1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 43
Текст из файла (страница 43)
4. Теорема (Витт). Пусть ь — невырожденное конечномерное ортогональное пространство, ь', 1." ~ С вЂ” два его изометричных надпространства. Тогда любая изол~етрия Г', ь'-ч-(.н может быть продолжена до изометрии 1: 1.-+-1., совпадающей с Г' на 1.'. Д о к аз а тел ь ст в о, Разберем последовательно несколько случаев. а) 1.Г 1.н и оба пространства невырождены. Тогда = 1.'9(Г) г и можно положить 1= )' 9 1й,,~. б) А' чь 1.", й(гп ь' = й(гп 1.п = 1, и оба пространства невырождены.
Изометрию Г', 1.'-~Е" можно продолжить до нзометрии (ч: 1.'+1."-+Г+1.", положив )"(1)=('(1) для 1~1,', ("(1)= =(Г)-'(1) для 1еи 1,". Если 1.'+ Гв певырождено, то 1" продолжается до 1 по предыдущему случаю. Если 1,'+ Ь" вырождено, то ядро скалярного произведения на Т,'+ й" одномерно. Пусть е1 порождает это ядро, е, порождает Л'. В ортогональном дополнении к ет в 1 найдем такой вектор ео что базис (ен е',) порождаемой этими векторами плоскости гиперболнчен. Это возможно по лемме п.
3. Покажем, что подпространство Т.ы натянутое на(ео е„е,), невырождено, и изометрия Г', ь' — э. Т" продолжается до изометрии ~: Та -Т.ь. После этого можно будет применить случай а). Невырожденность следует нз того, что (емез)чьО, а матрица Трама векторов (е„е',, е„.) имеет вид < о1 о 1 О О О О (еь ы) Для продолжения Г' заметим сначала, что ортогональное дополненве к ~'(ед) в Еь двумерно, невырождено и содержит изотропный вектор еь Поэтому оно является гиперболической плоскостью, так же как н ортогональное дополнение к ез в Т.ь.
По лемме п. 2, существует нзометрия второй плоскости с первой. Ее прямая сумма с Г' является искомым продолжением. в) д|тГ=д1т1.".= 1 и Т.', Т." невырождены. Проведем индукцию по днп Е'. Так как в Е' имеется ортогональный базис, существует разложение Е = Т.1 ф Е.
в ортогональную прямую сумму подпространств ненулевой размерности. Так как Г' — изометрия, то Р й = — Т.~ 9 1л, где Л~ =)' (Е;), и эта сумма ортогональна. По индуктивному предположению ограничение Т' на Т.1 продолжается до изометрии )к Т. — й. Она переводит (т'.~)~:» Те в (Ь1)~:» Ц. Снова по индуктивному предположению существует изометрия (Ь,)х с (Ь,)», которая на Ез совпадает с ограничением Т'. ДоР полнив его ограничением Г' на ).ь получим требуемое.
г) Т.' выроядден. Мы сведем этот последний случай к уже разобранному. Пусть ~э с: Т. — ядро ограничения метрики на Т.'. Выбрав ортопормированный базис в Т.', мы можем построить прямое разложение Т. Ь1 й» Т.0, где Т1 невырождено. В ортогональном дополнении к Ь, внутри Ь мы можем найти подпространство Ь такое, что сумма Тьй»1,91ь прямая и пространство К,© Ь гиперболично, как в лемме п. 3; в частности, Хо®Т,|ЯЬ» невырождено. Аналогично построим Ь9Т.19Т.0, исходя из пространства Т.". Очевидно, изометрия )'. Т.' -~-Ен продолжается до изометрий этих прямых сумм, ибо все гиперболические пространства одинаковой размерности изометричны.
Возможность дальнейшего продолжения этой изометрии следует теперь из случая в). Теорема доказана. б. Следствие. Пусть Т.ь Та — изометричные невырожденные пространства и Т.ь Т.т — их изометричные надпространства. Тогда ортогональныа дополнения (Ь~)~, (т.з) к ним изометричны. 6.
Следствие. Пусть Š— невырожденное ортогональное про- странство. Тогда любое изотропное надпространство Е содержится в максимальном изотропном подпространстве, и для двух макси- мальных изотропных подпросгранств Е', Е" существует изометрия (: Е-+-Е, переводящая Е' в Е", Д оказ а тельство. Первое утверждение тривиально.
Для доказательства второго допустим, что д|т Е'( д(1гп Е". Любая ли- нейная инъекция Т': Е'- Е» является изометрией Е' с )тТ'. По- этому она продолжается до изометрии [: Е-+ Е. Тогда Е' с: 1-'(Е") и [-'(Е") изотропно. Так как Е' максимально, о1п1 Е' = д)т [-' (Е") = б1ш Е". 7. Следствие. Для любого ортогонального пространства Е су- ществует ортогональное прямое разложение Е»ЮЕи ЮЕ», где Еь изотропно, Еь гиперболично и Е» анизотропно. Для любых двух . таких разложений существует изометрия [: Š— ~Е, переводящая одно из них в другое. Доказательство Возьмем в качестве Еь ядро скалярного произведения.
Разложим Е в прямую сумму Еьй Еь В Е~ возьмем максимальное изотропное подпространство и вложим его в гипер- болическое надпространство удвоенной размерности Еь, как в лем- ме п. 3. В качестве Е» возьмем ортогональное дополнение к Е„ в Е,. Оно не содержит изотропных векторов, иначе такой вектор можно было бы добавить к исходному изотропному надпростран- ству, которое не было бы максимальным.
Это доказывает суще- ствование разложения требуемого вида, Наоборот, в любом таком разложении Еь®ЕьЮЕ» простран- ство Еь является ядром. Далее, максимальное изотропное подпро- странство в Еи одновременно максимально изотропно в ЕлЮЕ», поэтому размерность Еь определена однозначно. Значит, для двух разложений Е»9Еь9Е» и Е»9Еь9Е» существует изометрия, Ф переводящая Ео в Ео, Еь в Ел Она дополняется изометрией Е» вЕ» по теореме Витта, что завершает доказательство. Назовем Е» ани- зогропной частью пространства Е; она определена с точностью до нзометрии. Это следствие есть обобщение принципа инерции на произволь- ные поля скаляров, сводящее классификацию ортогональных про- странств к классификации анизотропных пространств или, на языке квадратичных форм, к классификации форм, не представ- ляющих нуля, для которых из д(()= О следует, что (= О. 8.
Группа Витта. Пусть и' — поле скаляров. Обозначим через )р'(Х) множество классов анизотропиых ортогоиальных про- странств над .й» (с точностью до изометрии), дополненное классом нулевого пространства. Введем иа К(Х) следующую операцию сложения: если Е„Е, — два аиизотропных пространства, [Е1], .'[Ег] — их классы в )г'(»с'), то [Е1]+[Ее] — класс анизотропной ча- сти Е1 Ю Ег (справа стоит ортогональная внешняя прямая сумма). Нетрудно убедиться, что определение корректно. Далее, эта операция сложения ассоциативна, и класс нулевого пространства служит нулем в )г'(М1.
Более того, имеет место 19з 9. Теорема. а) )Р(Л') с введенной операцией сложения является абелевой группой, называемой группой Витта поля Л'. б) Пусть В„означает одномерное координатное пространство над Л' со скалярным произведением аху, аяЛ'',(О). Тогда [Ц зависит только от смежного класса а(Л'")т, и злементы [Е„) составляют систему образующих группы )Р(Л') . Д о к а з а т е л ь с т в о. Нам осталось убедиться, что у каждого элемента )Р(Л') существует обратный.
Действительно, пусть В— аннзотропное пространство с метрикой, которая в ортогональном П базисе (еь ..., е ) задана формой 2 а,.хг Обозначим через Е про- 1 1 странство В с метрикой — Да,.х,' и покажем, что ЕЮЕ гиперболично, так что [Ц+ [Е) =[О) в )Р(Л'). Действительно, метрика и в ВЮЕ задана формой й, а,,[х', — у',). Но плоскость с метрикой а(х' — ут), очевидно, гиперболнчна, ибо форма невырождена, а вектор (1,1) изотропен. То, что [л'.,"1 зависит лишь от а(Л'*)г, было проверено в и. 7 ч 2. Кроме того, каждое и-мерное ортогональное простоанство разлагается в прямую ортогональную сумму одномерных пространств вида В . Это завершает доказательство.
й 1б. Алгебры Клиффорда 1. Алгеброй над полем Л' мы будем называть ассоциативное кольцо с единицей А, содержащее поле Л' и такое, что Л' лежит в центре А, т. е. коммутирует со всеми элементами А. В частности, А является Лл-линейным пространством.
Рассмотрим конечномерное ортогональное пространство В с метрикой д. В этом параграфе мы построим такую алгебру С(В) и Л'-линейное вложение р: Е-~-С(А), что для любого элемента 1~ Е будет выполнено соотношение р(1)'=у(1, 1) 1, т. е, скалярный квадрат каждого вектора из В будет реализован как его квадрат в смысле умножения в С(В). Кроме того, элементы рК) будут мультипликативными образующильи С(В), т.
е, любой элемент из С(В) окажется представимым в виде линейной комбинации (некоммутативпых) одночленов от элементов р(Е). Алгебра С(Ц (вместе с отображением р) с такими свойствами будет называться алгеброй Клиффорда пространства й. 2. Теорема. а) Для всякого конечномерного ортогонального пространства Е алгебра Клиффорда С(В) существует и имеет размерность 2" над Л', где п = й)ш 1.. б) Пусть о: Е -+.  — любое Л'.-линейное отображение В в Л'-алгебру П, для которого о(1)т = д(1, 1) ° 1 для всех 1е= В.
Тогда существует единственный гомоморфизм М-алгебр т: С(Е) л- 0 такой, что о=т ~р. В частности, С(Е) определена однозначно с точностью до изоморфизма. Доказательство. а) Выберем в ь ортогональный базис (еь ..., е ), (ене;)=аь По определению, в С(Е) должны выполняться соотношения Р(е,)' аь Р(е,)Р(е~)= — Р(е)Р(е,), (чь1. Второе из них следует из того, что (р(е;+ е!))~ = р(е;)т+ + р(е;) р(е~)+ р(е;) р(е;)+ р(е~)' = р(е;)э+ р(е )э. Разложив элементы !ь ..., ! ен Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
