1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 22
Текст из файла (страница 22)
УПРАЖНЕНИЯ л, л( ле и„, нн 1. Пусть К: 0 — (. ь( — » й( — » .. — ( /н — »О — комплекс конечномериых линейных пространств. Факторпространство //((К) = Кег (/,/йп (/(-~ называется (-и пространством когомологиг этого комплекса. Число у (К) =- ( (-1) й/пт /.( называется эйлеровой характеристикой комплекса. Показат(ь ( ! что Х(К)= ~ ( — 1)(йи Н'(К). 2. «Лемма о змее».
Пусть дана коммутативиая диаграмма линейных пространств и( и« д М вЂ” ' /'1г О с точпыми строками Показать, что существует точиая послеповательность про. странств ь Кег)-ь Кесл-ь Кегй — ь Сойег(-ь Сойегй-ьСойегй, г в которой все стрелки, кроме б, иидуцированы йв бв аи г(з соответствеиио, з связывающий гомоморфизм б (называемый также кограничиым оператором) определяется так: чтобы определить Ь(я) для лги Кегй, следует иайти лггмй( Р г ) с «=г(з(гл), постРоить й(лг)еМ', аайти( езЕ с Д,(г )=й(гл) и положить Ь(л) = К+ (т) гмСойегЕ В частиости, следует проверить сушествоваиие б(л) и его иезависимость от произвола в промежуточных выборах. л, , лг 3. Пусть К: ...-ьЕг — «Ег+~-ь... и К: ...
-ьЕг — Е,+~-ь ... — два комплекса. Мор~измом ): К-ьК' называется такой набор линейных отображеиий )г. "Е~ -ьЕг, что все квадраты пг Хг Ег+т 4 бм пг Е„ коммутативиы. Показать, что комплексы и их морфвзмы образуют категорию. 4. Показать, что отображение К- НЧК) продолжается до функтора из категорий комплексов в категорию линейных пространств. и 5. Пусть О-ь К ь К' ' К"-э Π— точная тройка комплексов и их морфизмов. По определеиию, зто озиачает, что для каждого ( тройки лииейиых пространств О -ьЕг — з. Ег — ь Ег -ьО (г г яг и точиы.
Пусть Н' — соответствующие простраиства когомологий. Пользуясь лем- мой о змее, построи~ь последовательиость пространств когомологий .. -ь Нг(К)-ь Н~(К')-ь Н'(К") — ь Н +'(К) -» ... и показать, что она является точной. Ч а с т ь 2. ГЕОМЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВ СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ й 1. О геометрии 1. Эта и следующая части нашего курса посвящены теме, ко. торую можно назвать «линейные геометрии», и ей уместно предпослать краткое обсуждение современного смысла слов «геометрия» и «геометрический». В течение многих столетий под геометрией понималась геометрия Евклида на плоскости и в пространстве. Она продолжает составлять основное содержание обычного школьного курса, и эволюцию геометрических понятий удобно проследить на примере характерных особенностей этой, ныне весьма частной, геометрической дисциплины. 2.
«Фигуры». Школьная геометрия начинается с изучения таких фигур на плоскости, как прямые, углы, треугольники, окружности и круги и т. и. Естественное обобщение этой ситуации состоит в выборе некоторого пространства М, «объемлющего пространства» нашей геометрии, и некоторого множества подмножеств в М вЂ” изучаемых в этом пространстве «фигур», 3. «Движения».
Вторая существенная компонента школьной геометрии — это измерение длин и углов и выяснение соотношений между линейными и угловымн элементами различных фигур. Потребовалось длительное историческое развитие, прежде чем было осознано, что в основе этих измерений лежит существование отдельного математического объекта — группы движений евклидовой плоскости или евклидова пространства как целого, и что все метрические понятия могут быть определены в терминах этой группы. Например, расстояние между точками является единственной функцией от пары точек, инвариантной относительно группы евклидовых движений (если потребовать ее непрерывности и еще выбрать «единицу длины» — расстояние между выбранной парой точек).
«Эрлангенская программа» Ф. Клейна (1872) зафиксировала понимание этого замечательного принципа, и «геометрией» надолго стало изучение пространств М„снабженных достаточно большой группой симметрий, и свойств фигур, инварнантных относительно действия этой группы, включая углы, расстояния и объемы.
4. «Числа». Открытием столь же фундаментальной важности (и гораздо более ранним) был декартов «метод координат» и основанная на нем аналитическая геометрия плоскости и пространства. С современной точки зрения координаты суть некоторые функции на пространстве М (или на его подмножествах) с вещественными, комплексными или еще более общими значениями. Задание конкретных значений этих функций позволяет зафиксировать точку пространства, а задание соотношений между этими значениями определяет множество точек. Описание класса рассматриваемых в данной геометрии фигур в М можно заменить описанием класса соотношений между координатами, которые описывают интересующие нас фигуры. Поразительная гибкость и сила метода Декарта связана с тем, что функции на пространстве можно складывать и умножать, интегрировать, дифференцировать и применять другие процессы предельного перехода и в конечном счете пользоваться всей мощью математического анализа. Все общие современные геометрические дисциплины — топология, дифференциальная и комплексно аналитическая геометрия, алгебраическая геометрия— выбирают в качестве исходного определения понятие геометрического объекта как совокупности пространства М и заданной на нем совокупности Р (локальных) функций.
5. «Отображения». Если (Мь г1) и (Мз, Р,) — два геометрических объекта описанного выше типа, то можно рассматривать отображения М1 — М,, которые обладают тем свойством, что обратное отображение на функциях переводит элементы из Р, в элементы из Рь В наиболее логически завершенных схемах среди таких отображений находятся как группы симметрий Ф.
Клейна, так и сами координатные функции (как отображения М в К или С). Геометрические объекты образуют категорию, и се морфизмы служат достаточно тонкой заменой симметрий даже в тех случаях, когда этих симметрий не слишком много (как у общих рнмановых пространств, где можно измерять длины, углы и объемы, но движений, вообще говоря, недостаточно). 6.
Линейные геометрии. Теперь мы можем охарактеризовать место линейных геометрий в этой общей картине. В известном смысле слова линейные геометрии относятся к числу непосредственных потомков геометрии Евклида. Рассматриваемые в них пространства М суть либо линейные пространства (теперь уже над общими полями, хотя К или С по-прежнему остаются в центре внимания, особенно ввиду многочисленных приложений), либо пространства, производные от линейных: аффинные («линейные пространства без отмеченного начала координат») и проекгивные («аффииные пространства, пополненные бесконечно удаленными точками»).
Группы симметрий суть подгруппы линейной группы, которые сохраняют фиксированное «скалярное произведение», а также их расширения сдвигами (аффинные группы) или фактор- группы по гомотетиям (проективные группы). Рассматриваемые функции линейны нли близки к линейным, иногда квадратичны. Фигуры суть линейные подпространства и многообразия (обобщения прямых на евклидовой плоскости) и квадрики (обобщения окружностей). Можно представлять себе эти обобщения евклидовой геометрии как результаг чисто логического анализа, и устано- вившийся формализм линейных геометрий действительно обладает удивительной стройностью н компактностью. Но жизнеспособность этой ветви математики в значительной мере связана с ее многообразными естественнонаучными приложениями.
Понятие скалярного произведения, лежащее в основе всей второй части курса, может служить для измерения углов в абстрактных евклидовых пространствах. Но математик, который не знает, что оно же измеряет вероятности (в моделях квантовой механики), скорости (в пространстве Минковского специальной теории относитепьности) и коэффициенты корреляции случайных величин (в теории вероятности), лишается не только общей широты кругозора, но и гибкости чисто математической интуиции.
Поэтому мы сочли необходимым включить в курс сведения и об этих интерпретациях. й 2. Скалярные произведения 1. Полилииейиые отображения. Пусть Ь>, ..., 1, „ М вЂ” линейные пространства над общим полем Л'. Полилинейным отображением (при п= 2 билинейным) назь>вается отображение 1: ь>Х ..
Хй„- М, (1,, ..., 1„) 1(1о ..., 1„)~М, которое линейно как функция любого из аргументов йене; при фиксированных остальных 1> ~ Еь 1= 1, ..., п, 1'-ь~'. Иными сло- вами, > 11п 1>+1> 1>ы '''» 1а) =~(1п ..., 1п ..., 1„)+ ~(1п ..., 1,', ..., 1„), П(о ° °, а(о 1>э, °, 1„)=а1(1ь .. 1„..., 1„) для 1 = 1,..., п; а ~ Л'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
