1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 28
Текст из файла (страница 28)
1 тал! эте. Д о к а з а т е л ь с т в о Остается проверить только, что ! а1! = =!а! !1! для всех а ен к, по ! а1 !=(а1„а1)!Я=(а2!1(г)!тг=!а!!1!. 5. Углы и расстояния. Пусть 1» 1о~ Š— ненулевые векторы. В силу предложения п. 2 161161 Поэтому существует единственный угол ор, 0 ( ор ~ и, для ьо.орого »» 61 созос = Он называется углом между векторами 1ь 1». Поскольку скалярное произведение симметрично, это «неориентированный угол», чем и объясняется интервал его значений.
В соответствии со школьной геометрией угол между ортогональными векторами равен и/2. Можно систематически развить евклидову геометрию на основе данных определений длины и угла и убедиться, что в размерностях два и три она совпадает с классической. Например, многомерная теорема Пифагора есть тривиальное следствие определений: если векторы 1ь ..., 1„попарно ортого- пальни, то Обычная формула косинусов в геометрии плоскости, примененная к треугольнику со сторонами 1ь 1м 1о, утвергкдает, что 11»1'=11, 1'+11«1' — 211~ 11 ~1о1созя), где ор — угол между 1, и 1о.
В векторном варианте 1» = 1о — 1«, и эта формула превращается в тождество 11 — 1о 1о =11 1+11» 1о — 2(1, 1») в соответствии с нашим определением угла. Пусть К Ус: Š— два множества в евклидовом пространстве. Расстоянием между ними называется неотрицательяое число а(11, У)=1п1(11~ — 1»111~~0, 1»~У). Рассмотрим частный случай: 0 (1) (один вектор), У=(.о~А— линейное подпространство.
В силу предложения п. 2 $ 3 имеем 1=Со9«о~ и 1=1о+1о, где 1о~6ь 1оенЛ»о. Векторы 1, 1о суть ортогональные проекции 1 на Ы х соответственно. 6. Предложение. Расстояние от 1 до Со раено длине ортогональ- ной проекции 1 на 0. Доказательство.
Для любого вектора тон Ео имеем 11 — тп 1о = ! 1о+ 1о — тп Г =11о тп1 +11о! в силу теоремы Пифагора, нбо векторы 1о — т ев Ео и 1о ен Ео~ орто- гональны. Следовательно, )1 — тп 1») 11о!', и Равенство достигаетсЯ только в слУчае ль = 12, что доиазывает требуемое. Если в ьь выбран ортонормированный базис (еь ..., ем), то проекция ( на Ьь определяется формулой и )ь = Х (), е,) е,. Действительно, левая н правая части имеют одинаковые скалярные произведения со всеми еь поэтому нх разность лежит в Е~х. Окончательно, !П иа, ь2=/г — г.2..2.,/ в ! есть наименьшее значение ~) — и~, когда и пробегает Еь. Поскольку ) Ц2 ( ~ Ц2 по той же теореме Пифагора, имеем Х (). е.)'<1) (2.
7. Приложения к пространствам функций. Рассмотрим в качестве примера пространство непрерывных вещественных функций на (а, Ь] с: Й со скалярным произведением ь (), д) = ~ )д г(х. О Оно бесконечномерно, но все наши неравенства будут относиться к конечному числу таких функций, так что каждый раз можно будет считать, что мы работаем в конечномерном евклидовом проь ь странстве: ~)2(х)дх~)О и если ~)т(х)дх =О, то )(х) О.
а ь Неравенство Коши — Буняковского †Швар приобретаетвид < ь ~2 ь ~ ~ (х) я (х) 2(х ) ( ~ ~ (х)2 ь(х ~ д (х)2 ь(х. а а ь Неравенство треугольника ь Ет Ь Н2 Ь 1Г2 ()2(н-аььч*) ~()цг ь) ~-()2~ ~ а*) . Если (а,Ь)=(0,2п) и аь Ь; — иоэффицнеиты Фурье функции )(х), иак в и. б 5 4, то многочлен Фурье г л (х) = = а, + — ~~~ (а„соз пх + Ь„яп пх) ! 1 ьгя тя является ортогональной проекцией 1(х) на линейную оболочку (1, сових, зш их~1( и (Ф). Поэтому коэффициенты Фурье 1(х) прн каждом Ф минимизируют среднеквадратичное отклонение 1(х) от многочленов ФУРье «степени» (Ф. НеРавенство ~~я1» ( Щ» приобретает вид а«+ ~ (а,.
+ Ь~) « ~ ~(х) г(х. Поскольку правая часть не зависит от Ф, а аао Ь; ) О, ряд йо+ ~' (а!+ Ь!) сходится для любой непрерывной функции )(х) на 10, 2я). Можно 2« доказать, что он сходится в точности к 1(х)» дх. Совершенно аналогичные соображения применимы к многочленам Лежандра, Чебышева и Эрмита. Мы оставляем их в качестве упражнения читателю. 8. Метод наименьших квадратов. Рассмотрим систему т линейных уравнений для и неизвестных с вещественными коэффициентами Предположим, что эта система «переопределена», т. е. ги ) и и ранг матрицы коэффициентов равен и.
Тогда она, вообще говоря, не имеет решений. Но можно попробовать найти такие значения неизвестных хп ..., х«чтобы суммарное среднеквадратичное отклонение левых частей от правых принимало наименьшее возможное значение. Эта задача имеет существенные практические приложения. Например, прн геодезических работах местность разбивается на сеть треутольннков, некоторые элементы которых измеряются, а другие вычисляются по формулам тригонометрии. Поскольку все измерения приближенные, рекомендуется сделать их больше, чем строго необходимо для вычисления остальных элементов, но по той же причине тогда уравнения для этих элементов почти наверняка окажутся несовместными.
Метод наименьших квадратов позволяет получить «приближенное решение», более надежное из.за большего количества вложенной в систему информации. Покажем, что наша задача может быть решена с использованием результатов п. 7. Интерпретируем столбцы матрицы коэффи- а) Функция чо1" счетно аддитивна, т. е.
чо1"! () Д= Х чо1".(lь если Сl~()(1! — — !Э при 1чь 1; м-~ чо!' (точка)= 0; чу (отрезок)=длина отрезка. Отрезок в одномерном евклидовом пространстве есть множество векторов вида 11~+(1 — 1)12, 0 ( Г ( 1; его длина есть ~1~ — 1~~.
б) Если 0 с: — 1~, то чо!" ~/ ( чо1" Р. в) Если Е = Е~ 9 Е| (ортогональная прямая сумма), Йгп Е, =и, б)гпЕ~=л, 0~Еь Ус Ем то для УХ Р =((1ь !х) ~1, ~ и, !х ев $')енЕ. $ Еэ имеем чо! +" (О Х Р) =чо1 И. чо!" Р. г) Если 1: Š— » Š— произвольный линейный оператор, то чо1" ((((У))=! бе1! !чо1" О, и= 01тЕ. Свойства, а), б) едва ли нуждаются в комментариях. Свойство в) является сильным обобщением формулы площади прямоугольника (произведение длин сторон) или объема прямого цилиндра (произведение площади основания на длину образующей).
Заметим, что из свойства в) вытекает, что (т+ п)-мерный объем ограниченного множества )Р в Е, лежащего в подпространстве Е, размерности и ~ и + п, равен нулю. Действительно, тогда Е =* =Е,ЮЦ. и !Р'= РХ(0), наконец, чо!"((О))=0 при и» 0 в силу а) и в). Смысл свойства г) менее очевиден. Оио является основным вкладом линейной алгебры в теорию евклидовых объемов и служит причиной появления якобианов в формализме многомерного интегрирования. Возможно, наиболее интуитивное объяснение его состоит в замечании, что оператор растяжения в аен й раз вдоль одного из векторов ортогонального базиса должен умножать объемы на !а~ в силу свойств а) и в).
Но любой ненулевой вектор можно дополнить до ортогонального базиса, поэтому диагонализируемый оператор 1 с собственными значениями аь ..., а~ен П должен умножать объемы на !а~~ ... ~а„!=!бе!1!. Наконец, изометрии должны сохранять объемы, и, как мы убедимся позже, любой оператор есть композиция диагонализируемого и изометрин (см. $ 8, упражнение 11).
Теперь, пользуясь этими аксиомами, приведем список объемов простейших и наиболее важных п-мерных фигур. 1О. Единичный куб. Это множество (1~а, + ... + 1,е„!0~1;(1), где (еь ..., е„) — некоторый ортонормированный базис Е. Нз свойств а) и в) из п. 9 сразу следует, что его объем равен единице. Куб со стороной а ' » 0 получится„если разрешить й пробегать значения 0 «=. 6 «= а. Так каков является образом единичного куба относительно гомотетии — умножения на а,— его объем равен а".
11. Параллелепипед со сторонами (1ь ..., 1„). Это множество (гА+ ... + 4ь,!О = й (1). Мы покажем, что его объем равен ° Д бе(6], где 6 =((1ь1~)) — матрица Грама сторон. В самом деле, если (1„..., Ц линейно зависимы, то соответствуюший параллелепипед лежит в подпространстве размерности «.д]ш1. и его п-мерный объем равен нулю по замечанию в и. 9. В то же время матрица 6 вырождена. Поэтому остается разобрать случай, когда (1ь ..., Ц линейно независимы.
Пусть (еь ..., е„» — ортонормированный базис в 1., а 1 — линейное отображение 1.— ~.1.„переводящее е; в 1ь 1=1, ... ..., п. Если А — матрица этого отображения в базисе (е;»: (1,, 1„) =(в„..., в„)А, то матрица Грама Щ равна А'А, ибо матрица Грама (е;» еди- ничная. Следовательно, 1) а«а ~ -,«т«ГА «и - 1 ~ «А 1. С другой стороны, ]с1е1А] ]де1Д, и 1 переводит единичный куб в наш параллелепипед. В силу свойства г) из п. 9 объем паралле- лепипеда равен ] де11], что завершает доказательство.
12. и-мерный шар радиуса г. Это множество векторов В" (г)=(1] ]1]е~г», или, в ортогональных координатах, В" (г)- (х„..., х„) ) хе~ге 1 ! Так как В" (г) получается из В"(1) растяжением в г раз, имеем ,о]п Вю(г) 1л Ви (1) гл Константа то!"В"(1) = Ь„может быть вычислена лишь аналитическими средствами. Рассекая (п+ 1)-мерный шар п-мернымн линейными подмногообразиями, ортогональными к некоторому направлению, получим индуктивную формулу 1 1, — (2 ] (~/1 — Е,)" Н,.„] ~„, ) 1.
0 4 Разумеется, Ь, 2, Ьэ я, Ьз — и. 13. и-мерный эллипсоид с полуосями г„..., г„. Он задается в ортогональных координатах уравнениями Поскольку он получается из В" (1) растяжениями в г~ раэ вдоль 1-й полуоси, его обьем равен Ь„г~ ... г„. 14. Одно свойство и-мерного объема. Оно состоит в том, что при очень больших а «обьвм п-мерной рнгуры сосредогочвн вблизи ее поверхности». Например, объем шарового кольца между сферами радиуса 1 и ! — е равен Ь„!1 — (1 — е) "], что при фиксированном сколь угодно малом е, ио растущем и стремится к Ь„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
