1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 34
Текст из файла (страница 34)
в) Более общо, измеряя величину 7" на состоянии ф, 12)!~= (, мы можем получить значение Л из спектра оператора ) с вероюностью, равной квадрату нормы ортогональной проекции 2) на полное собсхвенное надпространство М(Л), отвечающее Л. Так как в силу теоремы п. 4 % 8 Ж разлагается в ортогональную прямую сумму Я Ж (Л!), Л, Ф Л1 при ! ча), мы можем разлог=! жить ф в соответствующую сумму проекций 2р, еп йй(Л!), !'= ), ... ..., пт. Теорема Пифагора ) =!ту(2= К 1 трг!' г-! 147 интерпретируется тогла как утверждение о том, что, произволя измерения,' на любом состоянии ф, мы с вероятностью ! получим хоть какое-пибуль из возможных значений !.
Физические величины, о которых мы говорили выше, и соответствующие им самосопряженные операторы также называют наблюдаемыяи. Постулат о наблюдаемых иногда трактуется более широко и считается, что любому самосопряженному оператору отвечаст некоторая физическая наблюдаемая. В бесконечномерных пространствах Ж эти посгулаты несколько меня|отея. В частности, вместо б) и в) следует рассматривать вероятность того, что при измерении / в состоянии ф значения попалут в некоторый интервал (а, б)~ 1(. Этому интервалу также можно поставить в соответствие надпространство Ж< м с: Ж— образ ортогонального проектора ра« м на ® Ж (Л,) в конечно« а<«,м мерном случае, — и искомая вероятность равна ~ Рм.ь4 ! = (ф Р(а.ьР««).
Кроме того, в бескоиечномерном случае операторы наблюдаемых могут оказаться определенными лишь на некотором подпространстве Жо ~Ж. Связь этой терминологии с понятиями, введенными в п. 8 й б, такова. Фильтр „— это прибор, который измеряет наблюдаемую, отвечакнпую ортогональному проектору на полпространство, порожленпо. у«Ей приписывается значение 1, если система прошла через фильтр, и 0 в прогивном случае. Печка Аэ — это комбинация прибора, производящего систему, вообще говоря, в разных состояниях, и фильтра В, пропускаюпгего затем лишь системы в состоянии ф.
Рецепт вычисления вероятностей, данный в и. 8 % 6, очевидно, согласуется с рецептом, данным в свойствах б), в) выше На этом примере видно, что прибор, измеряющий некоторую наблюдаемую, скажем В,, в состоянии зг, вообще говоря, меняет это состояние: с вероятностью ~ (ф, у) (» он превращает его в )(, а с вероятностью 1 — ((зр,у)(» «уничтожает» систему, Поэтому термин «измерение» в применении к такому акту взаимодействия системы с прибором может привести к совершенно неадекватным интуитивным представлениям. Классическая физика основана на прелположснии о том, что акт измерения можно в принципе произвести, сколь угодно мало повлияв на состояние системы, подвергшейся измерению. Тем не менее термин «измерение» общепринят в физических текстах, и мы сочли необходимым ввести его ~деев, начав ранее с менее обычных, но интуитивно более улобных .:печек» и «фильтров».
2. Средние значения и принцип неопределенности. Пусть !в некоторая наблюдаемая, (ЛД вЂ” ее спектр, Ж=ЯЖ(ЛД вЂ” соответствующее ортогональное разложение. Как было сказано, на состоянии ф, ~ф(= 1, ! принимас~ значение Л, с вероятностью ( )Р Ргф), где р; — ортогональный проектор на Ж(Л,). Поэтому среднее значение»ч величины ( на состоянии ф, взятое по многим измерениям, можно вычислить так: )ч= Х )»М Гчф)= Е(»Р. Х р»»Р)=И* Г(»Р)) (повтиряем, что 1ф1= !). Наша величина ($,)()()) в обозначениях Дирака выглядит так: (21Дф - . Часть этого символа Ц»)~ есть результат действия оператора ) на кет-вектор 1$, а =21~ — результат действия сопряженного оператора на бра-вектор ()(~. Вернемся к средним значениям. Если операторы (, а самосопряжены, то оператор ф~, вообще говоря, не является самосопряженным: (М)'=а*)"=И ~ М, если ), д не коммутируют.
Однако )х, ( — Л (Х ~ )с) и коммутатор » 1 —, 1~, д) = —. ()й — д~) по-прежнему самосопряжены. ! Среднее значение 1(1 — ~,„)'] ч наблюдаемой () — )»)' в состоянии») есть среднеквадратичное отклонение значенйи ( от их среднего значения, или дисперсия (разброс) значений (. Положим л~,= 4а - ).) 1„- 3. Предложение (принцип неопределенности Гейзенберга). Для любых салосопряженных операторов (, а в унитарном пространстве Л1 Л~ >$(У, аИ, зр)!. Доказательство. Пользуясь очевидной формулой У-Ц,. д-й,»1=11. й), самосопряженностью операторов (, с и неравенством Коши — Буняковского — Шварца, находим ((» = ) — ~ч, а, = л — а ) !(1) а1»р ф)1=!(Ж໠— аУФ.
Ю1=!(а Ф Ж вЂ” (М а»»р)1= = ! 2 1гп (а, »), !, зг) ! < 2 ! (д, ф Щ ! ( (2 З/(~,»р, ~,зр) з~(д»зр, е,зр) = 26), Ьуч. Это показывает, что средний разброс значений некоммутирующих наблюдаемых (, д, вообще говоря, не может быть одновременно сделан как угодно малым. Говорят еще, что некоммутирующие наблюдаемые не измеримы одновременно; к этой формулировке следует относиться с теми же предосторожностями, что и к термину «измерение». Особую роль играет применение неравенства Гейзенберга к случаю канонически сопряткенных пар наблюдаемых, которые по определению удовлетворяют соотношению —.
(1, р) = Ы Для них 1 ! 2' каково бы ни было состояние >р. Заметим, что в конечномерных пространствах таких пар нет, ибо Тг 11, д) =О, Тг Ы = д(тЖ. Однако в бесконечномерных пространствах опи сушествуют. Классический пример: «1 с> — ':х, —. — )=Ы. »х 1 Эти операторы появляются в квантовых моделях физических систем, которые на классическом языке называются «частица, движущаяся в одномерном потенциальном поле».
Опишем эти и некоторые другие наблюдаемые подробнее. 4. а) Наблюдав»>ая координаты. Это оператор умножения на к в пространстве комплексных функций на Й (или некоторых подмножествах (с) со скалярным произведением 11(х) д(х)дх. Под- 3 разумевается квантовая система: «частица, движущаяся по прямой, во внешнем поле». 1 б) Наблюдаемая импульса, Это оператор —.
— в впало»>к гичных пространствах функций. (При нем обычно пишут множителем постоянную Планка Рл1 это относится к выбору системы единиц, на котором мы не останавливаемся.) в) Набл>одаемая энергии> квантового осциллятора.
Это — оператор — 1 — — + х >, снова в подходящих единицах. 2 Лх> г) Наблюдаемая проекции спина для системы «частица со спинам 1/2». Это любой самосопряженный оператор с собственными значениями ~1/2 на двумерном унитарном пространстве. Дальнейшие подробности о нем будут даны позже. В примерах а) — в) мы намеренно не уточняли, в каких унитарных пространствах действуют наши операторы. Они существенно бесконечномерны и строятся и изучаются средствами функционального анализа. О примере г) мы скажем кое-что еше ниже.
5. Наблюдаемая энергии и эволюция системы во времени. В описание любой квантовой системы вместе с ее пространством состояний >е входит задание фундаментальной наблюдаемой Н: М-,тэ, которая называется наблюдаемой энергии, или оператором Гамильтона, илн гамильтонианом. В ее терминах формулируется последний из основных постулатов квантовой механики. Если в момент врел>ени 0 система находилась в состоянии >)> и за промежуток времени 1 развивалась как изолированная система, в частности, над ней не производились измерения, то в мо- 150 мент врел1ени ! она будет находиться в состоянии ехр(--ИЙ) (!)), где ехр ( — 1Нг) = ~,: йэ — Ж (см.
ф 11 ч. 1). Оператор ехр( — )Н!) = Н(!) унитарен. Однопараметрическая группа унитарных операторов (~l(!)1! 1=— . 1Ц целиком определяет эволюцию изолированной системы. Физическая размерность (энергия)р',(время) называется кдействием». Многие эксперименты позволяют определить универсальную единицу действия — знаменитую постоянную Планка й = = 1,055.10-»4 Дгк с.
В нашей формуле подразумевается, что Н! С Н1Х измеряется в единицах й, и чаще ее пишут в виде ехр~ — ) ф. ~!а) Мы будем опускать Ь для сокращения записи. Заметим еще, что, поскольку оператор е †'"' линеен, он переводит лучи в ув в лучи и в самом деле действует па состояния системы, а не просто на векторы ф Закон эволюции мож!ю записать в дифференциальной форме: — (е- 'Я'Щ= — 1Н(е-!Я'ф), е а! или, полагая !) (!) = е — !я'ф, — = — (Н$ ( —. Нф, если помнить о единицах).
А) Л са Последнее уравнение называется уравнением Шредингера. Впервые оно было написано для случая, когда ф реализованы как функции в физическом пространстве и Н представлен дифференциальным оператором относительно координат. В следующих комментариях мы, как обычно, ограничимся в основном конечномерными пространствами состояний Ж 6. Энергетический спектр и стационарные состояния системы. Энергетический спектр системы — это спектр ее гамильтониана Н.
Стационарные состояния — это состояния, которые не меняются со временем. Отвечающие им лучи должны быть инвариантны относительно оператора еи", т. е. быть одномерными собственными подпространствами этого оператора. Но эти подпространства тс же, что и для оператора Н. Собственному значению Е! тампль. тониана, или энергетическому уровню системы, отвечает собственное значение еиг1=СОЗ1Б1+)з)п1Е! опеРатора эволюции, меняющееся со временем. Если Н имеет простой спектр, то пространство Уу снабжено каноническим ортонормированным базисом, состоящим из векторов стационарных состояний (они определены с точностью до фазовых множителей есч). Если кратность энергетического уровня Е больше единицы, этот уровень и соответствующие состояния называются выролсденнылиц а кратность Š— степенью вырождения. Все состояния, отвечающие нижнему уровню, т. е.
наименьшему собственному значению Н, называются основными состояниями системы; основное состояние единственно, если нижний уровень невырожден. Этот термин связан с представлением о том, что квантовая система никогда не может рассматриваться как полностью изолированная от внешнего мира: с некоторой вероятностью она может излучить или получить порцию энергии. В некоторых условиях гораздо вероятнее, что энергия будет потеряна, чем приобретена, и система будет иметь тенденпию «свалиться» в свое нижнее состояние и в дальиевшем в нем оставаться.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
