1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Пусть М = Е, [ пробегает группу линейных автоморфизмов простраяства Е. Следующие утверждения очевидны: а) Р(1б ) с(, > б) РЦЯ)= РЦ)Р(Я). В частности, все отображения РЦ) биектнвны и Р(1-') РЦ)-'. Поэтому РЦ) пробегает группу отображений Р(Ц в себя, которая называется проективной еруппой пространства Р(Ь) и обозначается РО1 (Е), отображение Р: ОЬ(Ь):РИ.(Ь), [->-РЦ) является сюръективным гомоморфнзмом групп. Каждое отображение РЦ) переводит проектнвные подпространства Р(Е) в проективные полпространства, сохраняя размерность и все отношения ипцидентности. Вместо РОЬ(Л'"+') пишут РО! (и). 3.
Предложение. Ядро канонического отображения Р: ОЬ(Е)-+. ->-РОЕ(Ь) состоит в точности из еомотетий. Поэтому РОЬ(Е) изоморфна факторгруппе ОЬ(Ь)/Л'*, где Л'" (а(бс~ае-"Л'~,(О)). Доказательство. По опрелелению Кег Р= (1екОЬ(Е) [ РЦ)=1с)э<с>). Любая гомотетня переводит каждую прямую из Е в себя, поэтому Л с: Кег Р. Наоборот, всякий элемент Кег Р переводит любую прямую в себя н потому диагонализируем в любом базисе Ь. Но тогда все его собственные значения должны совпадать. В самом деле, пусть Це,)=Х>еь 1(ез) Х~еь где еь ет линейно независимы.
Тогда из условия >(е, +ез)=и(е>+ет)=Х~е>+ + Х,ез следует, что Х, =и= Хм Значит, [ — гомотетия, что доказывает требуемое. 4. Отображения РЦ) в координатах. Если линейное отображение 1: Ь- Ь в координатах задается матрицей А: ~(хе, ..., х„) А [хм ..., х„[ (пронзведение матрицы А на столбец [хм ..., х„[), то РЦ) в соответствующих однородных коорлинатах задается той же матрицей А илн любой пропорциональной ей: РЦ)(хе.... >х„) с=(>сА) [х„..., х„[, Хкч Л'*. Если ограничитьсн рассмотрением точек с х,~ О, проективные координаты которых можно выбирать в виде (1: уп .... у„), и так же записывать координаты образа точки, мы придем к дробно- линейным формулам: Р (1') (1: у!: ": у.) = (1: у',: ": у.') = н ч и -(~-; г и: -! К~ в:":~..! ~".~.и)- ! ! ! ! ! ! н и вь!+ ~ в!!у! вон+ Х и!ну! 1: ! ! ! 1 л н вы+ ~', и!ду! ььь+ 3' есьу! !=! ! ! (Лналогичный вид, разумеется, имеет РЯ на множестве точек, где х! ~ О, ! любое.) Эти выражения теряют смысл там, где знаменатель обращается в нуль, т.
е. в тех точках дополнения к гнперплоскости хь= О, которые Р()) переводит в эту гиперплоскость. Если таких точек нет, то в терминах аффинных координат (уь ..., у„) на Р(ь)',(х, = О) мы получаем аффинное отображение. Инвариантное объяснение этого дает следующий результат. 5. Предложение. Пусть М с:ь — подпространство коразмерности единица, Р(М) с:Р(ь) — соответствующая гиперплоскость, Ам— дополнение к ней с аффинпой структурой, описанной в $6. Поставим в соответствие любому проективпому автоморфизму Р((): Р(Ц-!-Р(Ц с условием ЦМ) с: М его ограничение на Ам Получим изоморфизм подгруппы РО) (Е), переводни(ей Р(М) в себя, с А((Ам.
Линейная часть ограничения РЦ) на Ам пропорциональна ограничению ( на М. Д о к а з а т е л ь с т в о. Введем аффинную структуру на Ам, отождествив Ам с линейным многообразием и!'+ М с: С: каждой точке Ам ставится в соответствие пересечение соответству!ошей прямой в !. с и!'+ М. Если 1(М)с: М, то в классе 1 с одним и тем же РЯ можно выбрать единственное отображение Гь, для которого 1ь(п!'+ М) =!и'+ М. Ограничения всех таких отображений (ь образуют группу аффинных преобразований т'+ М, поскольку гп'+ М есть аффинное подпространство в !'. с его аффинной структурой, а )ы !.— Ь линейно и потомУ аффиино.
ЛинейнаЯ часть такого (ь, очевидно, совпадает с ограничением )ь иа М. Для всякой линейной части можно найти соответствующее )ы и при фиксированной линейной части можно найти 1ь переводящее любую точку т'+ М в любую другую: чтобы увидеть это, достаточно выбрать базис в Е, состоящий из базиса в М н вектора и!', после чего воспользоваться формулами п. 3.
Наконеп, если Г тождественно действует иа т'+ М и М, то Р(Г)=(бе<с!, ибо 1 переводит каждую прямую в й в себя. Это завершает доказательство. П. Действие проективиой группы на проективных конфигурациях. Назовем проективной конфигурацией конечную упорядоченную систему проективных подпроетранств в Р(Ц. Будем говорить, что две конфигурации проективно конгруэнтны тогда и только тогда, когда одну можно перевести в другую проективным преоб- разованием Р(Ь) в себя. Очевидно, для этого необходимо и достаточно, чтобы соответствующие конфигурации линейных подпространств в Ь были одинаково расположены в смысле $5 ч. 1.
Поэтому мы можем сразу же перевести доказанные там результаты на проективный язык и получить следующие факты. а) Группа РОЬ(Ь) траизнтивно действует на множестве проективных подпространств фиксированной размерности в Р(Ц, т. е. все такие подпространства конгруэнтны (см. и. 1 $5 ч. 1). б) Группа РОЬ(Ь) транзитивно действует на множестве упорядоченных пар проективных подпространств в Р(Ц с фиксированнымн размерностями членов пары н их пересечений, т.
е. все такие пары конгруэнтны (см. п. 5 $5 ч. 1). в) Группа РОЬ(Ь) транзитивно действует на множестве упорядоченных и-ок проективных подпространств (Рь ..., Р ) с фиксированными размерностями д1гпРь которые обладают следующим свойством: для каждого 1 подпространство Р~ не пересекается с проективной оболочкой (Рь ..., Р~ и Р,+ь ..., Р„), т. е. наименьшим проектнвным подпространством, содержащим эту систему. Действительно, пусть Р; = Р(Ь;), Ь;с: Ь. Проективная оболочка (Рь .
Р~-ь Рн ь ..., Р), как нетрудно убедиться, совпадает с Р(Ь+ . ° . + Ь-1+ Й+~+ ... + Ь„), а условие пустоты ее перел сечения с Р(Ь~) означает, что Ь П ~~'„Ь~ — — (О). В силу условия а) /~1 теоремы п. 8 $5 ч. 1 сумма Ь~ Ю ... Ю Ь„прямая, и ОЬ(Ь) транзитивно действует на таких п-ках подпространств (выбрать базис в Ь, дополняющий объединение базисов всех Ьь и воспользоваться тем, что И (Ь) транзитнвна на базисах Ь).
В качестве частного случая (дпп Р~ = 0 для всех 1) получаем следующий результат: все наборы и точек в Р(Ь), обладающие тем свойством, что никакая точка не лежит в проективной оболочке остальных, проективно конгруэнтны. г) Группа РОЬ(Ь) транзитивно действует на множестве проективных флагов Р, с: Р2 с: ... с: Р, в Р(Ь) фиксированной длины и с фиксированными размерностями дппРс Действительно, любой такой флаг является образом флага Ь,~ ~ Ь«с: ...
в Ь; выберем базис в Ь, первые дпп Р;+ 1 элементов которого порождают надпространство Ь~ для каждого Ь и снова воспользуемся транзитивностью действия ОЬ(Ь) на базисах. Кроме этих результатов, являющихся прямым следствием соответствующих теорем для линейных пространств, разберем один интересный новый случай, в котором впервые появляется нетривиальный инвариант относительно проективной конгруэитностн: классическое «двойное отношение четверки точек на проектнвной прямой». Ббльшую часть рассуждений можно провести в случае произвольной размерности, и мы начнем с общего определения, 7. Определение. Систелш точен рь ..., рн в и-мерном проективном пространстве Р находится в оби(ем положении, если для всех тп ( ш)п(У, и + 1) и всех подмножеств 5 с: (1, ..., У) мощности гп проектиеная оболочка точек (р>)1ен Я имеет размерность и — 1. Нас особенно будут интересовать случаи й> = и+ 1, и+ 2, и+ 3.
а) и+1 точек е общем положении. Поскольку никакая точка системы на лежит в проективной оболочке остальных (иначе проективная оболочка всей системы имела бы размерность и — 1, а не и), такие конфигурации уже были рассмотрены в разделе в) п. 6; в частности, проективная группа на них транзитивна. Сейчас мы хотим обратить внимание на то, что проективное преобразование, переводящее одну систему и + 1 точек в общем положении в другую, не определено однозначно.
Действительно, если еь ..., е»ы — ненулевые векторы, лежащие в рь ..., р +> соответственно, то (еь ..., екм) есть базис й (где Р = Р(Ц) и группа проективных преобразований, оставляющих на месте все точки рь состоит в точности из преобразований вида Р(1), где 1 диагональны в базисе (еь ..., е»ы). Эта оставшаяся степень свободы позволяет доказать транзнтивность действия РО(.(ь) на системах и+ 2 точек в общем положении. б) и+2 точки е общем положении.
Если точки (рь ..., р >ч) находится в общем положении, то точки (рь ..., р„+Д также находятся в общем положении. Как в предыдущем абзаце, выберем базис (еь ..., е»ы), е; енрь Он определяет систему однородных координат в Р. Пусть (х,: ...: х»ы) — координаты точки р„+» в этом базисе. Ни одна из координат х> не-равна нулю, иначе вектор (хь ..., хчм) на прямой р„ь» линейно выражался бы через векторы еь 1 (/ ~ и+ 1, 1чь й откуда следует, что проективная оболочка и+ 1 точки (р>11чь1) имела бы размерность и — 1, а не п. Но преобразование Р(() с 1= б)ац(Ль ..., Л ы) (в базисе (еь ..., е н)) переводит (х~......
х„ы) в точку (Л>х>.".... Л»ых„+>), а рь ..., р».м оставляет на месте. Отсюда следует, что любую точку (х>'..... хлы) (вса х>чьО) можно перевести в любую другую (у>.' .... 'у+>) (все у>чьО) единственным проективным преобразованием, оставляющим рь ..., р„на месте. Итак, мы установили, что все упорядоченные системы и+2 точек в общем поло>кении в Р, где б1>п Р = п, конгруэнтны и, более того, образуют главное однородное пространство над группой РОЕ(ь). Принимая «пассивную» точку зрения вместо «активной», мы можем сказать, что для любой упорядоченной системы точек (рь..., р„за) существует единственная система однородных координат в Р, в которой координаты рь..., р ы имеют следующий вид: р>=(1>0: ...:0), р, (О:1:0: ...;О), ..., р„„(0: ...:0;1, р =(1: ..:1).
Можно назвать эту систему приспособленной к (рь ..., р„+»). в) и+ 3 точки е общем положении. Такие конфигурации уже не все конгруэнтны: если (рц .... р„+з) и (р„..., р„'+») даны, мы можем найти единственное проективное отображение, переводящее р,. в р', для всех 1 (1( и+ 2, но р,+ь попадает или не попадает в р' в зависимости от ситуации. Йетрудио описать проективные инварианты системы из и+3 точек.
Выберем систему однородных координат в Р, в которой первые и+2 точки имеют координаты, описанные в случае б). В ней точка р„+з имеет координаты (хп .... х„+>), определенные однозначно с точностью до пропорциональности. Любой проектнвный автоморфнзм Р, примененный одновременно к конфигурации (рь " . р чь) и к приспособленной к ней системе координат, переведет эту конфигурацию в другую, а систему координат в в приспособленную систему координат новой конфигурации. Поэтому координаты (хп ....
хкы) последней точки останутся теми же самыми. Все предыдущие рассуждения с очевидными видоизменениями переносятся также на случай, когда у нас имеются два и-мерных проективных пространства Р н Р', конфигурации (рь ..., Рн) с:Р и (р'„..., РЯс:Р', и мы интересуемся проективными изоморфизмами Р— ~ Р', переводящими первую конфигурацию во вторую. Резюмируем результаты обсуждения в следующей теореме: 8.
Теорема. а) Пусть Р, Р' — и-мерныг прогктивные пространства, (р„..., р„+,) ~Р и (р,', ..., р„'+,) с Р' — двг системы точек в общем положении. Тогда существует единственный прогктивный изоморфизм Р- Р', переводящий первую конфигурацию во вторую. б) Аналогичный результат верен длл систем и+ 3 точек в общем положении тогда и только тогда, когда координаты (и + 3)-й точки в системе, приспособленной к первым и+2 точкам, для обеих конфигураций совпадают (конечно, с точностью до скалярного множителя) . 9. Двойное отношение. Применим теорему п. 8 к случаю и = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
