1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Унитарный случай разбирается аналогично. 4. Самосопряженные операторы и скалярные произведения. Пусть Š— пространство с симметричным или зрмитовым скалярным произведением (, ). Для любого линейного оператора (: Е- Е мы можем определить новое скалярное произведение (, )! на Е, положив ( ! (2)! (1((!) (2)' Предположим, что Е невырождено, так что мы можем пользо- ваться понятием сопряженного оператора. Тогда (12 (1)Г = (! (12) 1!) (12 ! ((!)) = () ((!) 12) = ((! 12)Е' в евклидовом случае, и аналогично ((2 (1)Г (1 (~2)1 ~1) ( 2 1 (~1)) (1 ((1) (2) ((1~ (2)Г" в унитарном. Следовательно, если оператор Г самосопряжен, то построенная по нему новая метрика (!ь(2)Г будет по-прежнему симметричной или эрлгитовой. Верно и обратное, как нетрудно убедиться прямо или с помощью предложения п.
3. Таким образом, мы установили бпекцию между множествами самосопряженных операторов, с одной стороны, и симметричных скалярных произведений в пространстве, где одно невырождеиное скалярное произведение задано, — с другой. В евклидовом и унитарном случае после выбора ортонормнрованного базиса соо!ветствие легко описывается на матричном языке: матрица Грама (,)! транспонирована к матрице отображения (. Теперь мы докажем основную теорему о самосопряженных операторах, параллельную теореме и. 4 $ 7 об ортогональных и унитарных операторах и тесно с ней связанную. 5.
Теорема. а) Для того чтобы оператор Е в конечномерном гвклидовом или унитарном пространстве был самосопряжен, необходимо и достаточно, чтобы он диагонализировался в ортонормированнол1 базисе и имел вещественный спектр. б) Собственные векторы салюсопряженного оператора, отвечающие р зны.к собственным значениям, ортогональны. Доказательство.
а) Достаточность мы проверили в начале этого параграфа Вещественность спектра в унитарном случае устанавливается просто: пусть к — собственное значение оператора 1, 1еи Е.— соответствующий собственный вектор. Тогда Е (Е. Е)=(Е(1), О=(1, Е(1))=) (1, 1), откуда Х = Х, ибо (1, 1)Ф О. Ортогональный случай сводится к унитарному следующим приемом: рассмотрим комплексифицированное пространство Е.с н введем на нем полуторалинейное скаляр. пое произведение по формуле (Ею + ЕЕз Ез + ЕЕз) = (Еи Ез) + (Ем Ез) + 1(Ез* 1з) — Е (Е~ Ез) Легкая прямая проверка показывает, что Е.с превращается в унитарное пространство, а Ес — в эрмитов оператор на нем. Спектр оператора Ес совпадает со спектром оператора 1, ибо в любом К-базисе Е„являющемся в то же время С-базисом Ес, Е н Ес задаются одинаковыми матрицами.
Поэтому спектр оператора Е веществен. Дальше оба случая можно рассматривать параллельно и провести индукцию по й1ш Е,. Случай о!ш Т. 1 тривиален. Прн б!т Е, ) ! выберем собственное значение Х и отвечающее ему собственное подпространство Еь, затем положим Ез =1,' По предложению и, 2 5 3 имеем Е = Е.зЮ Е,ь Подпространство Е1 инвариантно относительно 1, потому что если 1ь ау Ез, !з чьО и 1еи Еь т. е. (1з, 1) = О, то (Е, И))=(Е(1.), 1)=Л(1,, 1)=О, так что 1(1)е= Е.
По индуктивному предположению ограничение Е иа Е, диагонализируется в ортонормированном базисе Еь Добавив к нему вектор Ез~ Ечм (Ез(=1, получим требуемый базис в Е.. б) Пусть 1(Ез) = )чЕь 1(Ез) = Хз(з. Тогда х~(Еь ез)=У(1) ез)=(ею Е(ез))=~ (11 ез) откуда следует, что если Х~ Ф Хз, то (1ь 1з) = О. б. Следствие. Любая вещественная симметричная или комплексная эрмитова матрица имеет вещественный спектр и диагоналиэируема. Доказательство. Построим по матрице А самосопряженпый оператор в координатном пространстве К" пли С" с канопи- 140 ческой евклидовой или унитарной метрикой и применим теорему п. 5. 1!з нее видно даже больше: матрицу /( такую, что Х-(ЛХ диагональна, можно найти в 0(п) или в (/(и) соответственно.
7. Следствие. Отображение ехр: и(п)- О(п) сюръекгивно. Д о к а з а т е л ь с т в о Алгебра Ли и (и) состоит нз антиэрмитоиых матриц (см. ~ 4 ч. 1), а любая антиэрмитова матрица имеет вид 1А, где А — эрмитова матрица. Чтобы решить относительно А уравнение ехр((Л )= 1/, где (/»= Ю(п), реализуем 1/ как унитарный оператор 1 в эрмитовом координатном пространстве С'. После этого по теореме п. 4 $7 найдем в С" новый ортонормированный базис (е„..., е„), в котором матрица оператора 1 имеет вид б!аа(еьь, ..., е(ч ), зададим в этом базисе оператору матрицей б!ай((р(, ..., (р.) и обозначим через Л матрицу оператора д в исходном базисе.
Очевидно, ехр(1д)=1 и ехр((Л) = (/. 8. Следствие. а) Пусть д(, уз — две оргогональнь(е или зрми' товы формы в конечномерном пространстве 1., и одна из них, скажем рь положительно определена. Тогда в пространстве 1, существуег базис, матрица Грама которого относительно д( единична, а относительно аз диагональна и вещественна.
б) Пусть д(, дз — две вещественные симметричные или комплексные зрмитово симметричные формы относительно переменных х(, ..., х„; у(, ..., у», и д( положительно определена Тогда с помощью невыронсденной линейной замены переменных (общей для х и у) зги две формы можно привести к виду Ф -> .Ф' у((х, у) = г х,уб уз(х, у) = ~'„ Л(х(у(, ь( »= Й, (=( или .ь .ь -ь у, (х, у)= ~ х(уй а (х, у) =- ~~(' ).(х(!/(, Х(»- :м. (= ( (.=( До к а з а те л ь от в о. Очевидно, обе формулировки эквивалентны. Чтобы доказать их, рассмотрим (1., у() как ортогональное илн унитарное пространство, переобозначим д((1(, 1») через (1ь 1») и представим ух(1(, 1») в виде (1ь 1з)(, где 1: 1.
-1.— нек(порый самосопряженный оператор, как это было сделано в п. 4. После этого найдем ортонормироваиный базис в 1., в котором 1 днагонализируется. По замечанию в конце п. 4 этот базис будет удовлетворять требованиям следствия (точнее, утверждения а)). 9. Ортогональные проекторы.
Пусть 1.— линейное пространство над Тс" и пусть дано его разложение в прямую сумму: 1. = = 1.( Ю (.ь Как было показано в ч. 1, оно определяет лва проектопа рп 1.-+ 1. таких, что !т р( = 1.(, !бс = Р(+Рь Р(Р» =Ртр( =О рз, =ре Собственные значения проекторов равны 0 илп 1. Если 1.— евклидово или унитарное пространство и Е,,=Ц-, то соответствующие ортогональные проекторы диагонализируются в ортопормпронапном базисе 1.— объединешт таких базисов 1.( и 1.,— и потому самосопряжепы. Наоборот, любой самосопрпженный проектор р есть оператор ортогонального проектирования на подпространство.
Действителы о, Кегр и 1гпр натянуты на собственные векторы р, отвечающие собственным значениям 0 и 1 соответственно, так что Кег р н 1гпр ортогональны по теореме и. 5 и 1. = Кег р 9 1гп р. Далее, если самосопряженный оператор 1 диагонализируется в ортонормированном базисе [е), 1(е,)=)леи и р; — ортогональный проектор Е на надпространство, натянутое на еь то и 1= Е )чРь (2) Эта формула называется спектральным р зложениел~ оператора 1.
Можно считать, что Х; пробегает только попарно различные собственные значения, а р; есть оператор ортогонального проектирования на полное корневое подпространство 1.(4); формула (2) останется верной. Теорема п. 5 обобщается также на ограниченные по норме (и, с осложнениями, на неограниченные) самосопряженные операторы в бесконечномерных гнльбертовых пространствах. Однако это обобщение требует очень нетривиального изменения некоторых основных понятий. Главные проблемы связаны со структурой спектра: в конечномерном случае Х является собственным значением 1 тогда и только тогда, когда оператор Х Ы вЂ” 1 необратим, тогда как в бесконечномерном случае множество точек необратимости оператора Х Ы вЂ” 1 может быть больше множества собственных значений 1: для нензолнрованных в спектре точек йь собственных векторов, вообще говоря, нет.
С другой стороны, именно множество точек необратимости оператора Х Ы вЂ” 1 служит правильным обобщением спектра в бесконечномерном случае. Эта нехватка собственных векторов требует изменения многих формулировок. Основной результат является обобшением формулы (2), где, однако, суммирование заменяется интегрированием. Мы ограничимся описанием нескольких важных принципов на примерах, где эти затруднения не возникают. !О. Формально сопряженные дифференциальные операторы. Рассмотрим какое-нибудь пространство вещественных функций на отрезке [а, Ь) со скалярным произведением (1, й) = ~ 1(х)д(х) с(х.
л Предположим, что оператор — переводит его в себя. Согласно их формуле интегрирования по частям Поэтому, если пространство состоит только из функций, прини- мающих на концах интервала одинаковые значения, то т.е. на таком пространстве оператор — — сопряжен с операточ' «х ром л Используя формулу интегрирования по частям несколько раз или пользуясь формальным операторным соотношением () «... «1„) =-1„°... ° )н получаем, что на таких пространствах | « « ~~' о~ (х) — ] = лу ( — 1) —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
