1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Поэтому неосновные состояния называются иногда возбужденными. В примере г) п. 4 был написан гамильтониан квантового 1г Л»э осциллятора: — [ — — „, + х ~. В разделе в) п. 1О 5 8 было показано, что функции е ""Н„(х) образуют систему стационарных состояний гармонического осциллятора с уровнями энергии Е„=п+ —, и=1, 2, 3, ... (Более подробный анализ показы- 1 вает, что энергия измеряется здесь в единицах Ьь, где константа ы отвечает частоте колебаний соответствующего классического осциллятора.) Разумным образом определив унитарное пространство, в котором следует работать, можно показать, что это полная система стационарных состояний При п - О осциллятор может излучить порцию энергии ń— Е =(и — т)йы и перейти из состояния ф„в состояние ф .
В применении к квантовой теории электромагнитного поля об этом говорят как об «излучении п — т фотонов частоты ы». Обратный процесс будет поглощением а — т фотонов; при этом осциллятор перейдет в более высокое (возбужденное) состояние, Важно, что энергия может быть получена или передана лишь целыми кратными Ьы. В основном состоянии осциллятор имеет ненулевую энергию 1 — йы, которая, однако, никак не может быть передана — более 2 низких энергетических состояний осциллятор не имеет.
Электромагнитное поле в квантовых моделях рассматривается как суперпозиция бесконечно многих осцилляторов (отвечающих, в частности, разным частотам ы). В основном состоянии — вакууме — оказывается поэтому, что поле имеет бесконечную энергию, хотя с классической точки зрения оно является нулевым — раз от него нельзя отнять энергию, оно не может пи на что воздействовать1 Это простейшая модель глубоких трудностей современной квантовой теории поля. Ни математический аппарат, ни физическая интерпретация квантовой теории поля не достигли какай-либо степени законченности. Это открытая и увлекательная наука.
7. Формулы теории возмущений. В аппарате квантовой механики важную роль играют ситуации, когда гамильтониан Н системы может рассматриваться как сумма Н«+ «Нь где Н,— «не- возмущенный» гампльтониан, а »Н, — малая добавка, «возмущение».
С физической гочки зрении возмущение часто обусловливает 152 взаимодействие системы с «внешним миром» (например, внешним магнитным полем) или компонент системы между собой (тогда Но отвечает идеализированному случаю системы, состоящей из сво. бодных, невзаимодейсгвуюших компонент).
С математической точки зрения такое представление оправдано, когда спектральный анализ невозмущенного гамильтониана Но проще, чем Н, и спектральные характеристики Н удобно представлять рядами по степеням г, первые члены которых определяются через Но. Мы ограничимся следуя~шими наиболее употребительными формуламв и качественными замечаниями к ним. а) Поправки первого порядка.
Пусть Ноев — — Лоео, 1ео(=1. По пытаемся найти собственный вектор н собственное значение Но -1- еНь близкие к ео и Ло соответственно, с точностью до членов второго порядка малости по е, т. е. решить уравнение (Но+ еН,) (ео+ ге ) =(Ло+ еЛ,) (со+ ее )+ о(ех). Приравнивая коэффициенты при е, получаем (̈́— Ло)е, =(Л, — Н,)е,. Неизвестные здесь — это число Л~ и вектор еь Их можно найти по очереди с помощью следующего приема. Рассмотрим скалярное произведение обеих частей последнего равенства на ео. Слева будет нуль в силу самосопряженности Н вЂ” Ло: ((Но Ло) е~ ео) = (е~ (Но Ло) ео) = О Поэтому ((Л1 — Н,)ео,ео) =0 и в силу нормированности е; Л, =(Н,ео, е,). Это поправка первого порядка к собственному значению Х,„: «сдвиг энергетического уровням еЛ, равен (еН,ео,е,), т.
е. по результатам и. 12 совпадает со средним значением «энергии возмущения» вН| ма состоянии ео. Для определения е, теперь нам нужно обратить оператор Но — Ло. Разумеется, он необратим, ибо Л~,— собственное значение Но, но правая часто уравнения, (Л~ — Н~)ео, ортогонаэвна к ео Поэтому достаточно, чтобы Но — Ло был обратим на ортогональном дополнении к е„которое мы обозначим е~~. Это условис (в конечномерном случае), очевидно, равносильно тому, чтобь критноств собственного значения Ло у Но была равна единипс т. е.
нееыроэкдемкости энергетического уровня Ло. Если это так, то е,=((Но — Л,)1 ~) '(Л, — Н,)е,,„ «о что дает поправку первого порядка к собственному вектору. Выберем ортонормированный базис (е, = еФ), еп>, , „., е~о>), в котором Но диагонален с собственными зпачсшшми Л,=Л«в, Л!", ..., Л!"'. В базисе (е!'г, ..., е"!) пространства еог имеем (Л, — Н,) ео =» ~." !(Л, — Нд еы е"') е'" — - — ~. !Н,ео, е!о) еог>, откуда и (Н,но, и'П) Л»-Л<о е,=~ !» »+ 1+! » (Но + сН ) ~ хх" г ен~ = ( ~~',' е Л! ) ~ ~ еге! ) + о (е + ) относительно егеь Л;+! Приравнивая коэффипиенты при он+', по- лучаем (Но — Л )е! „, =(Л, — Н )е, + ~ Лге+, !+Л,+ ео.
Как выше, левая часть ортогональна е„откуда Л! ы = ((Н, — Л,) еь ео) — ), Л, (е,+, „е,), о оо! .„,=!!н.— »Ог,уЬ»,— и,!.,.» Е»н...~ но ! 2 Таино! образом, все поправки существуют и единственны. в) Ряды теории возгнци(енин. Формальные ряды по степеням е ~ Л,е', )„егег, » о г-о где Л! и е; находятся по выписанным рекуррентным формулам, называются рядами теории возмущений. Можно доказать, что в конечномерном случае они сходятся при достаточно малых е. В бескоиечномерном случае они могут расходиться; тем не менее несколько первых членов часто приводят к предсказаниям, хорошо согласующимся с экспериментом. Физическая роль рядов теории возмущений а квантовой теории поля очень велика.
Их матемапическое исследование приводит к многим интересным и важным задачам. Интуитивно ясно, что эта поправка первого порядка может быть хорошим приближением, если энергия возмущения мала по сравнению с расстоянием от уровня Ло до соседнего: е должно компеи. сировать знаменатели Ло — Лог!.
Физики так обычно и считают. б) Поправки вьггших порядков. По аналогии с разобранным случаем покажем, что когда собственное значение Л, невырождено, можно индуктивно найти поправку (!'+ 1)-го порядка к (Ло,ео), считая, что поправки порядков «-.! угке найдены. Пусть ! ) 1. Мы решаем уравнение г) Кратные собственные значения, и геометрия.
В наших предыдущих вычислениях запрет на кратное собственное значение Л„ проистекал из желания обратить Н, — Л, на е," и формально выражался в появлении разностей Л» — Л<о в знаменателях. Можно получить формулы и в общем случае, надлежащим образом изменив рассуждения, но мы ограничимся разбором геометрических эффектов кратности. Они видны на типичном случае Н«=Ы: все собственные значения равны единице. Малое изменение Н, приводит к следующим эффектам. Собственные значения становятся разними, если это изменение достаточно общее: этот эффект в физике называется «расщеплением уровней», или «снятием вырождениям Например, одна спектральная линия может расщепиться на две или больше либо при увеличении разрешения прибора, либо при помещении системы во внешнее поле.
Математическая модель в обоих случаях будет состоять в учете малой поправки к Нм ранее неучтенной (впрочем, иногда и в изменении исходного пространства состояний). Теперь обдумаем, что может происходить с собственными векторами. В полностью вырожденном случае Н, диагонализируется в любом ортобазисе. Малое изменение Нм снимающее вырождение, означает выбор ортобазиса, вдоль осей которого происходят растяжения, и коэффициентов этих растяжений. Коэффициенты должны мало отличаться от исходного Л«, но сами оси могут идти в любых направлениях.
Таким образом, вблизи вырожденного собственного значения его собственные направления начинают зависеть от возмущения очень сильно. Два сколь угодно малых возмущения единичного оператора с простым спектром могут диагонализироваться в двух фиксированных и жестко повернутых друг от друга ортобазисах. Это показывает внутреннюю причину появления разностей Л» — Лгп в знаменателях. % !О. Геометрия квадратичных форм и собственные значения самосопряжеиных операторов 1.
Этот параграф посвящен изучению геометрии графиков квадратичных форм д на вещественном линейном пространстве, т. е. множеств вида х„+, — д(хь ..., х,) в )т'+', и описанию некоторых приложений. Одна из важнейших причин, по которой эти классические результаты вызывают живой интерес и в наши дни, состоит в том, что квадратичные формы дают следующее (после линейного) приближение к любой дважды дифференцируемой функции и потому являются ключом к пониманию геометрии «искривления» любой гладкой многомерной поверхности. В ф 3 и 8 мы уже доказали общие теоремы о классификации квадратичных форм с помощью любых линейных или только ортогональных преобразований, поэтому здесь мы начнем с прояснения их геометрических следствий. Вудем считать, что мы работаем П в евклидовом пространстве со стандартной метрикой ~ х';.
Забве- ~-! ние евклидовой структуры означает лпшь введение более грубого отношения эквивалентности между графиками. План геометрического исследования состоит в том, чтобы разобраться с малыми размерностями, где форму графика можно представить себе наглядно, и затем посмотреть на маломерные сечения многомерных графиков в разных направлениях. Читателю рекомендуется рисовать картинки, иллюстрирующие наш текст. !'(ы считаем ось х +! направленной вверх, а пространство К" расположенным горизонтально. 2. Одномерный случай.
График кривой х,= Хх в К имеет три основных формы: «чаша» (выпуклость вниз) прн Х ) О, «купол» (выпуклость вверх) при Х ( О и горизонтальная прямая при Х=О. Относительно линейной классификации, допускающей произвольное изменение масштаба вдоль оси х!, эти три случая исчерпывают все возможности: можно считать, что Х = ~! илн О. При ортогональной классификации Х является инварнантом: (Ц определяет крутизну стенок чаши или купола, она тем больше, чем 1 больше ~) ~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
