1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Например, в примере г) п. 2 все сферы радиуса г Ф ! пусты. с9 Подмножество Р~ Е называется ограниченным, если оно содержится в некотором шаре (конечного радиуса). Последовательность точек хь хь ..., х„... в Е сходится к точке а ~ Е, если Нш й (х„, а)=О.Последовательность называется фцн- Л-+ даментальной (илн последовательностью Коши), если для всякого е ) 0 существует )у =)у(в), такое, что й(х,х„) < е при !п,п ) :: )у(е). Метрическое пространство Е называется полным, если любая последовательность Коши в нем сходится.
Из полноты г( и С, доказываемой в анализе, следует, что пространства ((" и С" с любой из метрик й, й!, й, примера б) и. 2 полны. 4. Нормированные линейные пространства. Пусть теперь Е— линейное пространство иад К илн С. Особо важную роль играют метрики на Е, которые удовлетворяют двум условиям: а) й(!!, (г) = й ((! + !, !з + !) для любых (, (ь !, ен Е (инвариант- ность относительно сдвига); б) й(а)ь а!з) = 1а1й((!, (е) (умножение на скаляр а увеличивает расстояния в ! а ! раз). Пусть й — такая метрика.
Назовем нормой вектора ! (относительно й) и будем обозначать через 1!(!! число й(!, 0). Из аксиом метрики (п. 2) и условий а), б) вытекают следующие свойства нормы: !!011=0, !!(!! > О, если ( Ф 0; 11а(11=-!а!11!11 для всех аенХ, 1~ Ц 116!+ )г11~(11!! 11+ 11(,11 для всех (!, (,ен Е. Первые два свойства очевидны, третье проверяется так: 1!!! + !,11= = й((!+ („О) = й((ь — 4) ~ й((ь О)+ й(О, — (х) =!!(!!!+!!)з!!. Линейное пространство Е, снабженное функцией нормы 11 11: Š— !-((, удовлетворяющей перечисленным трем условиям, называется нормированным.
Наоборот, по норме восстанавливается метрика: положив й((!, (г)=!!!! — !з!1, легко проверить аксиомы метрики. Для нее г!(Е 0) =11(!!. Полное нормированное линейное пространство называется банаховым пространством. Пространства ((" и С" с любыми нормами, отвечающими метрикам из и. 2, банаховы. Общее понятие сходимости последовательности в метрическом пространстве, данное в п. 3, специализируется на случай нормированных линейных пространств н называется сходимостью по нор.ме.
Линейная структура позволяет определить понятие сходимости ряда, более сильное, чем сходимость по норме его частичных сумм. ( Именно, ряд ~' )! называется абсолютно сходящимся, если схо- ! О дится ряд ! ! 10 б. Норма и выпуклость. Нетрудно описать все нормы на одномерном пространстве Тл любые две из них отличаются друг от друга умножением на положительную константу. В самом деле, пусть 1ен А — ненулевой вектор, !! !!ь !! !!» — две нормы. Если !!1!! ~ —— с!!1!!м то !! а1!! ~ = ! а ! !!1!!1 = с ! а ! !! 1!!г = с!!а1!!» для всех а ев Л'. Будем называть кругами (соответственно окружностями) в одномерном пространстве Е шары (соответствеино сферы) ненулевого радиуса с центром в нуле относительно любой из норм. Как следует из предыдущего рассуждения, множества всех кругов и окружностей в Е не зависят от выбора исходной нормы.
Вместо задания любой нормы можно указать ее единичный круг В плн единичную окружность 5: 5 восстанавливается по В как граница В, а В восстанавливается по 5 как множество точек вида (а1!1~ 5, !а!( Ц. Заметим, что при Л'= (! круги суть отрезки с центром в нуле, а окружности — пары точек, симметричные относительно нуля. Чтобы перенести зто описание на пространства любой размерности, иам понадобится понятие выпуклости. Подмножество Е ~ Ь называется выпуклым, если для любых двух векторов 1ь 1»~ Е и для любого числа О ( а (1 вектор а11 +(! — а)1» лежит в Е. Это согласуется с обычным определением выпуклости в (!' н !!»: вместе с любыми двумя точками («концами векторов 11 и 1г») множество Е должно содержать весь соединяющий их отрезок («концы векторов а11+(! — а)1г»).
Пусть !! !! — некоторая норма на Е. Положим В =(1~ 1!!!1!! = ( Ц, 5 =(1еи Е! !Н!!= Ц. Ограничение !! !! на любое линейное подпространство Еь с: Е индуцирует норму на Еь. Отсюда следует, что для любого одномерного подпространства Аь ~ Е множество Еь(! В является кругом в Еы а множество Еь() 5 — окружностью в смысле данного выше определения.
Кроме того, из неравенства треугольника следует, что если 1ь !» еи В, О ( а ( 1, то !!а1, +(1 — а)1»!!(а!!11!!+(! — а)!!1,!!(1, т. е. а1, +(! — а)1»ен В, так что  — выпуклое множество. Справедлива и обратная теорема: 6. Теорема. Пусть 5 ~ Š— множество, удовлетворяющее двум условиям: а) Пересечение 5 () Еь с любым одномерным подпространством Еь является окружностью. б) Множество В =(а1! !а! - 1, 1~5) выпукло. Тогда на Е существует единственная норма !! !!, длл которой В является единичным шаром, а 5 — единичной сферой. Доказательство.
Обозначим через !! !!: Е-~-!! функцию, которая на каждом одномерном подпространстве Еь является нормой с единичной сферой 5ПЕы Ясно, что такая функция существует и единственна, и нуждается в проверке лишь неравенство треугольника для нее. Пусть 1ь 1г ~ Е, !!11!!= Уь !!1»!!= Фь 1ч*; Ф О. Применим условие выпуклости В к векторам Ж, ~11 и Ж» ~1»ев 5. Получим й1 1,+ „"'„№'1г~(~1, 1+ 2 Ф~ + Ф~ откуда !!1, +1г!1~№+ й(,=1!1, 11+!!1,11. 7. Теорема.
Любые две нормы 11 11~ и 11 1!г на конечномерном пространстве 1. эквивалентны в том смысле, что суи1ествуют положительные константы О < с ( с' с условием с1111Ь ~ 11111, == с'11111, для всех 1ы Е. В частности, топологии, т. е. понятия сходимости, отвечающие любым двум нормам, совпадают, и все конечномерные нормированные пространства банаховьь Доказательство.
Выберем базис в Е и рассмотрим естет цг ственную норму !1х!1=( ~ !х,!г) относительно координат в этом ,1 базисе. Достаточно проверить, что любая норма !! !1~ эквивалентна этой. Ее ограничение на единичную сферу нормы 11 11 является непрерывной функцией координат х, принимающей лишь положительные значения (непрерывность следует из неравенства треугольника). Следовательно, эта функция отграничена от нуля константой с) О и ограничена константой с'~ О по теореме Больцано— Вейерштрасса (единичная сфера 3 для !1 1! замкнута и ограничена).
Из неравенства с ( 1!1!1, ( с' для всех 1~ 5 следует неравенство с!!1!!<111!!~<с'!!1!! для всех 1еи Е. Поскольку Е полно в тополо'гии, отвечающей норме 11 11, и понятия сходимости для эквивалентных норм совпадают, Е полно в любой норме. 8. Барма линейного оператора. Пусть Е, М вЂ” нормированные линейные пространства над одним и тем же полем К или С. Рассмотрим линейное отображение 1: 1.— М. Оно называется ограниченным, если существует такое вещественное число й1= О, что для всех 1~! выполнено неравенство 111(1)1! = Ф!11!! (левая норма — в М, правая — в Е). Обозначим через 2'(Е,М) мноэкество ограниченных линейных операторов.
Для каждого в=.У'(Е, М) обозначим через !!1!1 нижнюю грань всех № для которых выполняются неравенства 111(1) 11 ( )ч111!1, 1~ Е. 9. Теорема. а) 2'(Е„М) является нормированным линейным пространством относительно грункции 1!1!1, которая называется индуцированной нормой. б) Если 1. конечномерно, то Ы'(Е,М) = Ы'(Е,М), т. е. любое линейное отобраэсение ограничено.
Доказательство. а) Пусть 1, и еи,У'(Е, М). Если !!1(1)11( а-„, №!!111 и !!а(1) 11< 1чг!!111 для всех 1, то К+у)(1)11((Ф + )У Й!1!1, !!аГ(1)!!<!а!У 1!1!!. Поэтому 1+ а и а( ограничены и, более того, переходя к нижним 72 граням, имеем 11 1 + д 1!» 11 1 11 + 1! й 11, 1! а( 11 = 1 а 111 ! 11. Если !Я= О, то для любого е ) 0 Ц(1) 11» е11!11. Значит, 11т(1) 11 = О, так что 1= О. в) На единичной сфере в 1. отображение 1 ~!11(1)11 является непрерывной функцией.
Так как эта сфера ограничена и замкнута, эта функция ограничена и, более того, верхняя грань ее значений достигается. Поэтому на сфере Ц(1)1!» Ф, так что 111(1)!!» Л!11111 для всех 1ы 1.. Попутно мы обнаружили, что 1Щ1=гпах(111(1) 11, 1~ единичная сфера в Ц.
1О. Примеры; а) В конечномерном пространстве 1. последовательность векторов 1ь ..., 1„... сходится к вектору 1 тогда и только тогда, когда в некотором (и потому в любом) базисе последовательность !-х координат векторов 1! сходится к !-й координате вектора 1, т. е. если 1(1!), . „1(1„), ... сходится для любого линейного функционала 1ен1.'. Последнее условие можно перенести на бесконечиомерные пространства, потребовав сходимость 1(!!) лишь для ограниченных функционалов 1. Это приводит, вообще говоря, к новой топологии на 1„называемой слабой топологией. б) Пусть 1.— пространство вещественных диффсренцируемых У ! 11П функций на 10, 1) с нормой 1!1!1=~~1(1)~аг'~ .
Тогда оператор о ! ! умножения на 1 ограничен, ибо)Р!(1)~Ш» ~!(1)'"с(1, а оператор о о — неограничен. В самом деле, для любого целого и) 0 функ- в' е! ция 1~2и+ 11" лежит на единичной сфере, а норма ее производной /2а+! равна и ~! — — оо при п-з.со. 'Ч з — ! е 11. Теорема. Пусть 1.— М вЂ” У вЂ” ограниченные линейные отображения нормированных пространств.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
