1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Двадцатимерный арбуз радиуса 20 см с толщиной корки 1 см чуть не на две трети состоит из корки: Это обстоятельство играет большую роль в статистической механике. Рассмотрим, например, простейшую модель газа в резервуаре, состоящего из и атомов, которые будем считать материальными точками массы 2 (в подходящей системе единиц). Представим мгновенное состояние газа и трехмерными векторами (вь ..., в,) скоростей всех молекул в физическом евклидовом пространстве, т.
е. точкой За-мерного координатного пространства м'". Квадрат длины векторов в !('" имеет прямой физический смысл энергии системы (суммы кинетических энергий атомов): Е = Д ! в~ ('. Для макроскопического объема газа в нормальных условиях порядок п есть 1Ом (число Авогадро), так что состояние газа описывается точкой на сфере огромной размерности, радиус которой есть корень квадратный из энергии. Пусть два таких резервуара соединены так, что они могут обмениваться энергией, но не атомами, и сумма нх энергий Е, + + Ег = Е остается постоянной.
Тогда энергии Е, и Е» большую часть времени будут близки к таким, которые максимизируют «объем пространства состояний», доступный объединенной системе, т. е. произведение чо1"' В(Еч») чо1«В(ЕД~) (мы заменили площади сфер объемами шаров, что буквально не верно, но почти не влияет на результат). Так как с ростом Е, и убыванием Е» (Е, + Е»=сонэ!) первый объем невероятно быстро растет, а второй убывает, имеется резкий пик этого произведения при некоторых значениях Еь Еь отвечающий «наиболее вероятному» состоянию объединенной системы. Очевидно, это происходит там, где дЕ~ — 1ов чо1"' В (Е1й))= — 1од чо1ы В(Еи») 1) «Е2 » Обратные к этим величинам суть (с точностью до пропорциональности) температуры резервуаров, и наиболее вероятное состояние отвечает равенству температур. УПРАЖНЕНИЯ 1.
Доказать, что угол ф наклона прямой в плоскости )1», проходящей из начала координат в среднеквадратичном как можно ближе к к» заданным точкам (аь 6~), 1 = 1, ..., т, определяется формулой (Указание. Найти наилучшее «приближенное решение» системы уравнений а~х = Ьь) 2. Пусть Р„(х) — л-й многочлен Лежандра. Доказать, что старший коэффн- 2» (»Л» циент многочлена и„(х) — Р» (х) равен единице и что минимум инте(2л)1 ! трала 1(и) = ~ и (х)з «(х на множестве многочленов и(х) степени л со старшим -! коэффициентом 1 достигается при и = и,. (Указание. Разложить и по многочлеиам Лежандра степени ~а.) 3. Пусть (8, Р) — пара, состоящая из конечного множества 8 и вещественной функции р: 8-»К.
удовлетворяющей двум условиям: Р(з)3» О для всех з ев 8 и Я Р (з) !. Расомотрнм иа пространстве вещественных функций Р(5) »Фэ на 8 (со значениями в )() линейный функционал Е: Р(5) -»-ра Е (1) = т Р (з) 1(Б) «аз Обозначим через Ра(8) ядро Е. (8, и) называется конечным вероятностным Пространством, элементы Р(8)— случайными велвчинами на нем, элементы Г»(8) — нормированными случайными величинами, число Е()) — математическим ожцханием величины 1.
Случайные величины образуют кольцо относительно обычного умножения функций. Доказать следующие факты. а) Г\8) и Р,(8) имеют структуру ортогонального пространства сквадратон длины вектора 1, равным Е(1»). Пространство Р(8) евклидова тогда и только тогда, когда )ь(з) ~ О для всех з ш 8. б) Для любых случайных величин ),2 «в Г(8) н а, Ь ем)1 положим Р () а) ~» )« (з); Р () = а; в . Ь) ~» Р (з) 1Й~' а 1(Л '» К1«1 В («вероятности того, что 1 принимает значение а нли 1 = а и а Ь одновременно»].
Нааовем две случайвые величины независимыми, если Р(1=»; я=Ь) Р() а)Р(а Ь) при всех а,Ьеа)1. Доказать, что если нормированные случайные величины 1, я св Ре(8) независимы, то они ортогональны. Построить пример, показывающий, что обратное неверно. Скалярное произведение величин 1, яш Р»(8) называетсн их ковариацией, а косинус угла между ними — коэффициентом корреляции. 2 6, Унитарные пространства 1. Определение. Унитарным пространством называется комплексное линейное пространство 1. с эрмитовым положительно определеннв1м скалярным произведением„ Как в $5, мы будем писать (1,т) вместо д(1, т) и !Ц вместо (1, 1) !Ез.
Ниже мы убедимся, что ~ Ц является нормой на Е в смысле $ 1О ч. 1. Унитарные пространства, полные относительно этой нормы, называются также гильберговыми. В частности, конечно- мерные унитарные пространства гнльбертовы. Из результатов, доказанных в й 3 — 4, следует, что: а) всякое конечномерное унитарное пространство имеет ортонормированный базис, все векторы которого имеют длину 1; б) поэтому оно изоморфно координатному унитарному про.
странству С" (и = б)гп Е) со скалярным произведением ч ъ 1п ~!р (х, у)= Я ху,, ~х~ ~~ ~х! г ) ! -! ! ! Ряд свойств унитарных пространств близок к свойствам евклидовых, главным образом по следующей причине: если Е.— конечномерное унитарное пространство, то на его овеществлении имеется (едииственная) структура евклидова пространства, в которой норма !Ц вектора та же, что и в Е. Существование видно из предыдущего абзаца: если (е!, ..., е„) — ортонормированный базис Е., а (е!, ге!, еь !еь ..., е„, !е,) — соответствующий базис Еа, то ! л Р ч и ~ хЕеЕ~ = ~ ! х! (г= Х, ((ЕЕех!)г+(1пьх!)з), Е-! Е-! ! ! и выражение справа есть евклидов квадрат нормы вектора Ке хЕеЕ+ ~ 1п! хЕ(!е!) в ортонормированном базисе (еЕ, Ее!).
! ! ! Единственность следует из и. 9 $ 3. Однако скалярнв!е произведения в унитарном пространстве Е. и евклидовом Еч не совпадают: второе принимает только вещественные значения, а первое — комплексные. На самом деле, эрмитово скалярное произведение на комплексном пространстве приводит не только к ортогональной, но и к симплектической структуре на Е.а с помощью следующей конструкции.
Временно мы возвращаемся к обозначению у(1, т) для эрмитова скалирного произведения на Е. и положим а (1, т) = Е(е у (1, т), Ь(1, т)=1щу(1, т). Тогда имеют место следующие факты: 2. Предложение. а) а(1, т) — симл!егричное, а Ь(1, и!) — анти- симметричное скалярное произведение на Е.ч, оба они инвариантны относительно умножения на 1, г. е. канонической комплексной структуры на Е.а! а(!Е, !т) = а(1, т), Ь(11, !т)= Ь(1, т); б) а и Ь связаны следующими соотношениями: а (1, и) = Ь (11, т), Ь (Е, т) = — а (!1, т); в) любая пара связанных соотношениями б) !-инвариантных форм а, Ь на Е,а, первая из которых симметрична, а вторая анги- симметрична, определяет эрмитово скалярное произведение на Е по формуле д(1,т)=а(1, т)+гЬ(1, т); г) форма и положительно определена тогда и только тогда, когда форма а положительно определена Доказательство.
Условие эрмитовой симметрии д(1, !и)= =й(т, 1) равносильно тому, что а(1, т)+!Ь(1, т)=а(т, 1) — ЕЬ(п, 1), т. е. симметрии а и антисимметрии Ь. Условие д(11, Ет) = = 1!д(1, т) = д(1, т) равносильно !-инвариантности а и Ь. Условие С-лннейности д по первому аргументу означает 11-линейность и линейность относительно умножения на !, т. е. а(Л, т)+ ЕЬ(И, т)=у(11, т)=цЕ(Е, т) = — Ь(Е, т)+ ей(, т), откуда следуют соотношения б) и утверждение в). Наконец, д(1, 1)= а(1, 1) в силу антисимметрии Ь, откуда следует г). 3. Следствие. В прежних обозначениях, если а положительно определена и(еь ..., е„) — ортонормированный базис для д, то (еь ..., е», се!, ..., Ее ) является ортонормированньсм базисом для а и симплектическим для Ь.
Наоборот, если Š— 2п-мерное вещественное пространство с евклидовой формой а и симплектической Ь, а также базисом (еь ..., е, е„+!, ..., еа»), ортонормированным для а и симплекти- ческим для Ь, то, введя на Е комплексную структуру с помощью оператора У(ее)=е„+и 1~1(п; Х(е!)= — ее „, и+1(1(2п, и скалярное произведение д(1, т) = а(1, т)+ сЬ(1, т), мы получим комплексное пространство с положительно определенной эрмито- вой формой, для которого (е!„..., е„) является ортонормирован- ным базисом над С. Доказательство получается простой проверкой с помошшо предложения п. 2, и мы оставляем его читателю. Вернемся теперь к унитарным пространствам Ь.
Комплексное неравенство Коши — Буняковского — Шварца имеет следую!ций вид: 4. Предложение. Для любь!х 1ь 1э ен Е !(11» 12)! ~~)1! ! !12! причем равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы 1!, Еэ пропорциональны. Дока за тел ьство. Как в и. 2 2 5, для любых вец!ественных 1 имеем !ГЕ!+Ег!'=1'!1! !'+21йе(1! Еэ)+!Еэ!'~~0. 128 Случай 1,, = О тривиален Считая, что 1, Ф О, выводим отсюда. что (Ке((н 12))2==.(1, !'112!" Но если (1ь 12)=! (12,12) )е"з, грен й, то Не(е — 'т!(, В)=)((ь 12) !.
Поэтому ((1н 1,)!'~~!е-2Ч,!'(1,!2=(12!'(12Г. Строгое равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда )1зе — 2т(2+ 12(=0 длЯ подходЯщего 1зен Й, что завеРшает доказательство. В точности так же, как в евклидовом случае, отсюда выводятся следствия: 5.
Следствие (неравенство треугольника). Для любых 1ь 1з, 1з ~ (1+12(~(12(+!12(, (12 (з ! » «! 12 12 ! + ! 12 (з !. 6. Следствие. Унитарная длина вектора (1! является нормой на Е в смысле определения в и. 4 й 10 ч. 1. (Здесь несколько изменяется проверка свойства )а1(=)а! )1); ! а11=(а1, а1)ьз=-(аа(1, 1))" =)а((1!.) 7. Углы. Пусть 12, 12 ~ Š— ненулевые векторы. В силу предложения п. 4 ! (1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
