1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Так как Еь есть пересечение ядер этих форм, ЙтЕ~х Йгпй — Йтйы т. е. б!ш Еь + Йгп Е~ = Йш Е. С другой стороны, из невырожденности Еь следует, что 1 ()1„~ = (О), ибо Еь() Е~~ есть ядро ограничения д на Еы Поэтому сумма Е+ 6~~ прямая; но ее размерность равна ЙгпЕ, так что Еь® Еь б) Из определений ясно, что Еь~(Еь)~. С другой стороны, если Еь, Е~ невырождены, то по предыдущему Йш М)'=б(шŠ— ЙшЕ,'=б(гоЕы Это завершает доказательство. 3. Теорема. Пусть (Е, д) — конечномерное ортогональное (над полем характеристики Ф2), эрмитово или симплектическое пространство.
Тогда существует разложение Е в прямую сумму попарно ортогональных надпространств: Е Е,9 ...ЯЕ, одномерных в ортогональном и эрмитовом случае и одномерных вырожденных или двумерных невырожденных в симплектическом случае. Доказательство. Проведем индукцию по размерности Е. Случай аппп Е = 1 тривиален; пусть ЙтЕ ) 2. Если д нулевая, доказывать нечего. Если д ненулевая, то в симплектическом случае имеется пара векторов 1ь 1геп Е с у(1ь 1з)чь0. Согласно п. 10 предыдущего параграфа, натянутое на них надпространство Еь певырождено.
По предложению п. 2 Е= Е,й)Е~~, и по индуктивному предположению мы можем далее разложить 1а. как сформулировано в теореме. Это даст требуемое разложение Е. В ортогональном и эрмитовом случае мы покажем, что из нетривиальности д. следует существование невырожденного одномерного подпространства Еь, проверив это, мы сможем положить Е=ЕьЯЕь и применить прежнее рассуждение, т.
е. индукцию по размерности Е. В самом деле, допустим, что о(1, 1) = 0 для всех 1~ Е, и покажем, что тогда д = — О. Действительно, для всех 1ь Ехай Е имеем О=.д(1,+Е„Е,+Ет)=п((о 1>)+2д(Еь Ет)+д(Ея, 1,)=2д(1>, 1,) илн 0 =- д (1, + 1., 1>+Еэ) = р (Ец 1~) + 2 Ке р (1ц 1>) + д (Еэ, Ет) = 2 Ке и (1 о Ет). В ортогональном случае отсюда сразу следует, что о(1ь Еэ)=О. В эрмитовом мы получаем лишь, что Кед(1ь Еэ) = О, т. е. д(1ь Еэ) = = 1а, а ен К. Но если а ~ О, то также О =Кем((Еа) 'Ео Еэ) =Ке(Еа) ' р(1„1.,)=1. Получаем противоречие.
Это завершает доказательство. Перейдем теперь к проблеме единственности. Само по себе разложение в ортогональную прямую сумму, существование которого утверждается в теореме п. 3, далеко не единственно, кроме тривиальных случаев размерности 1 (или 2 в симплектическом случае). Над общими полями в случае ортогональной геометрии неоднозначно определяется также и набор инвариантов а, ~ пиЛ"/Х*', который характеризует ограничения и иа одномерные подпространства Еь Точный ответ »а вопрос о классификации ортогональных пространств существенно зависит от свойств основного поля, и для Ус = Е:.), например, связан с такими довольно тонкими теоретико-числовыми фактами, как квадратичный закон взаимности.
Поэтому в ортогональном случае мы ограничимся описанием результата для Л' = К и С (дальнейшие подробности см. в $ 14). 4. Инварианты пространств с метрикой. Пусть (Е, а) — пространство со скалярным произведением. Положим и = дЕт Е, го =б(т Ео, где Еь — ядро формы д. Кроме того, введем два дополнительных инварианта, относящихся только к ортогональной для Л~ = К и эрмитовой геометриям: гь и г, числа положительных и отрицательных одномерных надпространств Е> в некотором ортогональном разложении Е в прямую сумму, как в теореме п. 3.
Очевидно, г, ( п и и = гь+ г++ г для эрмитовой и ортогональной геометрии над К Набор (гь, кы г ) называется сигнатррой пространства. При г, = 0 сигнатурой называя>т иногда также (г+, г ) нли г+ — г (считая и = г++ г известным). Теперь мы можем сформулировать теорему единственности. 5. Теорема. а) Симплектические пространства над произвольным полем, а та>сже ортогональные пространства над С с точностью до изометрии определяются двумя целыми числами и, гь, т.
е. размерностями пространства и ядра скалярного произведения, б) Ортогональные пространства над К и эрмитовы пространства над С с точностью до изометрии определяются сигнатйрой 104 (гь, ге, г ), которая не зависит от выбора ортогонального разложения (это !/тверэкдение называется теоремой инерции).
Доказательство. а) Пусть (Е,д) — симплектическое пространство или ортогональное пространство над С. Рассмотрим его и прямое разложение Е=®Е!, как в теореме п. 3, и покажем, ! ! что гь совпадает с числом одномерных пространств в этом разложении, вырожденных для а. На самом деле сумма этих пространств Еь совпадает с ядром и. Действительно, очевидно, что она содержится в этом ядре, ибо элементы Еь ортогональны как к Е,, так Г и к остальным слагаемым. С другой стороны, если Е„= 4 Е! и 1/ ~ Ер --)1 > гы 1/ Ф О, ! а(1, 1/) =а(Е/, Е/) — О то в ортогональном случае, и существует вектор 1/ ен Е/ с (Е, 1',) = и (1, 1',) ~ О в симплектическом случае, ибо иначе ядро ограничения и на Е/ было бы нетривиально, и д на Е/ была бы нулевой по и.
10 ф 2, вопРеки томУ, что 1) гь. ПоэтомУ Еф(идРо д), и Е„=(ЯдРо и). Если теперь (Е,й!) и (Е', д') †д таких пространстиа с одина- новыми п и гь, то, построив нх ортогнальныс прямые разложения П *П Г Е=.ЯЕ! и 1 =ЯЕь для которых (ядром) ВЕ/ и(ядрод) = ! ! ! ! ! ! =®Е;, мы можем определить изометрию (Е,д) с (Е,й!') как ! ! прямую сумму изометрий ® 1„1!: Е, — 1.ь которые существуют в силу результатов пп. 7 и ! О $2. б) Пусть теперь (Е,д) и (Е',й,') — пара ортогональных пространств над К или эрмитовых над С с сигнатурами (г„г+, г ) и (г',, г+, г' )„определенными с помощьюнекоторых ортогональных разложений Е=ЯЕн Х.
=®Е!, как в теореме п. 3. Предположим, что между ними существует изометрия. Тогда прежде всего д!и! 1. = днп Е', так что г„+.г+ + г =. г„'+ г' + г' . Далее, точно так же, как в предыдущем пункте, проверяется, что гь совпадает с размерностью ядра и, а г' — с размерностью ядра д', а эти ядра суть суммы нулевых пространств Е, и Е',. в соответствующих разложениях. Поскольку изометрня определяет линейный пзоморфизм между ядрами, имеем г,=г„'и г„+г =г'„+г', Остается проверить, что г+ -— г', г = г' . Положим 1=-ЕОЮЕ+9Е-, Е =Еь9Е~.9Е-, где Е!ьЕ+, Š— суммы нулевых, положительных и отрицательных подпространств исходного разложения Е, и соответственно для ЕЕ Предположим, что т+ — — й(гп Е+ > т+ — — б(т Е+, и придем к противоречию; возможность т (т' разбирается аналогично. Ограничим нзометрию Е-«Е' на Е+с: Е.
Каждый вектор )(1) однозначно представляется в виде суммы ((1) = ((1)ь+ ((1)+ +1(1)- где )(1)«ен Е~. и т. и. Отображение Е+- Е+, 1 «((()+ линейно. Так как по предположению б(гпЕ+ > б(щЕ+, существует ненулевой вектор 1ен Е+, для которого ((1)+= О, так что ((1) = 1(1).+ ((1) Но д(Е1) ) О, потому что 1~ Е+ и Е+ есть ортогональная прямая сумма положительных одномерных пространств. Так как изометрня, мы должны иметь также д'(1(1), Щ) > О. С другой стороны, а (1(1). 1Я)-И'И(1)э+1Я 1(1)0+((1) )=у'(((1), 1(1) )<О. Это противоречие завершает доказательство того, что у нзометричных пространств сигнатуры, вычисленные по любым ортогональным разложениям, одинаковы. Наоборот, если (Е, д), (Е', у') — два пространства с одинаковыми сигнатурами, то между подпространствами из их ортогональных разложений Е = ® Е, и Е = ®Е~ можно установить взаимно однозначное соответствие Е~ ! ь сохраняющее знак ограничения д на Е, и д на Е~ соответственно.
По результатам пп. 7 и 8 $ 2 существуют изометрии ~,: Ег-«Еь и их прямая сумма Я1~ будет изометрией между Е и Е'. Теперь мы выведем несколько следствий и переформулнровок теорем пп. 3 и 5, которые подчеркивают разные аспекты ситуации. 6. Базисы. Пусть (Е, д) — пространство со скалярным произведением. Базис (еь ..., е,) в Е называется ортогональным, если у(еь е;) = О для всех 1~1.
Из теоремы п. 5 следует, что у любого ортогонального или эрмитова пространства имеется ортогональный базис. Лействительно, достаточно построить разложение Е = ®Е, на ортогональные одномерные подпространства и затем выбрать е; ен Еь е; ч" О. Ортогональпый базис (е;) называется ортонормированным, если у(еье;)=О или ~1 для всех Е Обсуждение в конце $2 показывает, что у любого ортогонального пространства над м или С и у любого эрмитова пространства имеется ортонормированный базис. Теорема п:5 показывает, что числа элементов е ортонормированного базиса с д(е, е) = О, 1 или — 4 ие зависят от базиса для Л'= м (ортогональный случай) н Л" = С (эрмитов случай). В ортогональном случае над С всегда можно добиться того, что д(еь е;) = О или 1, и количества таких векторов в базисе не зависят от самого базиса.
Матрица Грима ортонормированного базиса имеет вид о ~ — е, ~ о (при надлежащем упорядочении). Чаще всего понятие ортонормированного базиса применяют в невырождепном случае, когда вектороп е~ с а(еь е;) = О нет, Следующая простая, но важная формула позволяет явно написать коэффициенты разложения любого вектора е~ Т. по ортогональному базису (в невырожденном случае): Действительно, скалярные произведения левой и правой части со всеми е~ совпадают, а из невырожденности следует, что если а(е,е~)=д(е',е;) для всех й то е = е', ибо е — е' лежит в ядре формы д.
В симплектическом пространстве ортогональный базис, очевидно, может существовать, только если д О. Теорема п. 3 обеспечивает, однако,существование сималектического базиса (еьем ... е ' е.+~ -" ет ' ез+ь "., е„г, который характеризуется тем, что д(еп е,+,)= — д(е,+о е,) =1, ю'=1, ..., г, а все остальные попарные скалярные произведения равны нулю. Действительно, следует разложить Т. в ортогональную прямую сумму двумерных невырожденных подпространств ьь 1(1 -г, и одномеРных выРожденных ьь 2г+ 1 ~ 1 ( и, и в качестве (еь е,+~) для 1 ч 1«- г взять базис ьь построенный в п. 1О $2, а в качестве е; для 2г+ 1 ~1» и взять любой ненулевой вектор из Ь.ь Матрица Грама симплектического базиса имеет вид — Е, о ! О Ранг симплектической формы, по теореме п. 5, равен 2г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
