1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Тогда их нол!позиция ограничена и 11 а о 1 11» 11 и 1! !1 111 . доказательство. Если Ц(1)11»Л!!111!1 н !1д(т)11 = !Уг!1и!11 для всех 1 ~ 1., т ен М, то 11 дГ о ~ (1) !1» Л!з 1! ~ (1) 11 ~ (дат!У! 11 1 11 откуда, переходя к нижним граням, получаем требуемое утвер- ждение. УПРАЖНЕНИЯ 1. Вычислить нормы на Й', для которых единичными шарами являя!тся множества: а) хе+уз<1; б) хз+ аз е гт; в) квадрат с вершинами (ш1, ш!); г) квадрат с вершинами (О, ~1), (~1, О). 2. Пусть ((х) ) Π— дважды днфференцируемая вещественная функция на [а, Ь) ~: Й и ("(х) (О. Доказать, что множество ((х, у) !а(х<Ь, Оа;у~((х))<=' ~=' Йз выпуклое. 3. Пользуясь результатом упражнении 2, доказать, что множество (х!" + (у!" м! для р~! в Йт является единичным шаром для некоторой нормы.
Вычислив зту норму, доказать неравенство Минковского: (! х! + у! ! + ! х + у, ! )н~ ( (! х! ! + ! х ! )!1~+ (! у ! + ! ут ! ) !я. 4. Обобщить результаты упражнения 3 на случай Й". 6. Пусть  — единичный шар некоторой нормы в Е,В' — единичный шар иидуцированной нормы в Ь* Ы(Ь, Х), 3т = и нли С. Дать явное описание Вь и вычислить Вь для норм из упражнений 1 и 3. 5 11. Функции линейных операторов 1. В 3 8 и 9 мы определили операторы (,)((), где (: Е-эЕ— линейный оператор, а (,"! †люб многочлен с козффициентами из основного поля Л'.
Если Л' = 1( или С, пространство Е нормировано, а оператор ( ограничен, то Я(() можно определить для более общего класса функций () с помощью предельного перехода. Мы ограничимся рассмотрением голоморфных функций (,), задаваемых степенными рядами с ненулевым радиусом сходимости: Щ) = Е а!('. Положим й((~) ~„ат!', если зтот ряд из опера,о !-о ь1 торов абсолютно сходится, т.
е. если сходится ряд ~ ат(!)')!. (В слу! о чае т(!тЕ ~ оо, которым мы в основном будем заниматься здесь, Ы!(Е, Е) = У(Е, Ц, и пространство всех операторов конечномерно и банахово; см. $10, утверждение б) теоремы и. 9.) 2. Примеры. а) Пусть ( — нильпотентный оператор. Тогда (!)!((=0 для достаточно больших 1, и ряд Я(1) всегда абсолютно сходится. На самом деле он совпадает с одной из своих частичных сумм.
б) Пусть !!)!((1. Ряд Х !' абсолютно сходится и !-о м г ! о м-о Действительно, !и — НЕГ- ь — т! ° -(т!)Чд а ! о и переход к пределу при йс -~. ьо дает требуемое. В частности, есчн йЩ! - 1, то оператор Ы вЂ” 1 обратим. в) Назовем экспонеятой ограниченного оператора 1 оператор ес = ехр(с) = л О Так как с11 сс ( сЩ1" (см. теорему п. 11 $10) и числовой ряд для экспоненты равномерно сходится на любом ограниченном множестве, функция ехр(1) определена для любого ограниченного оператора ( и непрерывна по (. Например, ряд Тейлора ст — сан(1)для значения ср(с+схс) т (ас)' с-о их можно формально записать в виде ехр (И вЂ” ) ср.
Чтобы эта и) запись приобрела точный смысл, нужно, конечно, выбрать пространство бесконечно дифференцируемых функций ср с нормой и проверить сходимость в нндуцированной норме. Частный случай: ехр(а Ы) = е' Ы (а — скаляр); ехр(д1ая(ас, ... ..., а„)) = д(ан(ехр аь ., ехр а«). Основное свойство числовой экспоненты: е"еь = е~+ь, вообще говоря, нарусиаетсн для экспоненты операторов. Однако есть важный частный случай, когда оно выполнено: 3. Теорема. Если операторы 1,д: Е-+-Е коммутируюо, т. е.
(у= у(, то (ехр1) (ехрд)= ехр(1+у). Доказательство. Применяя формулу бинома Ньютона и пользуясь возможностью переставлять члены абсолютно сходящегося ряда, получаем ьс>О с о сь>О С-О = ~ — (Р+л) =ехр((+ д). ссс~ь Коммутативность 1 и д используется в том месте, где (1+ у)~ разлагается по биному.
4. Следствие. Пусть 1' Е-+Л вЂ” ограниченный оператор. Тогда отображение 1(-+-~ы(Е, Е): 1 ехр(с() является гомоморфизмом группы 11 в подгруппу обратимых операторов 2"с(А, Е) по умноженшо. Множество операторов (ехр си'ген сг) называется однопараметрической подгруппой операторов. 5. Спектр. Пусть 1 — некоторый оператор в конечномерном пространстве,(;с(с) — такой степенной ряд, что Я(1) абсолютно схо- "са дится. Нетрудно видеть, что если О(1) — многочлен, то в жордановом базисе 1 матрица Я(~) является верхней треугольной, и па ее диагонали стоят числа С1(Х;), где Х; — собственные значения 1.
Применив это соображение к частичным суммам Я и перейдя к пределу, получим, что это же верно для любого ряда 9(1). В частности, если я(() — спектр !', то 8®(0)=Я(50))=(Ю(!) )!!ен ен 5(1)). Более того, если учитывать характеристические корни Л! с их кратностью, то 1„!(5(1)) будет спектром 1,!(1) с правильными кратностями. В частности, Переходя на язык матриц, мы отметим еще два простых свойства, которые доказываются таким же образом: а) О(А!)=Я(А)!; б) Я(Х) = Я(А), где черта означает комплексное сопряжение; здесь предполагается, что ряд О имеет вещественпыс коэффициенты. Пользуясь этими свойствами и обозначениями $4, докажем следующую теорему, относящуюся к теории классических групп Ли (здесь Л' = К нли С). 6.
Теорема. Отображение ехр переводит н1(п, Л'), з1 (п, Л'), о(п, Л'), ц(п), зн(п) в СЛ. (и, Л), Я.(п, Л'), ЗО(п, Л'), (!(и), ЯЗ(п) соответственно. Д о к аз а те льет в о. Пространство н1 (п, Л') переходит в С!.(и, Л'), ибо согласно следствию п. 4 матрицы ехрА обратимы. Если Тг А = О, то де1ехр А = 1, как было доказано в предыдущем пункте. Из условия А+ А'=О следует, что (ехрА) (ехрА)'= 1, а нз условия А+А'=О следует, что ехрА(ехрА)'=1.
Это завершает доказательство. 7. Замечание. Во всех случаях образ ехр покрывает некоторую окрестность единицы соответствующей группы. Для доказательства можно определить логарифм операторов 1 с условием !!1 — !д!!~ 1 обычной формулой !од~= ~ ( — 1)" и по!!>о казать, что1=ехр(1оп1). Однако в целом отображения ехр, вообще говоря, не сюръектнвны. Например, не существует матрицы А е= з! (2, С), для кото/ — ! 1э рой ехрА=~ о )еи ЯЕ(2, С).В самом деле, А не можетбыть днагонализируемой, иначе ехр А была бы диагонализируемой.
Значит, собственные значения А совпадают, а так как след А равен нулю, эти собственные значения должны быть нулевыми. Но тогда собственные значения ехрА равны 1, тогда как собственные значения (, ) равны — 1. 76 й 12. Комплексифнкация и овеществление С В $ 8 и 9 мы убедились, что работа над алгебраически замкнутым полем проясняет геометрическую структуру линейных операторов и дает удобную каноническую форму матриц. Поэтому, даже работая с вещественным полем, удобно иногда пользоваться комплексными числами.
В этом параграфе будут изучены две основные операции: увеличения и уменьшения поля скаляров в применении к линейным пространствам и линейным отобрагкениям. Мы уделим больше всего внимания переходу от К к С (номплексификация) и от С к К (ове»цествление) и кратко коснемся более общего случая. 2. Овеществление. Пусть ~ — линейное пространство над С. Забудем про возможность умножать векторы из (. на все комплексные числа и оставим лишь умножение на К. Очевидно, мы получим линейное пространство над й, которое будем обозначать и называть овен(ествлением ь.
Пусть »., М вЂ д линейных пространства над С, г: В - М— линейное отображение. Очевидно, рассмотренное как отображение ь„ - М„, оно остается линейным. Ь»ы будем обозначать его )я и называть овеществлением ). Ясно, что Ыя=!й. (ТУ)„=Так„; (а»+ + Ьд)» = а(„+ Ьдя, если а, Ь ен К. 3. Теорема. а) Пусть (еь ..., е ) — базис пространства В над С. Тогда (е„..., е, »еь, »е ) является базисом пространства В» над К. В частности, б»Ш» В»= 2й!шс1- б) Пусть А = В+ »С — матрица линейного отображения (.-» М в базисах (ен ..., е ) и (е'„ ..., е'„) над С, где В, С в ве»цественные матрицы, Тогда матрицей линейного отображения !'я:  — М„ в базисах (ен ..., е, »е„ ..., »е ), (ен ..., е„' ;е,', ..., »е„') будет Доказательство.
а) Для любого элемента (ев». имеем (= ~ а»е»= ~ (Ь»+»с»)е» вЂ” — ~~', Ь»е»+ ~ с»(»е»), »-! » ! »-! »-! где Ь», с» — вещественная и мнимая части аь Поэтому (е», »е») по- рождают Вя. Если К Ь»е»+ Хс»(»е»)=0, где Ь», с»~ й, то »-! »-! Ь»+ »с» = 0 в силу линейной независимости (еь ..., е») над С, откуда следует, что Ь» = с» — — 0 для всех Ь. б) Согласно определению А, имеем ((е!, ..., е„!) =(е'„..., е„')(В+»С), откуда, в силу линейности ) над С, ((»е„,, (е )=(е'„..., е'„)( — С+»В). 77 Поэтому (1(е,), ..., 1(е ), 1(1е,), ..., 1(1е )) = =(Е~ " Еь ~ " 1гв)(С ВХ что завершает доказательство. Следствие. Пусть 1: Х,-э-(.— линейный оператор на конечно- мерном комплексном пространстве Х.. Тогда де11 =! йе11~г. Доказательство. Пусть 1 представлен матрицей В+(С (В, С вещественны) в базисе (еь ..., е ). Тогда, применяя элементарные преобразования (прямо в блочной структуре) сначала к строкам, потом к столбцам, находим: ( — С) (В+~С вЂ” С+!В) =.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
