1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 53
Текст из файла (страница 53)
при изоморфизме 1.-+-Е*, связанном с д, отвечает линейная функция Х а,,х,'х от (хо..., х„)~1.. ПоьТ-о этому уравнение полярной гиперплоскости имеет вид и а,хх= О. л ь -о В частности, если (хе~~ ...: х'„') ы 1г, то полярная еиперплоскость к данной точке содержит зту точку. Волев того, в этом случае еа все термины заменены на двойственные к ним по правилам предыдуи1его пункта, также является теоремой проективной геометрии. Простой пример: к теореме «две разные плоскости в трехмерном проективном пространстве пересекаются по одной прямой» двойственна теорема «через две разные точки в трехмерном проективном пространстве проходит одна прямая».
(В 5 9 мы познакомимся с гораздо более содержательными теоремами о проективных конфигурациях.) 3, Проективная двойственность и квадрики. Если линейное пространство Ь снабжено изоморфизмом 1.-+. Г, то Р(1.') можно отождествить с Р(Ц, и отображение двойственности между проектнвиыми подпространствами Р(1.) и Р(Е') превратится в отображение двойственности между подпространствами в Р(1.). Задание изоморфизма 1.-э 1. равносильно заданию невырожденного скалярного произведения йч 1, Х 1.-э- Л;. Рассмотрим подробнее геометрию проективной двойственности, отвечающуо случаю, когда скалярное произведение у симметрично, Как обычно, будем считать, что характеристика поля Х' отлична от двух. Тогда у однозначно восстанавливается по квадратичной форме д(1)= в(1.
1). Уравнение д(1) = О определяет квадрику (гч в 1.. Ее образ в Р(Ц мы также будем называть квадрикой. а в применении к теории двойственности — полярной квадрикой. Заметим, что Яч есть конус с центром в начале координат: если 1 ~ Ям то вся прямая Л'1 лежит в Яо. Отождествляя Р(1.) с бесконечно удаленными точками 1., мы можем отождествить Я с базой конуса Яы Согласно общей теории д и а определяют отображение двойственности множества проективных подпространств Р(1.) в себя; гиперплоскость в Р(Ц, двойственная точке р~ Р(1.), называется полярной к р (относительно д или Я).
Чтобы разобраться в геометрическом устройстве этого отображения, выведем сначала уравнение полярной гиперплоскости в однородных координатах. Мы можем работать сначала в 1.. Пусть уравнение Я~ имеет вид уравнение можно переписать в виде и и Х дд ( ы, хакк,— хо)= Х анхо(ху —,)-О. 1 ~г-о Рис. 4 В элементарной аналитической геометрии (над и) такое уравнение определяет касательную гиперплоскость к Яо в ее точке (х', ..., хо).
Это мотивирует общее определение: 4. Определение. Касательной гиперплоскостью к невырожденной квадрике Яс Р(Т.) в точке р ен О называется гиперплоскость, полярная к р относительно квадратичной формы д, задаюи)ей ф Пользуясь общими свойствами проектнвной двойственности, мы можем теперь немедленно восстановить геометрически значительную часть отображения двойственности и получить серию красивых и неочевидных геометрических теорем, образцы которых мы приведем. Ниже Π— (невырожденная) квадрика в Ро или Р'.
а) Пусть Я с Р~, рь ро — две точки на квадрике, ро — точка пересечения касательных к Я в р~ и рь Согласно общему принципу двойственности точка ро отвечает тогда Ра прямой р1рь проходящей через р1 н ры т. е. проективной оболочке р1 и рь Заставил точку ро меняться вдоль прямой й проведем из каждой точки прямой две касательные к Я и соединим пары точек касания. Тогда все получаюи4иеся «хорды» О пересекутся в одной точке г, которая отвечает ( в силу двойр, г я( ственности. Еще раз заметим, что для я( доказательства мы не нуждаемся ни в каких вычислениях: это следует просто из того, что по общему принципу двойственности проективная оболочка точек р, р,', р,, ...
полярна к пересечению двойственных к ним прямых, которые и суть соответствующие хорды. Один момент, однако, заслуживает специального упоминаний. Попарные пересечения касательных к точкам (г могут не заметать всю плоскость. Например для эллипса в мрг, как на рнс. 4 (у нас нарисован, конечно, лишь кусочек аффинной карты в мР»), мы получим лишь внешность эллипса. Как же узнать, какие прямые отвечают внутренним точкам эллипса? Рнс. 4 подсказывает ответ: в силу симметрии двойственности следует провести через внутреннюю точку г пучок хорд к О, затем построить точки пересечения касательных к О в противоположных концах этих хорд; они и заметут двойственную к точке г прямую й Однако, таким образом, описание отображения двойственности становится неоднородным. У нас оказываются два рецепта для построения прямой (, полярной к точке г.
1) Если точка г лежит вне эллипса Я (или на нем), проведите две касательные из г к Я (илн одну) н соедините точки касания прямой 1 (нлн возьмите касательную 1). 2) Если точка г лежит внутри эллипса Я, проведите все прямые через г, постройте точки пересечения касательных к двум точкам пересечения прямых через г с ~. Их геометрическое место и будет прямой, двойственной к г. Оказывается, все дело в том, что основное поле 11 здесь не является алгебраически замкнутым.
Если бы мы работали в СР», годились бы оба рецепта, и притом для всех точек г ~ СР'. Вещественная прямая 1, лежащая целиком вне вещественного эллипса Я, на самом деле все равно пересекается с ним, но в двух комплексно сопряясенных точках, и две комплексно сопряженные касательные к Я в этих точках пересекаются уже в вещественной точке г, лежащей внутри Я.
Из вещественной точки г, лежащей внутри Я, все равно можно провести две комплексно сопряженные касательные к Я, через точки касания которых проходит вещественная прямая — это и есть 1. В этом смысле вещественная проективная геометрия 1(Р» является лишь кусочком геометрии СР», и по-настоящему простая и симметричная теория двойственности имеет место в СР», а 1(Р» отражает лишь ее вещественную часть. Классическая проективная геометрия была в значительной мере посвящена выяснению деталей этого красивого мира конфигураций, состоящих из квадрик, хорд и касательных и «невидимых» комплексных точек касании и пересечения.
На самом деле вся квадрика может не иметь вещественных точек, как например х'+ х1 + х, '= О. Тем не менее видимая часть двойственности разыгрывается на 11Р». б) Дадим еьце одну иллюстрацию в трехмерном случае: рассмотрим проектнвную невырожденную квадрику Я в трехмерном проективном пространстве и проведем из точки г вне Я касательные плоскости к 9. Тогда все точки касания лежат в одной плоскости, а именно в плоскости, двойственной к г. Причина снова та же: пересечению касательных плоскостей двойственна проективная оболочка точек касания, и если все касательные плоскости пересекаются в точности по г (это нужно и можно доказать в случае, когда О имеет достаточно много точек), то эта проективная оболочка должна быть двумерна. Комментарии по поводу комплексных точек касания и пересечения те же, что и в двумерном случае. Строгое определение вместилища недостающих точек проективиого пространства и квадрики в случае Х = Й опирается на понятие комплекснфнкации (см.
$ !2 ч. 1), 5. а) Комплексификацией проективного пространства Р(Ц над 11 называется проективное пространство Р(Ьс) пад С. Каноническое вложение Ьс:Ес позволяет сопоставить каждой К-прямой в (. ее комплексификацию — С-прямую в Ьс, что определяет вложение Р(Е)с: Р(Ес). Точки Р(Ес) суть «комплексные точки» вещественного проективного пространства Р (Е) .
б) Изоморфизм Е- Е', определяемый скалярным произведе. нием д на Е, индуцирует комплексифицированный изоморфизм Ес-э(Ес) . Он определяется симметричным скалярным произведением дс на Ес, которое задает нам квадрику Яс и проективную двойственность в Р (Ес). На Ес и Р (Ес) действует операция комплексного сопряжения, индуцированная антилинейиым изоморфизмом Ес- Ес, тождественным на Е с: Ес. Точки Р(Е) — это точки Р(Ес), инвариантные относительно комплексного сопряжения; они называются вещественными. Более общо, проективные подпространства в Р (Ес), переводящиеся в себя при комплексном сопряжении, находятся в биекции с проективными подпростраиствами в Р(Е). Назовем такие подпространства вещественными. Тогда два отображения, устанавливающие взаимиообратные биекции, можно описать так: (вещественное проективное подпространство в Р (Ес)) -~ (множество его вещественных точек в Р(Е); (проективное подпростраиство в Р(Е)) — (его комплексификация в Р(Ес)).
в) Отображение двойственности в Р(Е), определенное с помощью и, получается из отображения двойственности в Р(Ес), определенного с помощью дс, посредством ограничения последнего на систему вещественных подпростраиств в Р (Ес), отождествленную с системой подпространств в Р(Е), как в разделе 6). Проверки всех этих утверждений, если учесть результаты $12 ч, 1, проводятся непосредственно, а в вещественной системе координат Ес, пришедшей из Е, совсем тавтологичны.
Единственная содержательная сторона ситуации, проиллюстрированная выше на примерах, состоит в возможности проявления вещественных точек на невидимых комплексных конфигурациях вроде лежащей внутри эллипса точки пересечения двух невещественных касательных к двум комплексно сопряженным точкам этого эллипса.
В случае основного поли Л', отличного от 11, нужно воспользоваться общим функтором расширения основного поля (например„ до алгебраического замыкания Л') вместо комплексификации. Ситуация, однако, несколько усложняется тем, что вместо одного отображения комплексного сопряжения придется привлекать всю группу Галуа для выделения объектов, определенных над исходным полем (вещественных в случае Л' = К). й 8. Проективные группы и проекции 1. Пусть 1., М вЂ” два линейных пространства, 1: Е-~М вЂ” линейное отображение. Если Кег( = (0), то 1 переводит любую прямую из Е в однозначно определенную прямую в М и, значит, индуцирует отображение РЦ): Р(Е)-э-Р(М), называемое проективизацией 1. В частности, если 1' — изоморфизм, РЯ называется проективным изоморфизмом. При Кег[чь (О) положение дел сложнее: прямые, лежащие в Кег)', т.
е. составляющие проектнвное подпространство Р(Кег [) с: Р(Е), переходят в нуль, который не определяет никакой точки в Р(М). Поэтому проектнвнзация РЦ) определена лишь на дополнении Е>> Р(Е)',Р(Кег(). Оба этих случая важны, но ведут в разных направлениях, и мы исследуем их отдельно. Наиболее существенные геометрические черты ситуации выявляются уже при Е=М. 2. Проектнвная группа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
