1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 47
Текст из файла (страница 47)
б) Движением а44инного евклидова пространства А называется произвольное отображение (: А -~ А, сохраняющее расстояния: аЯа), ЦЬ))= й(а, Ь) для всех а, Ь енА. б. Теорема. Движения аф4инного евклидова пространства А образуют группу, совпадающую с аффинным расишрением группы ортогональных изометрий 0(й) ассоциированного с А евклидова пространства Е. Д о к а з а т е л ь с т в о. Проверим сначала, что любое аффинное отображение 1: А-+А с 01 еиО(Е) является движением.
В самом деле„ согласно определениям йД(а), )(Ь))=!7(а) — ((Ь)! !07(а — Ь)! !а — Ь! с((а, Ь); в третьем равенстве мы воспользовались теы, что 01 ей 0(Е). Основная работа связана с доказательством обратного утверждения. Прежде всего, очевидно, что композиция движений есть движение. Далее, мы уже установили, что сдвиги являются движениямн. Пусть а яА — произвольная фиксированная точка, 1 — движение.
Положим д (~,п ! ° 1. Это движение, оставляющее точку а нв месте. Достаточно доказать, что оно аффинное и что 0у ен 0(1.). Отождествим А с Е, как в и. 12 5 1, с помощью отображения с тождественной линейной частью, переводящего а в 0 е= Е. Тогда превратится в отображение у: 1'.- Е со свойствами д(0)=0 и у(!) — у(тп) !=!1 — гп! для всех 1, т~Е, н достаточно установить что такое отображение лежит в 0(й). 202 Проверим прежде всего, что д сохраняет скалярные произведения. Действительно, для любых 1, тен Е ( 1» 2 ( 1 т ) + ~ т ( ~ 1 1 т < з < к (» к ( т ) Р =<у(Е) Р— 2(д(1), д(т))+<у(т) Г» откуда следует требуемое, ибо <у(1) ~з= <1<«, (д(т) <з= <т<з. Теперь покажем, что у аддитивно: д(1+ т)=д(1)+у(т).
Положив 1+ и = и и воспользовавшись предыдущим свойством, имеем 0=< п — 1 — т(2=(а ~»+<1<«+! тР— 2(п, 1) — 2(п, т) + 2(Е, т) < д (а) г + ~ у (1) (2+ < у (т) (» — 2 (д (а), д (1)) — 2 (у (п), д (т)) + +2(д(1), д(т))=!у(п) — у(Е) — д(т) (', откуда у(п) = у(1)+ д(т). Наконец, покажем, что д(х<)=хд(1) для всех хан ЕЕ, ЕенЕ,. Полагая и =х1, имеем 0 =1т — х! (' = ! т ~« — 2х (т, Е) + х' ~ Е ~' = = ~ д (т) (» — 2х (д (т), д (Е)) + х' ( д (Е) ~« = ! д (т) — хд (Е) ('.
Итак, д — линейное отображение, сохраняющее скалярные проиаведения, т. е. у ~ О(Е). Теорема доказана. 6. Теорема. Пусть 1: Л- Л вЂ” движение евклидова аффинного пространства с линейной частью 01. Тогда существует такой вектор !~Е, что 01(1)=1 и 1=6 ° д, где д: А-»-А — движение, имеющее неподвижную точку и е= Л. Доказательство. Прежде всего, выясним геометрический смысл зтого утверждения. Отождествив А с 1. посредством аффинного отображения с тождественной линейной частью, которое переводит а в О, мы получаем, что 1 является композицией ортогонального преобразования у и сдвига на вектор 1, неподвижный относительно д (ибо 01= 0д).
Иными словами, это «винтовое движение», если де(у=1, или винтовое движение, скомбинированное с отражением, если де(д= — 1, В самом деле, у вполне определяется своим ограничением дь на1: у=у,ЯЫа<, так что д есть вращение вокруг оси Щ (возможно, с отражением). Приступим теперь к доказательству. Положим Е.г —— Кег(0(— — Ыс), Ел =Е»'. Имеем Е = Е1 <ц Ен Е.«состоит из 01-ннвариантнык векторов, пространство Е, инвариантно относительно 01 — Ыс (ибо 01 ортогонален), н ограничение 0(†Ыс на 1.1 обратимо. Выберем сначала произвольную точку и'е=А и положим Н' = 1„. » <. Очевидно, д'(а') = а'. Положим <(а') — а' = 11 + 1ь где 1» е= Еь 1« ~ Е«, тогда < =1<, » 1<, «к' и 0((1д) = 1«по определению. Покажем, что у= <и» н' имеет неподвижную точку а= и'+т для некоторого т~ Е.~.
Имеем <ь «е' Ги' + т) = д» <п' + т) + <, = с' + 01 (и) + Ео Правая часть равна а'+ т тогда и только тогда, когда (01 — Ыс)и+ 11 — — О. Но, как мы уже отмечали, на Т., оператор 01 — Ыс обратим и й с=ьь Поэтому т существует. Мы получили требуемое разложение )'=Гнид и завершили доказательство. Движения 1 со свойством де101 = 1 называются иногда собственными движениями, а остальные (с де1 01" = — 1) — несобственными. Представим более наглядно информацию о движениях чффинных евклидовых пространств размерности п(З,содержащуюся в теореме п.
6. В следующем пункте сохранены обозначения этой теоремы. 7. Примеры. а) и = 1. Поскольку 0(1)= (~1), собственные движения состоят только из сдвигов. Если 1 несобственное, то 01 = — 1, и из 01(1) =1 следует, что 1=0. Поэтому всякое несобственное движение прямой имеет неподвижную точку и, стало быть, является отражением относительно этой точки. б) и =2.
Собственное движение 1 с Р(=Ы является сдвигом; если Р~Ф Ы и де101'= 1, то Р(, будучи вращением, ие имеет неподвижных векторов, так что снова 1= О и ( имеет неподвижную точку, относительно которой 1 является вращением. Если 1 — несобственное движение, то 01 есть отражение плоскаети относительно прямой, а г есть комбинация такого отражения и сдвига вдоль этой прямой.
Значит, если несобственное движение плоскости имеет неподвижную точку, то оно имеет целую прямую неподвижных точек и представляет собой отражение относительно этой прямой. в) и = 3. Если де1 01'= 1, то Р( всегда имеет собственное значение единица и неподвижный вектор. Поэтому все собственные движения трехмерного евклидова пространства являются винтовыми движениями вдоль некоторой оси (включая сдвиги, т. е. вырожденные винтовые движения с нулевым поворотом). Это — так йазываемая теорема Шаля. Если движение ~ = йи несобственное и 1 ~ О, то ограничение о на плоскость, ортогональную к 1 и проходящую через неподвижную точку а, есть несобственное движение этой плоскости.
Поэтому оно является отражением относительно прямой в этой плоскости. Обозначим через Р плоскость, натянутую на 1 и на эту прямую. Тогда йй есть комбинация отражения относительно плоскости Р и сдвига на вектор 1, лежащий в Р. Наконец, если 1= О, т. е. 1 несобственное и имеет неподвижную точку, то, отождествляя ее с нулем в 1., а 1 с 01 и пользуясь существованием у 1 собственной прямой ьь с собственным значением минус единица, попучаем геометрическое описание 1 как композиции вращения в 1„~ и отражения относительно Е~х. Пользуясь полярным разложением линейных операторов, мы можем также разобраться в геометрической структуре любого обратимого аффииного преобразования евклидова аффинного пространства. 8.
Теорема. Всякое аффиннов преобразование и-мерного евклидова пространства 1' может быть представлено в виде номпозииии грех огобразсений: а) и растяжений (с положительными ноэффи- циентами) вдоль п попарно ортогональных осей, проходяи(их через некоторую точку аь ~ А; б) движения, оставляющего неподвилсным точку аь; в) сдвига. Доказательство.
Заменив 1 его композицией с подходящим сдвигом, как в доказательстве теоремы п. 5, мы можем считать, что уже 1 имеет неподвижную точку а,. Отождествив А с 1. и аь с нулем, мы можем рааложить 1=0( в композицию положительно определенного симметрического оператора н ортогонального оператора.
Приведя первый из них к главным осям и перенеся эти оси в А, получим требуемое. 9. Заметим в заключение, что в этом параграфе мы широко пользовались линейными подмногообразиями в А (прямыми, плоскостями), определяя их конструктивно как прообразы линейных пространств в 1. при разных отождествлениях А с 1„ зависящих от выбора начала координат. Следующий параграф посвящен более систематическому исследованию связанных с этим понятий. й 3.
Аффинные надпространства 1. Определение, Пусть (А, Е) — некоторое аффинное пространство. Подмножество В с: А называется аффинным подпространством в А, если оно пусто или если множество М = (Ь, — Ь, ~ 1.1 Ь» Ь, я В) ~ 1. является линейным подпространством в 1. и 1 (В)с.-. В для всех тев М. 2. Замечания. а) Если выполнены требования определения и В непусто, то пара (В, М) образует аффинное пространство, что оправдывает терминологию (подразумевается, что сдвиг В посредством вектора из М получается ограничением на В этого же сдвига на всем А). В самом деле, просмотр условий в определении п.
1 3 1 сразу же показывает, что они выполнень1 для (В, М). В частности, выбрав любую точку Ь ев В, получаем В = = (Ь+ гп(т ~ М). б) Будем называть линейное подпространство М = (Ь, — Ьг 1Ьь Ьг~В) направляющим для аффинного подпространства В. Размерностью В называется размерность М. Очевидно, из В| с: В, следует, что М, с: М, и, значит, дпп В| ( о)ш Вг.
Назовем два аффинных подпространства одинаковой размерности с общим направляющим пространством параллельными. 3. Предложение. Аффинные подпространства одинаковой размерности Вь Вг~ А параллельны тогда и только тогда, когда существует такой вектор 1~1„что Вг= 1,(В,). Любые два вектора с таким свойством отличаются на вектор из направляющего пространства для, В1 и Вь Доказательство.
Если Вт — — 6(В~)' и Мь М1 — направляющие Вч и В, соответственно, то Мг = (а — Ь1а, Ь еи Вг) = ((а'+ 1) — (Ь' + 1) 1а', Ь' ~ В1) = М„ так что В1 и Вг параллельны. Наоборот, пусть М вЂ” общее направляющее для В! и Вь Выберем точки Ь! ~ В и Ьь ги Вь Имеем В! — — (Ь! + Ц1я М), В, = =(Ьг+1!!1епМ), откуда Вг=1ь,-ь,(В!).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
