1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 52
Текст из файла (страница 52)
3 $5 ч. 1. Заметим лишь, что в соответствии с определением в п. 2 размерность пустого проектнвного пространства следует считать равной — 1: этот случай вполне реален, ибо непустые надпространства могут иметь пустое пересечение. 5. Теорема. Пусть Рь Р» — два конечномерных проекгивньгх надпространства в проективном пространстве Р. Тогда Жп Р, () Р»+ б(щ Р1 ()Р, йпг Р, + йгн Р,. 6. Примеры.
а) Рь Р» — две разные точки. Тогда б(шР, ПР, = — 1, б(ш Р, = йпг Рг = О, откуда йт Р1()Р, = 1, т. е. проективной оболочкой двух точек является прямая. Согласно определению проективной оболочки, она является единственной проективной прямой, проходящей через две точки. б) Допустим, что йтрг+йтР,= йтР. Тогда, поскольку йгп Р1 ( )Р, ( йгп Р, имеем йгп Р, () Р, < О.
Иными словами, два проективных надпространства, сумма размерностей которых больше нлн равна размерности обьемлющего пространства, имегот иепустое пересечение. В частности, в проектнвной плоскости нет «параллельных» прямых: любые две прямые пересекаются либо в одной точке, либо в двух и тогда (в силу примера а) ) совпадают. Аналогично, две проектнвных плоскости в трехмерном проективном пространстве обязательно пересекаются по прямой или совпадают.
Проективная плоскость и прямая в трехмерном пространстве пересекаются по точке или прямая лежит в плоскости. в) Условие Р1 () Ре В в случае Р, = Р(М;) означает, что М1() Мг = (О), т. е. что сумма М1+ Мг прямая. 7. Задание проективных надпространств уравнениями. Линейная функция 1: Т.- Л' на линейном пространстве ь не определяет никакую функцию на Р(Т) (кроме случая 1= О), ибо всегда есть прямая в Е, на которой эта функция непостоянна, и нет возможности фиксйровать ее значение в соответствующей точке Р(Ц. Но уравнение 1 О определяет линейное подпространство в й и потому проективное надпространство в Р(Ц. Если 1 конечномерно, то любое подпространство в 1. и потому любое полпространство в Р(Ц можно задать системой уравнений 11-" =1 =О. В однородных координатах Р" этот эффект проявляется так: си- стема линейных однородных уравнений и Д ацх1 — — О, 1=1, ..., т, задает проективное подпространство в Р", состоящее из точек, однородные координаты которых (хе: ...: х ) удовлетворяют этой системе.
Умножение всех координат на Х не нарушает обращения в нуль левых частей. 8. Аффннные надпространства н гиперплоскости. Пусть М с 1. — линейное подпространство коразмерности единица. Тогда Р(М) с: с: Р(Т.) имеет коразмерность единица, и мы будем называть такис лодпространства гиперплоскостями. Мы покажем сейчас, как ввести на дополнении Ам к гиперплоскости Р(М) структуру аффинного пространства (Ам, М, +). Выберем в Ь линейное многообразие М'= т'+ М, не проходящее через начало координат.
Оно имеет естественную аффннную структуру: сдвиг на т еп М в М' индуцирован сдвигом на т в ь, т, е. состоит в прибавлении т. С другой стороны, Ам н М' находятся в биективном соответствии: точка Ам есть прямая, не лежащая в М, и она пересекается с М' в единственной точке, которую н поставим в соответствие псхолной точке Ам. Так получаются все точки по одному разу. С помощью этого биективного соответствия аффинную структуру на М' можно перенести на Ам.
Однако выбор М' не однозначен, и это приводит к неоднозначности аффинной структуры Ам. Чтобы сравнить две такие структуры, покажем, что тождествешюе теоретико- множественное отображение Ам в себя является аффннным изочорфизмом этих лвух структур. 9. Предложение. Пусть (Ам, М, +') и (Ам, М, +") — две аффинные структуры на Ам, построенные с полои1ью описанной конструкции Тогда тождественное отображение Ам в себя явля- 224 ется аффинным изоморфизмом, линейная часть которого есть некоторая голютетия М.
Доказательство. Пусть две структуры отнечают подмногообразиям т'+ М н гп«+ М. Классы и'+ М и гп" + М в одномерном факторпространстве 1./М пропорциональны, Поэтому можно считать, что гп" = ага', а = л». Умножение на а в Е переводит гп'+ М в пт" + М и индуцирует тождественное отображение Р(Е) в себя и потому Ам в себя. С другой стороны, сдвиг на вектор и а= М в и' + М при гомотетии переходит в сдвиг на вектор агп ~ М в гп« + М. Это и доказывает требуемое. 1й. Следствие. Множество аффинных надпространств в Аи с их отношениями инцидентности, а также множества аффинных отображений Ам в другие аффинные пространства не зависят от произвола в выборе аффинной структуры Ам. Это оправдывает возможность рассматривать дополнение к любой гиперплоскости в проективном пространстве просто как аффинное пространство без дальнейших уточнений. Посмотрим теперь, как выглядит проективное пространство Р(М) «с точки зрения» аффнииого пространства Аи.
11. Предложение. Точки Р(М) находятся в биективном соответствии с классами параллельных прямых в Ам. Иными словами, казсдая точка Р(М) есть «направление ухода на бесконечность» в Аи. Доказательство. Отождествим Ам с гп'+М. Класс параллельных прямых в и'+М определяется своей направляющей в М, т. е. точкой в Р(М), и это соответствие биективно. 12. На самом деле можно сказать больше: каждая прямая ! в Аи однозначно определяет содержащую ее прямую в Р(Ц— а именно, ее проективную оболочку Б Проектнвная оболочка получается добавлением к 1 единственной точки, которая как раз лежит в Р(М) и является «бесконечно удаленной точкой» этой прямой.
Весь клясс параллельных прямых в Ам имеет общую бесконечно удаленную точку в Р(М). При отождествлении Аи с т'+ М оболочка 1 отвечает всем прямым плоскости в Ь, проходящей через 1 и направляющую 1, а бесконечно удаленная точка 1 — это сама направляюшая. Более общо, пусть А с: Ам — 'любое аффинное подпространство. Тогда его проективная оболочка А в Р(Ц обладает следующими свойствами: а) А~,А ~ Р(М): добавляются лишь точки на бесконечности, б) б)гпА = б(гпту.
в) А~,А есть проективное подпространство в Р(М)' размерности ЖпА — 1. (Поэтому Х называют также проективным замыканием А.) Отождествление Аи с т'+ М сводит проверку этих свойств к прямому применению определений. Действительно, Л состоит из прямых, лежащих в линейной оболочке А с и'+ М. Эта линейная оболочка натянута на направляющую Еь подпространства А н любой вектор из А. Поэтому ее размерность равна б)шЕ«+1 = .йсгпА+1, значит, дппА = с!!шл. Все прямые в этой линейной оболочке пересекаются с т'+ М„т. е.
отвечают точкам А, за исключением прямых, лежащих в направляющей Е,. Последние лежат в Р(М) и образуют проектнвное пространство размерности д!гп Ео — 1 *== с!!гп А — 1. й 7. Проективная двойственность и проектнвные квадрики 1. Пусть Š— линейное пространство над полем Л', Е' — двойственное к нему пространство линейных функционалов на Е. Проективное пространство Р(Е*) называется двойственным к проективному пространству Р(Ц. Каждая точка Р(Е') есть прямая (ХД в пространстве линейных функционалов на Е.
Гиперплоскость ! = О в Р(Ц не зависит от выбора функционала ! иа этой прямой и однозначно определяет всю прямую. Поэтому можно сказать, что точками двойственного проективного пространства являются гиперплоскости исходного проективного пространства. Если в Е и Е" выбраны двойственные базисы и соответствующие системы однородных координат в Р(Ц и Р(Е'), это соответствие приобретает простой вид: гиперплоскости с уравнением Е', асхс —— О с- в Р(Ц отвечает точка с однородными координатами (аьз ...: а„) в Р(Е').
Канонический изоморфнзм Е- Е показывает симметрию отношения двойственности между двумя проективными пространствами. Более общо, переводя результаты $ 7 ч. 1 на проективный язык, мы получим следующее соответствие двойственности между системами проективных подпростраиств в Р(Е) и Р(Е') (мы считаем дальше, что Е конечномерно). а) Подпрострапству Р(М) с. Р(Ц отвечает двойственное к нему надпространство Р(Мх)~ Р(Е"). При этом д!гп Р(М)+ й!сп Р(Мс-) = бнп Р(Е) — 1.
б) Пересечению проективиых подпространств отвечает проективная оболочка двойственных к ним, а проективной оболочке— пересечение. В частности, отношение инцидентности двух подпространств (т. е. включение одного в другое) переходит в отношение инцидентиости. Это позволяет сформулировать следующий принцип проективной двойственности, являющийся, собственно говоря, метаматематическим, поскольку он представляет собой утверждение о языке проектнвпой геометрии. 2.
Принцип проекгивной двойственности. Предположим, что мы доказали теорему о конфигурациях проективных подпространств в просктивных пространствах, в форлсулировке которой фигурируют лишь свойства размерности, инцидентности, пересечения и взятия проективной оболочки. Тогда двойственное утверждение, в котором д(хм ..., х ) чв Я а~гх~хг =О, ь г-а ан — — аи. Точке (х', ..., х~) в 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
