1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Теперь напишем некоторую систему образующих группы Я)(2), вдохновляясь следствием и. 7 $8, согласно которому отображение ехр: п(2) — ~1)(2) сюръективно. Непосредственное вычисление экспоненты от трех образующих пространства зп(2) дает: ! . 2 СОВ ехр(2 йо!)=~ ! мп— 2 с08— ехр ( 2 йоз) — БШ— 2 ! мп— 2 ( вью Любой элемент ( ) ~ 811(2), для которого ! Ь.-) представить в виде ехр ! — щи) ехр ! — 16о,) ехр !ч — !!роз) = ~2 аЬ Ф О, можно е ! —. ч+ч соз — е 2 2 .в! —, Ф вЂ” Ф ! мп — е 2 !70 где О < ф < 2п, О < О < и, — 2п < ф < 2п. Для этого достаточно Е т+4 е — ф+и положить ~ а ~ = соз †.
ага а =, ага Ь = . (Элементы Я>(2) с Ь =О, очевидно, имеют вид ехр ( — йро,) ! мы (,2 оставляем читателю возможность разобраться с элементами, для которых а = О.) Углы !р, О, ф называются углами Эйлера в группе Я)(2). 14. Структура $0(3). Мы отождествили ЯЗ(2) топологически с трехмерной сферой. При гомоморфнзме з: Я) (2) — ~-80(3) в одну точку БО(3) переходят пары элементов ~(7енЯЗ(2). На сфере они образуют концы одного из диаметров.
Поэтому 30(3) топо- логически есть результат склеивания трехмерной сферы по парам противополоясных точек. С другой стороны, пары противоположных точек сферы находятся во взаимно однозначном соответствии с прямыми в четырехмерном вещественном пространстве, соединяющими точки пары. Множество таких прямых называется трех- мерным вещественным проентивным пространством и обозначаетея иногда КР', позже мы изучим проективные пространства подробнее. Таким образом, $0(3) топологически эквивалентна КРз. Посмотрим теперь, во что гомоморфизм з переводит образующие 3(/(2), описанные в предыдущем пункте.
В стандартном базисе (а>„ать аз) пространства д' имеем ехр 1ч — Па,) а,ехр 1ч — — //аг) = ам ехр (ч — /(а, ) аз ехр ( — — Па!) (соз /) ат — (з(п /) аз, ехР 1> — //а,~ азехР( — — Ма,) (з(п /)аз+ (соз/) оз. 'ч2 ! (, 2 Поэтому о о р( — 'е,))=(о —" ) 'ч 2 О Мп / спз/ является вращением ю на угол / вокруг оси 1(а!.
Совершенно анаг! логично проверяется, что е ~ехр ~ — (/аа)) есть вращение д' на 'ч 2 угол / вокруг оси ае также для й 2,3. В частности, любое вращение из $0(3) разлагается в произведение трех вращений относительно аз, а!, аз на углы Эйлера ф, О, гр, причем ф можно считать менявшимся от О до 2п. УПРйЖНЕНИЯ 1. Доказать тождества (хХу, х)=(х, уХх). -ь л .ь -3..ь -ь .~ .ь -ь ь (х Х у) Кх — х >( (у Х х) = (х, у) х — х (у, х).
(Указание. Воспользоваться ассоциативностью умножения в алгебре яватернионов.) 2. В трехмерном евялндовом пространстве выделены две оси х и х', образующие между собой угол гр. Пучок электронов с проекцией спина +1/2 иа ось х подается на фильтр, пропускающий лишь электроны с проекцией спина +1/2нз ось з'.
Показать, что доля прошедших через него электронов б>дет равиасоз —. г я> 2 2 12. Пространство Минковского 1. Пространством Минковского М называется четырехмерное вещественное линейное пространство с невырожденной симметричной метрикой сигнатуры (1,3) (иногда работают с сигнатурой (3, 1)).
Прежде чем приступить к математическому изучению этого пространства, укажем основные принципы его физической интерпретации„ лежащие в основе специачьной теории относительности Эйпште(гна. 171 а) Точки. Точка (или вектор) пространства я' есть идеализация физического события, локализованного в пространстве н времени, типа «вспышки», «излучения фотона атомом», «столкновения двух элементарных частиц» и т. п. Начало координат й следует представлять себе как событие, происходящее «здесь и сейчас» для некоторого наблюдателя; оно фиксирует одновременно начало отсчета времени и начало отсчета пространственных координат. б) Единицы измерения. В классической физике длйны и времена измеряются в разных единицах.
Поскольку лУ есть модель пространства-времени, в специальной теории относительности должен быть способ пересчета пространственных единиц во временнйе и наоборот. Принятый способ эквивалентен принципу«постоянства скорости света стн он состоит в том, что выбранной единице времени 1ь ставится в соответствие единица длины 1ь —— с1ь — расстояние, проходимое светом за время 1« (например, «световая секунда»).
Одна из единиц 1« или 1ь считается далее выбранной раз навсегда; после того как вторая зафиксирована условием 1, = с1ы скорость света в этих единицах становится равной 1. в) Пространственно-временной интервал. Если 1ь 1» ен .«1 †д точки пространства Минковского, скалярное произведение (1~ — 1», 11 — 1») называется квадратом пространственно-временнбго интервала между ними. Этот квадрат может быть положительным, нулевым или отрицательным; в физических терминах соответственно времениподобным, светоподобным или аространственноподобным.
(Некоторое объяснение этих терминов будет дано ниже.) Если 1» О, эти же термины применяются к вектору 1, в зависимости от знака (1ь 1~) г) Мировые линии инерциальных наблюдателей. Если на прямой Е с: .е хоть один вектор времениподобен, то и все векторы времениподобны. Такие прямые называются мировыми линиями инерциальных наблюдателей, Хорошим приближением к отрезку такой линии может служить множество событий, происходящих в космическом корабле, который движется свободно (с выключенными двигателями) вдали от небесных тел (учет их тяготения требует изменения математической схемы описания пространства- времени и перехода к «искривленным» моделям обшей теории относительности). Заметим, что мы ввели пока в рассмотрение только мировыс линии, исходящие из начала координат, Инерциальный наблюдатель, не бывший «здесь и сейчас», движется по некоторому сдйигу 1+ 1 времениподобной прямой Е.
Пусть 1ь 1«вЂ” две точки на мировой линии инерциального наблюдателя. Тогда (1~ — 1,, 11 — 1») » О, н интервал ~1~ — Ц=(1~ — 1м!, — 1«)'" есть собственное время этого наблюдателя, протекшее между событиями 1ь 1» и измеренное по показаниям движущихся вместе с ним часов. Мировая линия ииерциального наблюдателя есть его собственная «река времени». Физический факт направленности времени (из прошлого в будущее) математически выражается заданием ориентации каждой 122 времениподобной прямой, так что длина 1Ц времениподобного вектора может быть снабжена знаком, отличающим векторы, направленные в будущее и в прошлое. Ниже мы увидим, что имеет смысл представление о согласованности этих ориентаций, т. е. о существовании общего направления времени — но не самих времен1 †д разных инерциальных наблюдателей.
д) Физическое пространство инерциального наблюдателя. Линейное подмногообразие В!=1+~. ~„й интерпретируется как множество точек «мгновенного физического пространства» для инерциального наблюдателя, находящегося в точке 1 своей мировой линии А. Ортогональное дополнение берется, разумеется, относительно метрики Минковского в .н. Нетрудно убедиться, что .й = С 9 Ез и что на Ег индуцируется структура трехмерного евклидова пространства (только с отрицательно определенной метрикой вместо обычной положительно определенной).
Все события, отвечающие точкам Ез, интерпретируются наблюдателем как происходящие «сейчас»; для другого наблюдателя они не будут одновременными, ибо Ц- Ф Ез при Е! Ф Сз. е) Инерциальные системы координат. Пусть Š— времеииподобная прямая с ориентацией, ео — положительно ориентированный вектор иа ней длины единица, (е,, е,, ез) — ортонормированный базис в 1.'-: (еье;)= — 1 для ! = 1, 2,3. Система координат в .лг', отвечающая базису (ео, ..., ез), называется инерциальной системой. В ней < 3 3 3 ~„хзез, ~ узе,) =хоуо — Х х,у!. ! о з-о ! ! Поскольку хо = с(о, где го — собственное время, прострапственноХ*., --<чз;из — ~ хз) ' Каждая инерциальная система координат в гз опрез-! деляет отождествление яг с координатным пространством Мин<о.*,' — х ',) о ° .
! (:=! страиства) образуют группу Лоренца; изометрии, сохраняющие ориентацию во времени, — ее ортохронную подгруппу. ж) Световой конус. Множество точек 1ен й' с (1, 1) = О называется световым конусом С (начала координат). В любой инерциальной системе координат С задается уравнением з х",= К х-'! ю=-! При хо » О точка (хо, хь хь хз) на световом конусе отделена от положения наблюдателя (хо, О, О, О) пространствениоподобным 173 интервалом с квадратом — 1 х»= — х~, т. е, нахолится на расг ! стоянии, которое за время х«пройдет квант света, выпущенный из начала координат в начальный момент времени. (При хс ~ 0 множество таких точек отвечает вспышкам, которые произошли в момент собственного времени х«и могли наблюдаться в точке начала отсчета: «приходящее излучение».) Соответственно «нулевые прямые», целиком лежащие в С,— это мировые линии частиц, испущенных нз начала координат н летящих со скоростью света, например, фотонов.
Читатель может увидеть базу «приходящей полы» светового конуса, выглянув в окно,— зто небесная сфера. Прямые в .Х, состоящие из векторов с отрицательным квадратом длины, не имеют физической интерпретации. Они должны были бы отвечать мировым линиям частиц, летящих быстрее света, — гипотетических «тахионов», не обнаруженных экспериментально.
Перейдем теперь к математическому изучению лг. 2. Реализация гУ как пространства метрик. Как в 5 й„фиксируем двумерное комплексное пространство М- и рассмотрим на нем множество «г врмитово симметричных скалярных произведений.
Оно является вещественным линейным пространством. Если выбран базис (Ььй») в вв, то матрицы Грама этих метрнк будут всевозможными эрмнтовыми 2Р',2-матрицами. Поставим в соответствие метрике 1ен я" определитель ее матрицы Грама 6, который будем обозначать бе1 1. Переход к.базису (Ь;, Ь2)=(й, Ь») $' приведет к замене 6 на 6' )нбР, и ое16' = ) с1е1 Ц'де1 6. В частности, если У ен ЗЕ (2, С), то де1 б = бе1 б'. Поэтому вычисление де11 в любом из базисов вэ„лежащих в одном классе относительно действия БЕ(2, С), приведет к олному и тому же результату. Впредь мы фиксируем такой класс базисов ЗЖ, н все бе( будем вычислять относительно него.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
