1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 30
Текст из файла (страница 30)
12) ! 0- ' ~~1. Поэтому существует единственный угол 2(2, 0(2(2 ( и/2, дли которого ! (1$, 12) ! СОЗ 2З = — ' — —. 1 1, ! ! 12, Однако в важнейших естественнонаучных моделях, использующиз унитарные пространства, эта же величина (1' 1 ! (точнее, ее ! (12,!д ! квадрат) интерпретируется не как косинус угла, а как вероятность. Опишем вкратце постулаты квантовой механики, включающие такую трактовку. 8.
Пространство состояний квантовой системы. В квантовой механике постулируется, что с такими физическими системами. как электрон, атом водорода и т. п., можно связать (неоднозначно!) математическую модель, состоящую нз следующих данных. а) Унитарное пространство Я, называемое пространством состояний системы. Такие пространства, рассматриваемые в стандартных учебниках, по большей части являются бесконечиомер. нымн гильбертовыми пространствами, которые реглнзуются как пространства функций на моделях кфизического» пространства илн пространства-времени. Конечномерные пространства,Ж возникают, грубо говоря, как пространства внутренних степеней свободы системы, если она рассматривается как локализованная пли если ее движением в физическом пространстве можно так или иначе пренебречь. Таково двумерное унитарное пространство «спиновых состояний» электрона, к которому мы еше вернемся, б) Лучи, т.
е. одномерные комплексные подпространства в йй, называются (чистыми) состояниями системы. Вся информация о состоянии системы в фиксированный момент времени определяется заданием луча й ~: М или ненулевого вектора ф еп Т., который называетси иногда ф-функцией, отвечаюшей этому состоянию, или вектором состояния. Фундаментальный постулат о том, что ф-функции образуют комплексное линейное пространство, называется принципом супере позиции, а линейная комбинация ~, а,фн а; еп С, описываез У=! суперпозицию состояний фь ..., ф., Заметим, что, поскольку физический смысл имеют только лучи Сфь а не сами векторы фн коэффициентам а~ также нельзя приписать однозначно определенного смысла.
Однако, если выбирать фз нормированными, (ф~!»=1, 3 и линейно независимыми, а также нормировать Х аЯр то произвол в выборе вектора ф, в своем луче сводится к умножениям на числа е'«;, которые называются фазовыми множителялш; таков же будет произвол в выборе коэффициентов аь которые мы сможем тогда сделать вешественными и неотрицательными, что вместе » . --. -Р-Р--~х.,»~= --- -. -- .* г -и одноаначно. Сильно идеализированные предположения о связи этой схемы с реальностью состоят в том, что у нас имеются физические при боры Ач («печки»), способные приготовлять много экземпляров нашей системы в мгновенных состояниях ф (точнее, Сф) для различных ф ~ Зв".
Сверх того, имеются физические приборы В, («фильтры»), ца вход которых подаются системы в состоянии ф, ва выходе обнаруживаются они же в некотором (возмо,кно, другом) состоянии у, или же не обнаруживается ничего (система «не проходит» через фильтр В ). Второй основной (после принципа суперпозиции) постулат квантовой механики состоит в том, что: система, приготовленном в состоянии ф ~.= Я, может быть сразу же после этого обнаружена в состоянии т ~ М с вероятностью ! Ч !' ! х !' , =-соз»й„где Π— угол между ф и Х. В дальнейшем, по мере введения дополнительных геометрических понятий, мы уточним математическое описание «печек» и «фнльтров». Сверх того, мы объясним, что произойдет, если приготвленпучо в состоянии ~р систему ввести в фильтр пе сразу, а !30 по истечении времени й оказывается, что в промежутке состояние ф, а вместе с ним и скалярное произведение (>р, т) будет меняться, и это изменение также прекрасно описывается в терминах линейной алгебры.
Если >)ч у нормированы, го указанная выше вероятность равна ) (>), >() ~», а само скалярное произведение (~., т), являющееся комплексным числом, называется амплтудой вероятности (перехода от >р к у). Заметим, что физики вслед за Дираком обычно рассматривают скалярные произведения, антилннейные по перво»>у аргументу, и записывают наше (>рь у) в виде (Х(>)), так что начальное и йонечное состояние системы расположены справа налево. Скобки ( ) по английски называются «)>таске(». Соответственно, Дирак называет символ ~>й) <кет-вектором», а символ (Х~ — соответствующим «бра-вектором». С математической точки зрения, ~ф.» есть элемент Ж, а (>р~ — соответствующий ему элемент пространства антилинейных функционалов .Ъ', и (Х~ф) есть значение у на >р.
Если ф, у ортогональны, т. е. (ф, т)= О, то систему, приготовленную в состоянии >Г, нельзя будет (сразу же после приготовления) обнаружить в состоянии у, т. е. она пе пройдет через фильтр В„(наоборот, через фильтр Л«она пройдет с достоверностью). Во всех остальных случаях ненулевая вероятность перехода от ~. к т, имеется.
Элементы любого ортонормированного базиса (>)ь ..., ф„) образуют набор базисных состояний системы. Предположим, что у нас есть фильтры Вч,, ..., В« . Многократно пропуская через них < системы, приготовленные в состоянии >у = ~~„и>фь О ( сч ( 1 !-> (вектор считается нормированным), мы обнаружим >(» с вероятностью а"-, Таким образом, коэффициенты этой линейной комбинации могут быть измерены экспериментально, однако в принципиально статистическом опыте. Это одна из причин, по которым квантовомеханические измерения требуют обработки большого статистического материала.
Впрочем, часто системы в состоянии ф идут в фильтр <потоком» и на выходе вероятности а~ получаются в виде интенсивностей, чего-то вроде <спектральных линий»; эти интенсивности сами по себе уже являются результатом статистического усреднения. В дальнейшем мы уточним связь этой схемы с теорией спектров линейных операторов. 9. Правила Фейнмана.
Пусть в Ж выбран ортонормированный базис (>(>ь ..., >р,). Для любого вектора состояния >(> ен,<э имеем < 'Ф= Х(>г т>) чЪ > 1 откуда и (>) Х)= ЕИ ф>)ИЪ Х) Аналогично, (ф, ф,)= ~ (ф. ф )(Яь ф): подставляя эту формулу 1 в предыдущую, получим л (чь к)= л~~ (чь ть)(Ф ° чьь)(фь х) и вообще для любого т ° 1 » И. Х)= Х (ф, фь)(фь. Фь)" (ф~., Х). Эти простые формулы линейной алгебры можно интерпретировать, по Фейнману, как законы «комплексной теории вероятностей», относящиеся к амплитудам вместо вероятностей. Именно, будем рассматривать последовательности типа (ф, $;о Фе ..., чн, Х) как «классические траектории» системы, последовательно пробегающей состояния в скобках„ а число (ф, Чч,)(ф;,, фь,) ...(фь, т)— как амплитуду вероятности перехода из ф в у вдоль соответствующей классической траектории.
Эта амплитуда является произведением амплитуд переходов вдоль последовательных стрезков траектории. Тогда приведенная выше формула для (ф, т) означает, что зта амплитуда перехода есть сумма амплитуд перехода от ф к т по всевозможным классическим траекториям («одинаковой длины»). Бесконечномерный и более рафинированный вариант этого замечания, в котором основную роль играют пространственно-временнйе (или энергетически-импульсные) наблюдаемые, Р.
Фейнман положил в основу своей полуэврнстической техники выражения амплитуд через «континуальные интегралы по классическим траекториям». Пространство траекторий является бесконечномерным функциональным пространством, и математикам до сих пор не удалось построить общую теорию, в которой были бы оправданы все замечательные вычисления физиков. 10. Расстояния. Расстояние между подмножествами в унитарном пространстве 1. можно определить точно так же, как в евклидовом: д (О, Р) = ш( (! 1, — 1, Ц 1, ен У, 1» ен $'). Расстояние от вектора 1 до подпространства Еь также равно длине ортогональной проекции 1 иа 1.ьо Доказательство ничем не отличается от евклидова случая.
В частности, если (еь ..., е )— ортонормированный базис Еь, то с((1, 1.«) = 1 — Х (1, е,)е;, ! ! как в евклидовом случае, и ! Еа..ь.,~ -Дв.;)~«н~ по теореме Пифагора. 11. Приложение к пространствам функций. Как в $5 и 4, мы можем вывести неравенства для комплекснозиачных функций: ! ь » ь ь ~ 1(х) у (х) с(х (~ ~ ) ! (х) )ь ах ~ ) д (х) )ь йх, О а а < ь »л ть ,!и; ь !»и ~)!(х)+у(х)('ах) ~~~!Г(х)Мх) +~~1у(х)('йх~ . а а а а также для их коэффициентов Фурье. Рассматривая функции на отрезке [0,2я] и полагая а„== ~ ) (х) е-ы" ах, ! ч/Б получаем, что в пространстве со скалярным произведением ) (х)у(х)йх сумма И 1„(х)== ~ а„е'"" ьйл ь--О явлиется ортогональной проекцией ! на пространство многочленов Фурье «степени (Л!ь и минимизирует среднеквадратичное отклонение 1 от этого пространства. В частности, ) а„!ь ~ ~~ ) ! (х) !«ах, « — К так что ряд Ь, !а„(ь сходится. й 7.
Ортогональные и унитарные операторы 1. Пусть Ь вЂ” линейное пространство со скалярным произведением д. Множество всех изометрий 1: Ь-ь. Ь, т. е. обратимых линейных операторов с условием ь (»г (1!)» »г (1«)) = в (1ю 1г) для всех 1ь,.1ь ~ Ь, очевидно, образует группу. Если Ь вЂ” евклидово пространство, такие операторы называ!отея ортогональными, а если Ь унитарно, то унитарными. Симплвктические изометрии будут рассмотрены позже. 2. Предложение. 1!усть Ь вЂ” конечномерное линейное пространство с ыевырожденным скалярным произведением (, ), симметричным или врмитовым. Для кого чтобы оператор 1: Ь-ь-Ь был !33 изометрией, необходимо и достаточно, чтобы вьтолнялось любое из следующих условий: а) (1(1), 1(1))=(1, 1) для всех 1ен Е (здесь предполагается, что характеристика поля скаляров отлична от двух); б) пусть (еь ..., е„) — базис в Е с матрицей Грома 6, А— матрица оператора 1 в этом базисе.
Тогда А'6А = 6, или А'6Л = 6; в) 1 переводит некоторый ортонормированный базис в ортонормированный базис; г) если сигнатура скалярного произведения равна (р, д), то матрица оператора 1 в любом ортонормированном базисе (е„... ..., е„ег+ь ..., ее+,) с (еь е;)=+1 при 1(р и (еь е;)= — 1 при р+ 1 ~ 1 ( р + д удовлетворяет условию А'( ) А=( ° ) в симметричном и эрмитовом случае соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
