1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 19
Текст из файла (страница 19)
йе1( + ~ ., ) = йе1(В+ 1С) йе1 ( — ХС) = =йе1)йеЦ=~йе1)Р. 4. Спуск поля скаляров: общая ситуация. Довольно очевидно, как обобщаются определения п. 2. Пусть К вЂ” некоторое поле, дг — его подполе, Х. — линейное пространство над К. Забыв про умножение векторов на все элементы поля К и оставив лишь умножение на элементы Л', мы получим линейное пространство Хаг над Л'. Аналогично, линейное отображение 1: Х,- М над К превращается в линейное отображение 1,г:.Х -+М . Одно из названий этих операций — спуск поля скаляров (от К до М).
Ясно, что Ы =Ы, (Ху) =1 д„г, (а)+Ьд) =а1 +Бутс, если а, ЬенЛ!'. Само поле К можно также рассматривать как линейное пространство над дг". Если оно конечномерно, то размерности дппк Х. и Йгпгг(.вс связаны формулой й(арпа 1.гт = й)швс К й)тк 1.. Для доказательства достаточно проверить, что если (еь ... „е„)— базис Х. над К, а (Ь„..., Ь ) — базис К над Л', то (Ь|еь ...
..., Ь,е;, ...; Ь„еь ..., Б,.г„) образуют базис Хвс над Тс. 5. Комплексная структура на вещественном линейном пространстве. Пусть Х, — комплексное линейное пространство, Х,а — его овеществление. Чтобы полностью восстановить умножение на комплексные числа в Х.а, достаточно знать оператор Х: Х,а — ь1,а умножения на й Х(1)=В.
Очевидно, этот оператор линеек над и и удовлетворяет условию Р = — Ы; если мы знаем его, то для любого комплексного числа а + И, а, Ь ен ц, имеем (а+ Ы)1=а1+ ЬХ(1). Это соображение приводит к следующему важному понятию: 6. Определение. Пусть 1.— вещественное пространство. Комплексной структурой на 1. называется задание линейного оператора Х: Х.- Х., удовлетворяющего условщо Хг= — !й. 78 Описанная выше комплексная структура на Е» называется канонической. Это определение оправдывается следующей теоремой: 7. Теорема. Пусть (Х„Х) — вещественное линейное пространство с комплексной структурой. Введем на Х. операцию умножения на комплексные числа ив С по формуле (а+ Ьг')1=а1 + ЬХ(1).
Тогда Е превратится в комплексное линейное пространство Е, для которого Х.» = Е. До к аз а те л ь ство. Обе аксиомы дистрибутивности легко проверяются, исходя из линейности Х и формул сложения комплексных чисел. Проверим аксиому ассоциативности умножения: (а + Ь1) [(с + д1) 1) = (а + Ы) [с1 + с(Х (1)) = а[с1 + дХ (1)) + + Ы [с1 + сУ (1)) = ас1 + адХ (1) + ЬсХ Я вЂ” Ьд( = =(ас — Ы)1+(ас(+ Ьс)Х(1) = [ас — Ьд+(ад+ Ьс)1)1= = [(а+Ь~)(с+д1)) 1. Все остальные аксиомы выполнены по той причине, что Х, и Е совпадают как аддитивные группы. 8.
Следствие. Если (Х.,'Х) — коне»номерное вещественное пространство с комплексной структурой, то д1п~»1.=2п четнп, и матрица Х в подходящем базисе имеет вид (Π— еп) Доказательство. Действительно, д1ш»Х,= — 281гпсХ. в силу теоремы п. 7 и утверждения а) теоремы п. 3 (конечномерность Е следует из того, что любой базис Е над й порождает Г над С). Далее, выберем базис (еь ..., е„) пространства Е над С. Матрица умножения на 1 в этом базисе равна 1Е„.
Поэтому матрица оператора Х в базисе (еь ..., е„; 1еь ..., 1е,) пространства Х, имеет требуемый вид в силу утверждения б) теоремы п, 3, 9. Замечания. а) Пусть Š— комплексное пространство, д: Х.» — Х.» — вещественно линейное отображение. Поставим вопрос, когда существует такое комплексно линейное отображение 1: Х, — ~-Х„ что у = 1 .
Очевидно, для этого необходимо, чтобы д коммутировал с оператором Х естественной комплексной структуры на Х», ибо 8(У)= у(Х1)= 18Я= Хд(1) для всех 1ен1.. Это условие является также достаточным, потому что из него автоматически следует линейность д над С: у((а+ Ь1) 1) =ад(1) + Ьд(11) =ад(1)+ ЬЕХ(1)= = ад(1)+ ЬХд(1) =(а + ЬХ) у(1) =(а+ Ы) у(1). б) Пусть теперь Š— четномерное вещественное пространство, 1: Е-~.Х вЂ” веществениолинейный оператор. Поставим вопрос, когда иа Х. существует такая комплексная структура Х, что [ являетья Хв овеществлением комплексно линейного отображения йс Е-~-Е, где Š— комплексное пространство, построенное с помощью Х.
Вот частичный ответ, относящийся к случаю дйп„Е=2: такая структура существует, если 1 не имеет собственных векторов в Е. В самом деле, тогда 1 имеет два комплексно сопряженных собственных значения Л+- цс, Л, цен 1с, рФ О. Положим Х = ~г'(1— — ЛЫ). По теореме Гамильтона — Кэли,(э — 2Л1+(Лз+ р')Ы = О, откуда Хэ = 1с-' (~' — 2Л~ + Лэ Ы) = — Ы. Кроме того, Х коммутирует с 1. Это завершает доказательство. !О. Комплексификация. Теперь мы фиксируем вещественное линейное пространство Е и введем комплексную структуру Х на внешней прямой сумме Е Ю Е, определив ее формулой Х (1о 12) ( 12 1!)' Ясно, что Х'= — 1.
Назовем комплекси4икацией пространства Е комплексное пространство Х (В Е, связанное с этой структурой. Мы будем обозначать его Ес. Другие стандартные обозначения: С® Е я нли С(ВЕ; их происхождение ст"нет ясно после ознакомления с тензорнымн произведениями линейных пространств. Отождествив Е с подмножеством векторов вида (1, 0) в Е 9 Е и пользуясь тем, что 1(1,0)= Х(1,0)=(0, 1), мы можем записать любой вектор из Ес а виде (1о 1,) = (1п 0) + (О, 1э) = (1 О) + 1(1 ° О) = 1ю + 11 .
Иными словами, Ее=ЕЮ(Е, последняя сумма является прямой над К, но не иад С! Любой базис Е над и будет базисом Ес над С, так что с(1гпяЕ.= = 01п1с 1.с. Пусть теперь 1: Е-э-М вЂ” линейное отображение линейных про. странств над м. Тогда отображение Хс (или Х ® С): 1.с — »Мс, определенное формулой М~. 1~)=У(1~) Х(1з)) линейно над м и перестановочно с Х, ибо ХХ(1о 1з) = Х(- 1„1,) =(- Х(1,), Х(11)) = ХХ(1о 1з). Следовательно, оно комплексно линейно. Оно называется комплекснфикацией отображения 1. Очевидно, Ыс= Ы, (аХ+ Ьд)с= =а1с+ Ьяс; а, Ь ~ ц; и ((д)с= (сап.
Рассматривая пару базисов Е н М как базисы Ес и Мс соответственно, убеждаемся, что матрица отображении 1 в исходной паре базисов совпадает с матрицей отображения Хс в этой «новой» паре. В частности, (комплексные) собственные значения отображений 1 и Хс и их жордановы формы совпадают. Проследим теперь, что происходит пря композиции операций овеществления и комплексификации в двух возможных порядках ав ! !.
Сначала комплексификация, затем овеществление. Пусть Х,— вещественное пространство. Мь1 утверждаем, что существует естественный изоморфизм (Ес) 1 УЕ Действительно, по конструкции Х.с совпадает с Х, 9 Е как вещественное пространство.
Аналогично, ()с)„ -ь МХ (в смысле этого отождествления) для любого вещественного линейного отображения1:Е. 'М. Композиция в обратном порядке приводит к несколько менее очевидному ответу. Введем следующее определение. !2. Определение. Пусть Х.— комплексное пространство. Сопряженным комплексным пространством Е называется множество Е. с той же структурой аддитивной группы, но с новым умножением на скаляры из С, которое мы временно обозначим аь1: аь(=аЕ для любых аенС, Еев7,. Аксиомы проверяются без труда, если воспользоваться тем, что аЬ=аЬ и а+Ь=а+Ь. Аналогично, если (Е, Х) — вещественное пространство с комплексной структурой, оператор — Х также определяет комплексную структуру, которая называется сопряженной с исходной. В обозначениях теоремы п.
7, если Š— комплексное пространство, отвечающее (Е, Х), то Š— комплексное пространство, отвечающее (ń— Х). 13. Сначала овеществление, потом комплексификация. Теперь мы можем для всякого комплексного линейного пространства Е построить канонический комплексно линейный изоморфизм ~.
(Х )с Х (В Х С этой целью заметим, что на (Еа)с имеются два вещественно линейных оператора: оператор канонической комплексной структуры Х(Еь Ег)=( — Ем 11) и оператор умножения на А отвечающий исходной комплексной структуре Хл 1(Еь 12) =(11ь 11э). Так как Х коммутирует с Е, он комплексно линеен в этой структуре. Поскольку Х' = — 1й, его собственные значения равны ~1. Введем стандартные обозначения для двух подпространств, отвечающих этим собственным значениям: ((Еь 12) е — (1 Й) 1 1 (Е! 12) ~ (Ео 12)) Ео ((13 12)е=(Хя) 1Х(Еь 12)= 1(1 12)) Оба множества Х.'ь и Е.ь ' являются комплексными подпространствами в (Х,а)с: ясно, что они замкнуты относительно сложения и умножения на вещественные числа, а замкнутость относительно умножения на Х следует из того, что Х и 1 коммутируют. Покажем, что 1.= — -Е,' ьЮР ', а также, что Е.'ь естественно изоморфно Е., тогда как Е,ь ' естественно изоморфно Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
