бесконечно и хотя бы одно из пространств Ь| не нульмерно, то М' — бесконечномерное пространство. 264 б) Подпространство лв.
По опреде.пению оно порождено всеми векторами из !г вида (1ь °, 1(+ 1г,, 1р) — (!ь, 1и .. 1р) — (!ь ..., 1у, ..., 1р). (1ь ..., а1н ..., 1 ) — а(1„..., 1!, ..., 1 ), а е=-,я". в) Тензорное произведение Тч З ... З Ц. По определению сч Э .® Т-р=.ЮйТо 1,9... 91р=(1,, ..., 1р)+М,~А, В- З !., 1: гч Х ° ° ° Х ьр — рсч З ° ° Эср !(1о ° ° ° !р)=!1 Э 91р. Здесь рУ/.р!р — факторпространство в обычном смысле слова. Элементы Е, З ... ЗТр называются тензорами, 1, Э ... 91„— разложимыми тензорами. Поскольку семейства (1ь...,1 ) составляют базис рТ, разложимые тензоры 1, З ...
Э 1р порождают все тензорное произведение Тч З ... ЗТ.р, но отнюдь не являются базисом: между ними есть много линейных зависимостей. Основное свойство тензорных произведений описано в следующей теореме: 3. Теорема. а) Каноническое отобразкение Т1Х' ХТр ~1чЭ ' ' 91рэ (!ь ' 1р)~ +!~ Э ®1р является полилинейныи. б) Полилинейное отобраткение ! универсально в следующем смысле слова: для любого линейного пространства М над полем з(Р и любого полилинейного отображения з: Т.1 Х ... Х Ц вЂ” М существует единственное линейное отобралсение 1: Ь| З ... З !.„— +-М такое, что з = 1о1.
Мы будем кратко говорить, что з проводится через !. Доказательство. а) Мы должны проверить следующие формулы: 119" З(!!'+1!)З."91р —— = Й З . З 1! З . - . З 1р+ 11 З ° З 1! З . В !г 11 З ° Э (а1!) З ° В 1р = а (11 З .. ° Э 1! Э . З 1~), т.
е., например, для первой формулы (А ° ° ° 1у+ 1! ° ° °, !р) + ряа = [(!ь ° ° °, 1у, ° ° ., 1р) +,игр]+ + [(1ь ° ° ., !ь . ° ° !р) + -1Тр]. Вспоминая определение факторпространства (п. 2 и 3 5 б ч. 1), и систему образующих подпространства ргы описанную на шаге б) в п. 2 этого параграфа, немедленно получаем эти равенства из определений. б) Если ! вообще су!цествует, то условие в =1 ! однозначно определяет значения ! на разложимых тензорах: !(1 З".9,)='! !(1„.", 1,)= (1,. ", 1,). 25з Поскольку последние порождают Е|З ... ЗЕр, отображение единственно. Для доказательства существовании )' рассмотрим линейное отображение йч гг -р-М, которое на базисных элемеитах рг определеяо формулой кР ° * г )=з((ь ° °" г ).
т. е. й(Хай...в (Хз ° ' Я) Епи, и Б((о .„йр). Нетрудно убедиться, что ргр с: Кег а. Действительно, Д(((ь..., Ту+У(, ... Ур) — ((и ° °, Уг ° ° °, (р) — (Рь ° ° °, (и ° °, Ур)]=-» =з((ь ..., (г+ Уп ..., (р) — з(Уь, (у, .... (р)— з(г1 ° Уп Ур) О в силу полилинейиости з. Аналогично проверяется, что д аниули- рует образующие ргр второго типа, связанные с умножением одной из компонент на скаляр. Отсюда вытекает, что л индуцирует линейное отображение 1: .47 р» о = Е1 З " З Ер -р М (см.
предложение п. 8 $6 ч. 1), для которого 1 ((! З " З (р) - з 6 ° " . 9. Это завершает доказательство, Теперь мы приведем несколько иепосредствеиных следствий этой теоремы и первые приложения пашей конструкции. 4. Пусть 2'[Еь ..., Е;, М) — множество полилииейных отобра- жений Е~ Х ... Х Е, в М. В теореме п. 3 мы построили отображе- ние множеств ~'(Еп ..., Е;, М)-» ~(Е,З...®Е;, М), ставящее в соответствие полилинейному отображению з линейное отображение Г со свойством з = (»Е Но левая и правая части являются линейными пространствами над Л' (как пространства функций со значениями в векторном пространстве М: сложение и умножение на скаляр производится поточечио).
Из конструкции очевидно, что наше отображение является линейным. Волее того, оно является изоморфизмом линейных пространств. Действительно, сюръективность следует из того, что для любого линейного отобра- жения Г; Е, З ... З Ер — »-М отображение з = ( ° г полилинейио в силу утверждения а) теоремы и. 3. Инъективность следует из того„ что если зчьО, то г Гчьб и потому ГчьО.
Окончательно, мы полу- чили каноническое отождествлеиие линейных пространств Ы(Е1 Е М) У(Е~ З З Ер М ) Таким образом, конструкция теизорного произведения пространств сводит изучение полилинейных отображений к изучению линейных отображений путем введения новой операции на категории линейных пространств. 5.
Размерность и базисы. а) Если хоть одно из пространств Е>, ..., Ев нулевов, то их тензорное произведение является нулевым. В самом деле, пусть, скажем, Е> = О. Любое полилннейное отображение ): Е> Х . Х А„-+-М при фиксированных й ж Ьь 1чь), линейно на Е~', но единственное линейное отображение нулевого пространства само нулевое. Значит, ! = О при всех значениях аргументов. В частности, универсальное полилинейное отобра>кение Е Е> Х ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
