1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Доказательство. а) В симметричном случае это утверждение следует из п. 9 $3: если 1 сохраняет квадратичную форму (1, 1) = д(1), то 1 сохраняет и ее поляризацию (1, т) =- (у(1+ т) — ц (1) — у(т)1. ! В эрмитовом случае имеем аналогично Ке(1, т)= ~ (ц(1+т) — у(1) — у(т)) и предложение п. 2 9 6 показывает, что (1,т) однозначно восстанавливается по Ке(1, т) по формуле (1, т)=йе(1, т) — 1йе(11, т) и потому 1 сохраняет (1, т). б) Если 1 — изометрия, то матрицы Грама базисов (ео ..., е„) и (~(е~), ..., 1(е,) ) совпадают.
Но последняя матрица Грама равна А'6А а симметричном н А'6Хв эрмитовом случае. Наоборот, если 1 переводит базис (е,, ..., е )в (еь .., е,',) и матрицы Грама базисов (е,.) и (е',)совпадают, то 1 — изометрия а силу формул координатной записи скалярного произведения из п. 2 $ 2. в), г). Эти утверждения являются частными случаями предыдущих. Из предложения и. 2 следует, что ортогональные (соответственно увитарные) операторы — это операторы, которые в одном (и потому в любом1 ортонормированном базисе задаются ортого- !за нальными (соответственно унитарными) матрицами, т.
е. матрицами (/, которые удовлетворяют соотношениям Ш/ = Е„или (/(/ = Е . Множества таких матриц размера и Хи были введены впервые в $ 4 ч. 1: они обозначались О(п) и 1/(п) соответственно. Аналогично, матрицы изометрий в ортонормированных базисах сигнатур (р, д), удовлетворяющие условиям г) предложения 2, обозначаются О(р,д) и 1/(р,д); при р, дФО они называются иногда псгвдоортогональньти и псевдорнитарными соответственно.
В этом параграфе мы будем заниматься только группами 0(п) и (/(п). Фундаментальная для,физики группа Лоренца 0(1,3) будет изучена в $10. 3. Группы !/(1), 0(1) и О(2). Из определения немедленно следует, что 1/ (1) = (а я С ! ! а! = 1) = (гы ! ~р ~ 1!), О(1) =(сЕ Ц = 1/(1) () !!. Далее, если (/ ~ О(п), то 1/И = Е„откуда (с1е1 !/)с = — 1 и гс ьх с!е1(/ = ~1.
Если (/= ( ) — ортогональная матрица с опре(.с с) с ьх делителем — 1, то ( с ) — ор1огональная матрица с определителем 1, принадлежащая 30(2). Матрицы из 30(2) имеют вид (!( ) ~ ас! — Ьс = аа+ Ьс = сс+ с(с =- 1, ос+ Ы = О~. Очевидно, любую такую матрицу можно представить в виде ( ~ ~" ~) ев(О 2п) т. е. она задает евклидов поворот на угол ~р.
Отображение 0 (1) — ~ 30 (2): . ье с — ~ ( . ~ т ) является изоморфизмом. Его геометрический смысл объясняется следующим замечанием: овеществление одномерного унитарного пространства (С', !г~!') есть двумерное евклидово пространство (К-', х', + х,'), а овеществление унитарного преобразования гс — ьеьсг задается матрицей поворота на угол <р. В 3 9 мы построим значительно менее тривиальный эпиморфизм Я/(2)- 30(3) с ядром (~-1). Повороты ! . ) на угол <р ~ О, и не имеют соб( мп Е сс5 е ) ственных векторов в К' и потому не диагопализируемы.
Наоборот, все матрицы (/ ~ О(2) с с!е! !/ = — 1 диагонализируемы. Точнее говоря, характеристический многочлен матрицы ( ) сося — Бмч ! — Мп Š— сос Е / равен Р— 1 и имеет корни ~1. Легко проверить непосредственно, что соответствующие этим корням собственные подпространства ортогональны; ниже это будет доказано в гораздо большей общности. Поэтому любой оператор из 0(2) с бе( (/ = — 1 является отражением относительно некоторой прямой: он действует тождественно на этой прямой и меняет знак векторов, ортогональных к ней. Пользуясь этой информацией, мы можем теперь установить структуру обгцих ортогональных и унитарных операторов. 4.
Теорема. а) Для того чтобы оператор 1' в унитарном пространстве был унитарным, необходимо и достаточно, чтобы он диагонализировплся в ортонормированном базисе и имел спектр, расположенный на единичной окружности в С. б) Для того чтобы оператор 1 в евклидовом пространстве был ортогональным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в подходящем ортонормированном базисе имела вид (А (в) А (фы) ~ СОБ ф — мь ф ~ ~ Мп ф соь ф .) ' где на пустых местах стоят нули.
в) Собственные векторы ортогонального или унитарного оператора, отвечающие разным собственным значениялц ортогональньь До к а з а тел ьс т в о а) Достаточность утверждения очевидна: если (I = д1ад().ь ..., ),„), (Х,(' = 1, то (IР = Е„, так что У вЂ” матрица унитарного оператора. Наоборот, пусть( — унитарный оператор, Х вЂ” его собственное значение, 1.х — соответствующее собственное подпространство. По предложению п. 2 $ 3 имеем Т.= Т. 9Ц. Подпространство Ах одномерно, (-инвариантно, и ограничение 1 на (.х является одномерным унитарным оператором, поэтому ) ~ \3(1), т.
е. !Цз = 1. Если мы покажем„что подпространство (.~х также )-инвариантно, то нндукцией по й(тТ. отсюда можно будет вывести, что 1 разлагается в прямую сумму 1-инвариантных попарно ортогональных одномерных подпрострапств, что докажет требуемое. В самом деле, если !о ев Ех, 1, Ф 0 и (1м !) = О, то (1„ ) (!)) = а (Л-'!.), ) (!)) = (Л-'1о, !) = Л-' (1„, В = О, так что )(!) я Ехх, б) В ортогональном случае рассуждения аналогичны: непосредственно проверяется достаточность условия и затем проводится индукция по д!гп Е. Случаи гйгп Е = 1,2 разобраны в предыдущем пункте. Если д!гпЕ.= 3 и 1 имеет вещественное собственное значение Л, нужно снова положить Е= Ех9Ехх и рассуждать, как выше (заметим, что здесь обязательно Л =~1). Наконец, если 1 не имеет вещественных собственных значений, то следует выбрать двумерное 1-инвариантное подпространство Ео с: Е, которое существует по предложению п.
!6 $ !2 ч. !. На нем матрица ограничения 1 в любом ортонормированном базисе будет иметь внд Л(~р) в силу предыдущего пункта. Поэтому остается проверигь, что подпространство Ц также 1-инвариантно. Действительно, если (1о, !)=О для всех!оев Ео, то (!о, Р (!)) = (У (Р ' (!о)), ) (!)) = (У ' (!о), !) = О, ибо 1-'(!о)~ Е„лля всех !оев Ео. Это завершает доказательство. в) Пусть ! (0) = ЛА, ! = 1, 2. Тогда (!и !о) - (1(!)), Е (!о)) = Л)Ло % !о).
Та к ка к ( Л; ! о = 1, при Л~ чь Ло имеем Л~Хо Ф 1 . Следовательно, (!ь 1о) = О. Это р ассужден ие применимо одновременно к ун итар- ному н ортогональному случаю. Доказательство окончено. 5. Следствие (отворена Эйлерао ) . В трехмерном евклидовом пространстве любое ортогональное отображение !', не меняющее ориентацию (т. е. элемент группы 50(3)), является вращением относительно некоторой оси До к а з а те л ь с т в о. Так как характеристический многочлен 1' имеет степень 3, у него обязательно есть вещественный корень.
Если он единственный, то он должен быть равен 1, нбо де! ! = 1. Если есть больше одного вещественного корня, то все корни вещественные, и возможны комбинации (1, 1, 1) илн (1, — 1, — 1). В любом случае собственное значение 1 имеется. Соответствующее собственное подпространство является осью вращения, а в ортогональной к нему плоскости индуцируется элемент 50(21, т.е. вращение на некоторый угол. ф 8. Самосопряженные операторы 1. В первой части мы видели, что простейший и наиболее важный класс линейных операторов образуют диагонализируемые операторы.
Оказывается, что в евклндовых и унитарных пространствах совершенно особую роль играют операторы с вещественным спектром, днагоналнзируемые в некотором ортонормврованном базисе. Иными словами,зти операторы осуществляют вещественные растяжения пространства вдоль системы попарно ортогональных направлений. Пусть (еь ..., е„) — ортонормированный базис в 1. и):1- й— оператор, для которого 1(е>) = 4еь Л>~ Р„1= 1, ..., л. Нетрудно убелиться, что он облалает следующим простым свойством: () (1,), 1,,)=(1„~(1з)) для всех 1н 1,ея 1,. Действительно, (1'(~ ~х,е;) )' угег)= ~„Л;х,у; или ~„Л,х,уь (х х>еь 1(х'., у>ег)) = ~„л>х>у> нли ~ л>х>у> (в унитарном случае вещественность Л; использовалась во второй формуле).
Операторы со свойством (1) называются самосопряженными, и мы установили, что операторы с веи(ественным спектром, диагонализируемые в ортонормированном базисе, салюсопрлжены. Вскоре мы докажем и обратное утверждение, но сначала исследуем свойство самосопряженности более систематично. 2. Сопряженные операторы в пространствах с билинейной формой. В первой части курса мы показали, что для любого линейного отображения 1: 1.- М существует единственное линейное отображение 1'. М*-+ 1.*, для которого ()*(т'), 1) -(т, 1(1)), где >н' е- =М', 1ен 1.
и где скобки означают канонические билинейные отображения 1* Х 1 -,Уе, М* ХМ- Ж". В частности, при М = 1 оператору 1: 1 - !. отвечает оператор — 1*. Предположим теперь, что на 1 имеется невырожденная билинейная форма йч Е Х 1. -~-Л', определяющая изоморфизм а: Š— 1.'. Тогла, отождествив 1.* с Е посредством д->, мы можем рассмотреть 1*, точнее у-' ° 1* д, как оператор на 1.. Мы по-пре>кнему будем обозначать его 1"* (точнее было бы писать, например, но )' в старом смысле в этом параграфе больше не будет фигурировать). Очевидно, новый оператор 1' однозначно опрелеляется формулой уд" (1), ш) =а(1, Р(ш)). Он по-прежнему называется сопряженным с 1 (относительно скалярного произведения д). В полуторалинейном случае у определяет изоморфнзм 1.
с Е', а не с 1.*. Поэтому на 1. с помощью этого изоморфизма следует переносить оператор 1п*> Е"- Е*, который определяется как 1" (т) = Г'(т). Перенесенный оператор у — ' ° (' ° д." Е -+- Л линеен. Следовало бы обозначить его 1+, но мы сохраним более традиционное обозначение 1'. Тогла и в полуторалинейном случае будет справедлива формула у(1 11), т) = 1((1, 1(и)). Операция ( )* линейна, если д билинейна, и антилипейна, если д покуторалинейна. Операторы ): Е - Е со свойством )' = ( в евклидовых и конечномерных унитарных пространствах называются самосопряженными, в евклндовом случае †так симметричными, а в унитарном — эрмитовыми. Эта терминология объясняется следующим простым замечанием.
3. Предложение. Если оператор Г: Е- Е в ортонорлсированном базисе задается матрицей Л, то оператор )* задается в это.н же базисе матрицей А' (евклидов случай) или Л' (унитарный случай) . В частности, оператор самосопряжен тогда и только тогда, когда его матрица в ортонормированном базисе симметрична или арлями-она. Доказательство. Обозначая скалярное произведение в Е скобками, а векторы — столбцами их координат в ортонормированном базисе, имеем (7 (х), д) = — (Лх)' д = (х'А') д = х' (А'у) = (х, Г (д)) (евклидов случай). Отсюда и следует, что матрица )* равна Л'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
