1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 50

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 50)

Теперь индукцией по размерности аффинной оболочки 5 покажем, что у любого ограниченного многогранника обязательно есть вершина. В самом деле, для размерности нуль это очевидно. Пусть размерность больше нуля. Мы можем считать, что аффинная оболочка 5 есть все А. Возьмем любую непостоянную аффинно линейную функцию на А. Она должна принимать на 5 максимальное значение, ибо 5 ограничен и замкнут. Стало быть, у 5 есть непустая грань, во всех точках которой это значение принимается.

Она является ограниченным многогранником, аффинная оболочка которого имеет строго меныпую размерность. По индуктивному предположению у нее есть вершина, являющаяся также вершиной 5 по лемме п. 6. Окончательно, пусть 5 ограничен и Т вЂ” многогранная грань 5, на которой исходная функция ( принимает свое максимальное значение. Тогда любая вершина Т, существование которой доказано, является искомой верпшной 5.

5 6. Аффинные квадратичные функции и квадрнки 1. Определение. Квадратичной функцией Я на аффинном пространстве (А, Е) над полем Л' называется отображение Я А — э-Л' для которого существуют такие точка аьси А, квадратичная форма д: й — Л', линейная форма й,(. — >-Л' и константа с е- =Л', что Я(а) = д(а — аь)+1(а — а,)+ с для всех аыА.

форма д называется квадратичной частью (г, а 1 — линейной частью Я относительно точки ао Очевидно, с = (г(аь). Покажем прежде всего, что от выбора точки ао квадратичность 9 не зависит. Точнее, пусть у — симметричная билинейная форма на Е., являющаяся поляризацией д. Мы, как обычно, считаем, что характеристика Я' отлична от двух. 2. Предложение. Если Я(а)= д(а — ао)+)(а — а,)+ с, то для любой точки аоен А имеем я(а)=ц(а — а,',)+у(а — а')+ с', У (т) =) (т) + 2у(т, ао — ао), с' Я(а).

где Таким образом, переход к другой точке меняет линейную часть Я и константу. Доказательство, В самом деле, у( — а,)-ц((а — ао)+(а — ао))- = д(а — ао)+2у(а — ао, а' — а )+ д(а' — а ) 1 (а — ао) = 1 ((а — а,') + (а' — а,)) = 1 (а — а') + Цао — а ), для всех т нт Т.. Когда а' пробегает все точки А, вектор а' — ао пробегает все элементы 1„и линейная функция от т ~ Е вида =2у(т, а,' — а) пробегает все элементы Ео, лежащие в образе канонического отображения ф Е-~-Ло, связанного с формой д. Ясли д невырождена, то у — изоморфизм. В частности, для фУнкционала — )/2енТ.о имеетсЯ единственный вектоР а„' — ао он Е со 9!в что доказывает требуемое. 3.

Назовем точку ао центральной для квадратичной функции Я, если линейная часть 9 относительно ао равна нулю. Объяснение этого термина состоит в замечании, что точка ао центральна тогда и только тогда, когда Я(а) С)(ао — (а — ао)) для всех а: действительно, разность левой и правой части в общем случае равна 2((а — ао), ибо а(а — ао) с( — (а — ао) ). Геометрически это значит, что после отождествления А с Е, при котором ао переходит в начало координат, функция Я становится симметричной относительно отражения т~ — т.

Назовем центром функции Я множество ее центральных точек. 4. Теорема. а) Если квадратичная часть д функции () невы- рождена, то центр Я состоит из единственной точки. б) Если с внрождена, то центр Я либо лусг, либо является аффинным подпространством в А размерности ЙгпА — гй д (гйд— это ранг д), направляющее надпространство которого совпадает с ядром д. Д о к а з а те л ь с т в о. Начнем с любой точки ао он А и представим Я в виде д(а — ао)+ Ца — ао)+ с. Согласно предложению п.

2 точка а'н: А будет центральной для Я тогда и только тогда, когда выполнены условия Я(т) — 2у (т, а' — а ) свойством д( °, аь — а,)= — — !( ° ). Точка а„' в атом случае и 2 является единственной центральной точкой ьч Если о вырождена, то возможны два случая. Либо — !/2 не лежит в образе д; тогда центральных точек нет. Либо — !/2 лежит в образе у. Тогда для любых двух точек а',, а" с условием имеем а',— а,",ен Кета, инаоборот, если д( °, а — аь)= — ф( ° ) и агнца',+ Кета, то д( ° а" — а ) = — — !(*).

Таким образом, центр является аффинным подпространством, а Кега, т. е. ядро о,— его направляющим. Это завершает доказательство. Теперь мы можем доказать теорему о приведении квадратичной функции Я к каноническому виду в подходящей аффинной системе координат (ао, еь ..., е,), (е!) — базис Е, аь~А. Напомним, что точка а~А в ней представлена вектором (х!, ..., х„), и если а=аз+ Я х,е!. 5. Теорема. Пусть Я вЂ” квадратичная функция на аффинном пространстве А. Тогда существует такал аффинная система координат в А, в которой Я принимает один из следующих видов. !! а) Если д невырождена, то Я(хп ...„х„)= ~„Л,.хт+ с: 1 Л!, Се=Я. б) Если д вырождена ранга г, но центр !,! непуст, то Я (х„..., х„) = ~~~, Л,х,'.

+ с; Л„с ен дй'. ! ! в) Если д вырождена ранга г и центр (1 пуст, то т Я(х„..., х„)=~ Л,х',+ х„+,. Доказательство. Если у невырождена, выберем в качестве аь центральную точку Я. Тогда Я(а)= д(а — а,)+ с. В качестве е!, ..., е„выберем базис в Ь, в котором д приводится к сумме квадратов с коэффициентами.

Тот же прием приводит к цели всегда, если центр непуст. Если центр Я пуст, начнем с произвольной точки аь и базиса (е!, ..., е„), в котором квадратичная часть Я имеет вид ~ Л,хе ! ! !! Пусть линейная часть имеет вид 1 = )„1!!х . Мы утверждаем, что !=! и!чьО для некоторого 1) г. Действителыю, иначе )= ~„1!!хь и ! ! тогда Я можно представить в виде Г г ~~~'Л!х!+~р!х!+с — ~~'Л (х!+ — ) +с. ! 1 ! 1 $-! 1 ч и! Следовательно, точка а0 — ~ — е! будет центральной для Я, что ! ! противоречит предположению о пустоте центра.

Но если 1!! О для некоторого 1 ) г, то система функционалов (е', ..., е', 1) в Т.' линейно независима. Мы можем дополнить ее до базиса в Е' и в двойственном базисе 1. получить для 1;1 выг ражение вида ~ Л!х(+ х,+!+ с, где х,+! как функция на ь есть ! 1 просто й Теперь ясно, что имеется точка, в которой Я обращается в нуль, например, х! = ... =х,=О, х,+! — — — с, х,+э — — ... —— х„ О в этой системе координат. Начав построение с этой точки, мы Г получим представлением в виде К Л,х',. + х,+!. ! ! 6. Дополнения. а) Вопрос о единственности канонического вида сводится к уже решенной задаче о квадратичных формах, Если д невырождена н в некоторой системе координат имеет вид Л,х„'+с, то точка (О, ..., О) является центром и потому определена однозначно, константа с определена однозначно как значение Я в центре, а произвол в выборе осей н коэффициентов тот же, что для квадратичных форм. В частности, над К можно считать, что Л! = ~1, и полным инвариантом является сигнатура.

Над С можно считать, что все Л!=1. В вырожденном случае с непустым центром начало координат можно выбирать в центре как угодно, но константа с все равно определяется однозначно, ибо значение !,"! во всех точках центра постоянно: если а, аа лежат в центре, то 1(а — а0) = О и д(а — а0) = = О, ибо а — а!! лежит в ядре д. К квадратичной части применимы прежние замечания. Наконец, в вырожденном случае с пустым центром начало координат можно брать в любой точке, где Я обращается в нуль; к квадратичной части применимы прежние замечания.

б) Если А — аффинное евклидово пространство, то 9 приводится к каноническому виду в ортонормированном базисе. Числа Л!, ..., Л„определены однозначно. Произвол в выборе центра тот же, что и в аффинном случае, произвол в выборе осей тот же, что для квадратичных форм в линейном евклидовом пространстве, 6. Аффинные квадрики. Аффднной квадрикой называется множество (ос=АЯ(а)= О), где 1г — некоторая квадратичная функция на А. Взгляд на канонические формы 1г показывает, что к проблеме исследования типов квадрик применимы все результаты $10 ч. 2. Рассмотрим вопрос о единственности функции 11, задающей данную аффинную квадрику над полем й.

Прежде всего, квадрика может быть аффинным подпространством в А (возможно, пустым): к уравнение ~ х = 0 равносильно системе уравнений х, = ... ... =х, =О. При г ) 1 имеется много непропорциональных друг другу квадратичных функций, задающих ту же квадрику, наприг мер 2 Л,.х';=0 с любыми Л~ ) О. Покажем, что для остальных квадрик ответ проще: 7. Предложение. Пусть аффинная квадрика Х, не являющаяся аффинным подпространством, задается уравнениями Я, = 0 и Яг=О„где Яь Яг — квадратичные функции.

Тогда Я1 =И„1, для подходящего скаляра Л ен й. До к аз а тел ьство. Прежде всего, Х не сводится к одной точке. В силу предложения п. 18 $ 3 имеются две точки аь аз ~ Х, аффннная оболочка которых (прямая) не лежит в Х целиком. Пусть аь аз АХ и прямая, проходящая через точки аь аь не лежит в Х целиком, Введем в А систему координат (а1, еь ..., е„), где е„=аз — аь Запишем функцию Я1 в этой системе координат (), (хп ..., х„) = Лх'„+ 1', (х,„..., х„,) х„+ 1" ,(х„..., х„,), где 1;, 1 — аффинно линейные функции, т. е.

Характеристики

Список файлов книги