1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 20
Текст из файла (страница 20)
81 Из определений сразу же следует, что йкь состоит из векторов вида (1, — П), а 1„» ' — из векторов вида (пт,гт). Для данных 1„1, ~А уравнение (1ь 1») =(1, — 11)+(и>, йп) на 1, и> имеет единй+п«й — й« с>венное решение 1 =, гп = . Следовательно, с. = 2 ' 2 = 1.' Ы~ '. Отображения Л-«ЛУ ~: 1 «(1, — П) и Š— «Н '. 1 (1, П) являются вещественно линейными изоморфизмами. Кроме того, они перестановочны с действием 1 на Т.„Л и действием У на Т.> ь, Ль ' в силу определений.
Это завершает нашу конструкцию. !4. Полулинейиые отображения комплексных пространств. Пусть Т., М вЂ” комплексные линейные пространства. Г!олулинейным (или антилинейным) отображением 1: Л- М называется линейное отобра>кение 1: Л вЂ” М. Иными словами, 1 — гомоморфизм аддитивных групп, и ) (а1) = аг (1) для всех а »в С, 1еи 1.. Особая роль полулинейных отображений станет ясна во второй части, при изучении эрмитовых комплексных пространств.
15. Подъем поля скаляров: общая ситуация. Пусть, как в п. 4, К вЂ” некоторое поле, Л' †е подполе. Тогда для любого линейного пространства Т. над Л' можно определить линейное пространство К® 1., или Л», над К, сохранив размерность. До введения языка тензориых произведений дать общее определение 1.» затруднительно, но для практических целей достаточно следующего полуфабриката: если (еь ..., е») — базис 1. над ЛЯ, то Л» состоит фр м ««««г(Х«~ «). ~> ! имеет тот же базис над К.
В частности, (Я")» = К". По Ж-линейному отображению ): А-«М определяется К-линейное отображение 1»: 1.»->-М»: если 1 задано матрицей в некоторых базисах 1. и М, то 1» задается той же матрицей. В закл>очение укажем одно приложение комплексификации: 16. Предложение. Пусть 1: Т.-«Ь — линейнь>й оператор в вещественном пространстве размерности )1. Тогда )' имеет инвариантное надпространство размерности 1 или 2. Доказательство. Если 1 имеет вещественное собственное значение, то подпространство, натянутое на соответствующий собственный вектор, инвариантно.
В противном случае все собственные значения комплексны. Выберем одно из них Л+ 1р. Оно будет также собственным значением >с в Тс. Возьмем соответствующий собственный вектор 1, + П, в Тс, 1>, 1»е 1.. Согласно определениям )с(1, + 11») = ) (1>) + 11 (1») = (Л+(р) (1>+1 ) = (Л1> — р1»)+1(р1, + Л1,). Следовательно, 1(1>)= Ч> — р)ь )(1»).=и1>+ Л(м и линейная оболочка (1ь 1») в Ь 1-инвариантна, 5 (3. Язык категорий !. Определение категории, Категория С состоит из следуккцих данных: а) Класс (или множество) ОЬ С, элементы которого называются объектами категории. б) Класс (или множество) Мог С, элементы которого называются морфизмами категории, или стрелками.
в) Для каждой упорядоченной пары объектов Х, Уев ОЬС задано множество Нотпс(Х, У) ~ Мог С, элементы которого называются морфизмами из Х в У и обозначаются Х вЂ” ~. У или (: Х-» У или Х вЂ” » У. г) Для каждой упорядоченной тройки объектов Х, У, Хан ОЬ С задано отображение Ногае(Х, У) Х Ногае(У, Х)-~-Ногае (Х, 2), сопоставляющее паре морфизмов (!, и) морфизм у!, или д ° („называемый их композицией, или произведением.
Эти данные должны удовлетворять следующим условиям: д) МогС есть несвязное объединение ЦНогпс(Х, У) по всем упорядоченным парам Х, У~ ОЬ С. Иными словами, для каждого морфизма ( однозначно определены объекты Х, У такие, что (ен Нога С(Х, У): начало Х и конец У стрелки !. е) Композиция морфизмов ассоциативна. ж) Для каждого объекта Х существует тождественный морфизм Ых е= Ногпс(Х, Х) такой, что Ых ° ! = ( ° Ых =( всякий раз, когда эти композиции определены. Нетрудно видеть, что такой морфизм единствен: если Ых — другой морфизм с тем же свойством, то Ы;,=Ых )д =Ы .
Морфизм (: Х- У называется зоморфизмом, если существует такой морфизм д: У вЂ” » Х, что у)' = Ых, !у = Ыт. 2. Примеры. а) Категория множеств Бей Ее объекты — множества, морфизмы — отображения множеств. б) Категория Ы!пег линейных пространств над полем зс". Ее объекты — линейные пространства, морфизмы — линейные отображения. в) Категория групп, г) Категория абелевых групп, Различия между классом и множеством обсуждаются в аксиоматической теории множеств и связаны с необходимостью избежать знаменитого парадокса Рассела.
Не всякое собирание объектов воедино образует множество, ибо понятие емножество всех множеств, не содержащих самих себя в качестве элемента», противоречиво. В аксиоматике Геделя — Бернайса такие собрания множеств называются классами. Техника теорий категорий требует собираний объектов, лежащих в опасной близости к таким парадоксальным ситуациям. Мы, однако, будем пренебрегать этими тонкостями. 3. Диаграммы. Поскольку в аксиоматике категорий ничего ие говорится о теоретико-множественной структуре объектов, мы пе можем в общем случае работать с «элементами» этих объектов.
Все основные общекатегорные конструкции и нх приложения к конкретным категориям формулируются преимущественно в терминах морфизмов и их композиции. Удобный язык для таких формулировок — это язык диаграмм. Например, вместо того чтобы говорить, что у нас имеются четыре объекта Х, У, К У, четыре морфизма ге:- Ноте(Х, У), де= Ноше(У, У), й е= Нойс(Х, 0) н вен Ноте(0, У), причем у)'= дй, говорят„что задан коммутативный квадрат гт — » тт «Коммутативность» здесь — это равенство у) =дй, которое означает, что «два пути вдоль стрелок» от Х к У приводят к одному н тому же результату. Более общо, диаграмма — это ориентированный граф, вершины которого являются объектами С, а ребра— морфизмами, например Х вЂ” Т 2 Диаграмма называется коммутативной, еслв любые пути вдоль стрелок в ней с обгцими началом и концом отвечают одинаковым морфизмам.
В категории линейных пространств, а также в категории абелевых групп особенно важен класс диаграмм, называемых комплексами. Комплекс имеет вид последовательности объектов и стрелок Х вЂ” У-+О- У- конечной или бесконечной, которая удовлетворяет следующему условию: композиция любых двух соседних стрелок является нулевым мор4измом. Заметим, что понятие нулевого морфизма ие яв.пястся общекатегорным: оно специфично для линейных пространств и абелевыхгрупп и для специальногокласса категорий— так называемых аддитивных категорий. Часто объекты, входящие в комплекс, и морфизмы нумеруются некоторым отрезком целых чисел: ~0 '! ~2 — Х, Х Х, Х Такой комплекс линейных пространств (или абелевых групп) называется точныл! в члене Х>, если 1>п(>, = Кег1, (замети>л, что в определении.
комплекса условие г!. 1! > = О означает только, что 1т!! > с: Кег 1!). Комплекс, точный во всех членах, называется точным, или ацикличным, или точной последовательностью. Вот три простейших примера: а) Последовательность О- 1. — М всегда является комплексом; она точна в члене 1. тогда и только тогда, когда Кег( — образ нулевого пространства О.
Иными словами, точность здесь означает, что ! — инъекция. ! б) Последовательность М- >>!- О всегда является комплексом; точность его в члене Х! означает, что 1щ ! = >>>, т. е. что !— сюръекция. в) Комплекс О- 1.— М вЂ” >>!- О точен, если ! — инъекция, ) — сюръекция и 1гп! = Кег)'. Отождествив !. с образом ! — подпространством в М, мы можем поэтому отождествить >>> с факторпространством М/1., так что такие «точные тройки» являются категорными представителями троек (ь с: М, М/Е). 4. Естественные конструкции и функторы. В математике весьма важны конструкции, которые можно применять к объектам некоторой категории так, что пря этом снова получаются объекты категории (другой или той же самой).
Если эти конструкции являются однозначными (не зависят от произвольных выборов) н универсально применимыми, то часто оказывается, что они переносятся и на морфизмы. Аксио>латнзация ряда примеров привела к важному понятию функтора, впрочем, естественному и с чисто категорной точки зрения 5. Определение функтора. Пусть С, 0 — две категории. Функторол> Г из категории С в категорию 0 называется задание двух отображений (обычно обозначаемых также Г): ОЬ С вЂ” »-ОЬ Г>, Мог С- Мог О, которые удовлетворяют следующим условиям: а) если (е Нагие(Х, У), то Г(1)еп Нощь(Г(Х), Г(У)); б) Г(д()= Г(д)Г(/) всякий раз, когда композиция д( определена, и Г(Ы») = Ыт>к> для всех Х еп ОЪ С. Функторы, которые мы определили, часто называют ковариантними фуикторами. Определяют также контравариантные функ- торы, «обращающие стрелки»: для них условия а) и б) заменяются условиями а') если (еп Но>пс(Х, У), то ГЯ е Но>пь(Г(У), Г(Х)); б') Г(д0= ГЯГ(у) и Г((бх)= '>бе>х>.
Можно избежать этого различения, если ввести конструкцию, ставящую в соответствие каждой категории С дуальную категори>о С' по правилу: ОЬС = ОЬС', Мог С= МогС' и Ноги«(Х, У)= =Нагие. (У, Х), причем композиция у! морфизмов в С отвечает композиции !у этих же морфязмов в С', взятых в обратном порядке. Удобно обозначать через Л", !' объекты и морфизмы в С', отвечающие объектам и морфизмам Х, 1 в С. Тогда коммутативная диаграмма в С отвечает коммутативной диаграмме в С Г х — у' 4 х' (Ковариантный) функтор Р: С-» 0' можно отождествить с контравариантным функтором Р: С-»0 в смысле данного выше определения. 6. Примеры.
а) Пусть Л' — поле, Ы*(ал — категория линейных пространств над Л', Бе1 — категория множеств. В ч 1 мы объяснили, как любому множеству Яен ОЬВе1 поставить в соответствие линейное пространство Р (8) ен ОЬ Ы;и г функций на Я со значениями в Л'. Поскольку это естественная конструкция, следует ожидатгч что она может быть продолжена до функтора, Так оно и есть.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
