1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 51
Текст из файла (страница 51)
многочлены степени (1 от хь ..., х ь Так как прямая, проходящая через точки а1 =(О, ..., 0) и аз=(0, ..., О, 1), не содержится в Х целиком, то Л Ф 0 и 1; (О) ' — 4Л1 (О) ) О. Разделив Я1 на Л, можно считать, что Л = 1. Аналогично, можно считать, что как квадратный трехчлен от х„: Яг(хо ..., х„) =х'„-+ 1;.(х„..., х„,)х„+1;'(х„..., х„,) и )г(0)ь — 41';.(0) > О. Мы знаем тепеРь, что (г1 и Яг имеют одинаковое множество вещественных корней, и хотим доказать, что Ф =Ям Фиксируем вектор (сь ..., с 1)~й"-' и рассмотрим векторы (гсь ..., 1с ~), г ~ й.
Прн малых по модулю значениях 1 дискриминанты по х„трехчленов (г1(1сь "., 1с„-ь х ) и яг(1сь "., Гс„ь х ) остаются положительными, и вещественные корни их, отвечающие точкам пересечения одной и той же прямой с Х, совпадают. Значит, 1', 1г и 1",=1" .в таких точках (1сь ..., 1с 1). Поэтому 1',~1,' и 1," — ~1, ибо аффинно линейные функции, совпадающие на открытом множестве, совпадают. Действительно, их разность обращается в нуль в окрестности начала координат и потому мно- жество ее корней не может быть собственным линейным подпро- странством. Это завершает доказательство. й 6. Проективные пространства 1. Аффинные пространства получаются из линейных «забвением начала координат». Проективные пространства можно строить из линейных по меньшей мере двумя способами.
а) Добавить к аффинному пространству «бесконечно удаленные точки». б) Реализовать проективное пространство как множество прямых в линейном пространстве. Мы выберем в качестве основного определения б): оно яснее показывает однородность проективного пространства. 2. Определение. Пусть Š— линейное пространство над полем Я'.
Мноясесгво Р(Ц прямых (т. е. одномерных линейных надпространств) в Е называется проекгивным пространством, ассоциированным с Е, а сами прямые в Е называются точками Р(Е). Число 61гш Š— 1 называется размерностью Р(Ц и обозначается б)гп Р(Ц. Одномерные и двумерные проективные пространства называются соответственно проективной прямой или проектнвной плоскостью. Проективное пространство размерности и над полем Л' обозначается также и"Р" или Р»(п") или просто Р". Смысл соглашения б)ш Р(Е) = Й!п1 Š— 1 станет сейчас ясен. 3.
Однородные координаты. Выберем базис (еы ..., е„) в пространстве Е. Каждая точка р ~ Р(Ц однозначно определяется любым ненулевым вектором на соответствующей прямой в Е. Координаты хы ..., х„этого вектора называются однородными координатами гочки р. Они определены с точностью до умножения на ненулевой скаляр: точка (Ххы ..., кх ) лежит на той же прямой р и все точки прямой получаются таким образом.
Поэтому вектор однородных координат точки р по традиции обозначается (ха: х~'.....х»). Таким образом, координатное п-мерное проекгивное пространство Р(3Р~ы) есть множество орбит мультипликативной группы ,У'=Л"~,(0), действующей на множестве ненулевых векторов Я"+'~, (О) по правилу Х(хы..., х„) = (Лхо, ..., Хх.); (хо' хи...:х ) есть символ соответствующей орбиты. Пользуясь однородными координатами, можно хорошо представить себе структуру Р" как множества несколькими разными способами. а) Аффинное покрытие Р".
Положим У~ ((х«.... .'х„)~хс ~ О), 1=0, ..., и. » Очевидно, Р" Ц 1Уо В классе векторов проективных координат ~-0 любой точки р ~ Ц имеется единственный вектор а 1-й координа- той, равной 1: (хо.....х>.....х,)=(хо/х» ... .'1: ...:х„/х>). Опуская эту единицу, получаем, что (/> биективно множеству Лч', которое мы можем интерпретировать как и-мерное линейное или аффинное координатное пространство. Заметим, однако, что пока у нас нет никаких оснований считать, что на 1/; имеется какая-то естественная не завися>цая от выбора координат линейная или аффинная структура.
Позже мы покажем, что инвариантно можно ввести на (/> лишь целый класс аффинных структур, связанных, впрочем, каноническими нзоморфизмами, так что геометрия аффинных конфигураций в любой из них будет одна и та же. Назовем множество 1/> ж Л'" 1-й аффинной картой Р" (в данной системе координат).
Точки(у>п, ..., у>о») ~(/> и (у>/>, ..., у~/>) ен(/ при (Ф/ отвечают одной и той же точке Р", лежащей на пересечении 1/> П 1//, тогда и только тогда, когда, вставив 1 на 1-е место в векторе (у",>, ..., у'„") и иа /-е место в (у>а, ..., у>/>), мы получим пропорциональные векторы. В частности, Р' = (/о() (/>, (/от (/> свЛ'; точка уев (/о отвечает точке 1/у о= (/> при у чь О; точка у = 0 нз (/о не лежит в (/>, а точка 1/у = О нз (/> не лежит в (/о.
Естественно считать, что Р' получается из (/о ем Я добавлением одной точки с координатой у = оо. Обобщая эту конструкцию, получаем б) Клеточное разбиение Р". Положим 1/> = ((хо: ...:х„)1х/ — — О при ! < 1, х> ~ О). Очевидно, 1'о —— (/о и Р"= () )/>, но на этот раз все 1/> попарно >-о не пересекаются. В классе проективных координат любой точки ро†: 1/; имеется единственный представитель с единицей на >-м месте; опуская эту единицу и предшествующие нули, мы получаем бискцню 1/> с Л'"->. Окончательно Р =М" иМ '1ВМ и ... () Л Ло()Р" '.
Иными словами, Р" получается добавлением к 1/о ж Л"" бесконечно удаленного (и — 1) -мерного проективного пространства, состоящего нз точек (О:х» ... >х„); в свою очередь, оно получается из аффннного подпространства )/> добавлением бесконечно удаленного (относительно Г>) просктивного пространства Р ' и т. д. в) Проектианые пространства и сферы. В случае Л' = Й или С есть удобный способ нормировки однородных координат в Р", не требующий выбора ненулевой координаты и деления иа нее. Именно, любую точку Р" можно представить координатами (хо....
...: х„) с условием Д~х,1о 1, т. е. точкой на и-мерной (при Л'=К) или (2п+1)-мерной (при зс"=С) евклидовой сфере. Степень оставшейся неоднозначности такова: точка (Лхо.....Хх„) по-прежнему лежит на единичной сфере тогда и только тогда, когда ))>) 1, т. е. /> = ~1 при Л'= м, /> е>ч, 0 < >р (2п при Л" =С. Иными словами, л-мерное вещественное проективное пространство КР" получается из л-мерной сферы 5" отождествлением пар ее диаметрально противоположных точек.
В частности, КР1 устроена как окружность, а КР» — как лист Мебиуса, к которому по его границе приклеен круг (рис. 1, 2). Сложнее «увидеть» СР": в одну точку СР" склеивается целый большой круг сферы 5»"+', состоящий из точек (хсе'ч, ..., х„е'ч) с переменным ~р. Из описания СР' в случае б) в качестве С(1 (сс) ясно, что СР' можно представлять себе как двумерную сферу Римана, в которой оо представлена северным полюсом, как при сте- -О ь' а а' Рис.
1 пра Рис. 2 Рис. 3 реографической проекции (рис. 3). Поэтому наше новое представление СР' в виде факторпространства 5«дает замечательное отображение 5» — «5«, слои которого являются окружностями 5'. Оно называется отображением Хопфа. В описании этого пункта мы совсем забыли о линейной структуре, исходной для КР' и СР", зато нам стали ясно видны топологические свойства этих пространств, в первую очередь их компактность. (Строго говоря, в определении Р" никакая топология не фигурировала; удобнее всего вводить ее именно с помощью отображений сфер, условившись, что открытые множества в КР" и СР" это те, прообразы которых в 5' и 5«"+' открыты.) Впредь мы не будем пользоваться топологией и вернемся к изучению линейной геометрии проективных пространств.
Не будет, однако, преувеличением сказать, что важность КР" и СР' в значительной мере объясняется тем, что это естественные компактификации К" н С", позволя|ощие распространить основные черты линейной структуры на бесконечность. Даже над абстрактным полем м, не несущим никакой топологии, эта «компактность» проектнвных пространств появляется в массе алгебраических ва. рнантов. Типичный пример: на аффинной плоскости две разные прямые, вообще говоря, пересекаются в одной точке, но могут быть н параллельны.
Это означает, что точка их пересечения «ушла в бесконечность», и при переходе в проективную плоскость она благополучно обнаруживается: любые две проектнвные прямыб на плоскости пересекаются. Вернемся теперь к систематическому изучению геометрии Р" 4. Проективные надпространства. Пусть М с: Š— любое линейное надпространство в Е. Тогда Р(М) с: Р(й), ибо каждая прямая лежащая в М, является в то же время прямой, лежащей в Е. Множества вида Р(М) называются проективными надпростран-, ства и в Р(1.). Очевидно, Р(М,()Мг) Р(М,)()Р(М»), и то же верно для пересечения любого семейства. Следовательно, семейство проективных надпространств замкнуто относительно пересе. чений. Поэтому в многкестве проективных надпространств Р(Ц, содержащих данное многкество 5~ Р(Е), имеется наименьшее— пересечение всех таких надпространств.
Оно называется проектив. ной оболочкой Я, обозначается Я н совпадает с Р(М), где М- линейная оболочка всех прямых, отвечающих точкам ее=Я, в Е При переходе от пар Ь ~М к парам Р(Е)с: Р(М) размерности уменьшаются на единицу, так что коразмерность йтŠ— йгп М совладает с коразмерностью йт Р(Ц вЂ” йт Р(М). Далее, как мы уже отмечали, Р(М~(1 Мг)=Р(М1)(1 Р(М»), а Р(М1+М») совпа-. дает с проектнвной оболочкой Р(М,)(1 Р(Мг), Пользуясь этими замечаниями, мы можем написать проективный вариант теоремы п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
