1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 12
Текст из файла (страница 12)
7. Поставим следующую задачу: даны два отображения 1: Ь- М и йп Е- Ж; когда существует такое отображение й: М- У, что д = Ц? На языке диаграмм: когда можно вложить диаграмму в комму тативпый треугольник (ср. 3 13 о коммутативных диаграммах). Ответ для линейных отображений дается следующим результатом. 8. Предложение.
Для существования Ь необходимо и достаточно, чтобы Кег)с: Кегд; если это условие выполнено и 1гп1= М, то Ь единстэен. Доказательство. Если й существует, из у= й! следует, что д(!)=й/(/)=О, коль скоро 1(1)=О. Поэтому Кег!с: Кегд. Наоборот, пусть Кег)с: Кегд. Построим сначала й на подпро. странстве 1гп1с: М. Единственная возможность состоит в том, чтобы положить Ь(ьч) = д(!), если т = 1(1). Нужно проверить, что й определено однозначно и линейно на 1гп 1. Первое следует из того, что если ьч = !(1~)=1(1г), то 1~ — 1тен Кег !с: Кета, откуда д(1~)=д(1т). Второе следует автоматически из линейности 1 и а. Теперь достаточно продолжить отображение й с подпространства 1гп1с: М на все пространство М, например, выбрав базис 1и 1, дополнив его до базиса М и положив й равным нулю на дополняющих векторах.
9. Пусть д: 1.->-М вЂ” линейное отображение. Мы уже определили ядро и образ д; дополним это определение, положив кообраз йч Соплу=ЦКегд, коядро йч Сокегд=М/1шд. Имеется цепочка линейных отображений, «разбирающая д на ча- сти», »оге Х Сонат — 1>ох — М вЂ” Сох«ге, о о > У где все отображения, кроме й,— канонические вложения и факторизация, а й — единственное отображение, делающее коммутативной диаграмму г С 1 К 1о!Г Оно определено однозначно, потому что Кегс = Кету, и является нзоморфизмом, потому что обратное отображение тоже существует и определено однозначно. Смысл объединения этих пространств в пары (с приставкой «ко» и без нее) объясняется в теории двойственности (см. следующий параграф и упражнение 1 к нему).
10. Конечномерная альтернатива Фредгольма. Пусть д: Е— -~. М вЂ” линейное отображение. Число 1пб д = д1 ш Сонет д — дпи Кег д называется индексом оператора у. Из предыдущего пункта следует, что если 1. и М конечномерны, то индекс д зависит только от ЕиМ: 1пд д = (й(ш М вЂ” дпп1шд) — (дпп Ь вЂ” й(ш1гад) = й(т М вЂ” дип й.
В частности, если йппМ = бппА, например, если д — линейный оператор на Е, то !иду=О для любого д. Отсюда вытекает так называемая альтернатива ч>редгольма: либо уравнение д(х) = у разрешимо для всех у, и тогда уравнение д(х) = О имеет лишь нулевые решения; либо это уравнение разрешимо не для всех у, и тогда однородное уравнение д(х) = О имеет ненулевые решения. Точнее„ если )пд д = О, то размерность пространства решений однородного уравнения равна коразмерности пространства правых частей, при которых разрешило неоднородное уравнение.
УПРАЖНЕНИЯ Е Пусть М, /У ~ Д Доказать, что следующее отображение является линейным изоморфизмом: (М + /т')//у -ь М/М П Л'. лт + и + Ат ь-ь лт + М П Й. 2. Пусть Е = М Э /У. Тогда каноническое отображение М -ь Е/Ат: тп т — ь пт + тч является иаоморфизмом. 5 7. Двойственность 1. В $ 1 мы поставили в соответствие каждому линейному пространству Е двойственное к нему пространство Е" = Ы(Е, Л'), а в 3 3 показали, что если гйт/ ( оо, то ЙшЕ'= б(гпЕ, и построили канонический изоморфнзм еы Š— Е". Здесь мы продолжим описание двойственности, включив в рассмотрение линейные отображения, подпространства и факторпространства.
Теория двойственности получила свое название благодаря тому, что она выявляет ряд свойств «двусторонней симметрии» линейных пространств, довольно трудных для наглядного воображения, ио совершенно фундаментальных. Достаточно сказать, что дуализм «волна — частица» в квантовой механике адекватно выражается именно на языке линейной двойственности бесконечно- мерных линейных пространств (точнее, соединения линейной и групповой двойственности в технике анализа Фурье). Удобно следить за этой симметрией, несколько изменив обозначения, принятые в $1 и 3.
2. Симметрия между Е и Е'. Пусть 1еиЕ, /епЕ'. Вместо /(1) мы будем писать Ц, 1) (в знак аналогии со скалярным произведением — но векторов из разных пространств!). Таким образом, мы определили отображение Е'Х Е- 3(л. Оно линейно по каждому из двух аргументов /, 1 при фиксированном втором: (/, +/з, 1) (/и 1)+(/з, 1), (а/и /) аЦи!), (Р. 11+/з)=Ч. 1в)+(/, /з) (/.
а/и)=а(/ 1з). Вообше, отображения Ер',/т(-ьЛ' с таким свойством называются билинейными, а также спариваниями между пространствами Е и М. Введенное выше спаривание между Е и Е' называется каноничвснилт (ср. обсуждение этого слова в 3 3, п. 8). Отображение ес.' Е-ь. Еее иэ $3, п. 1О, как видно из его определения, можно задать условием: (с(/) Й=(/' 1). где слева стоит символ спаривания между Ееа и Е', а справа— между Е' и Е. Если д1т Е ( оо, так что ес является изоморфизмом, и мы условимся отождествлять Е и Е посредством еы эта формула приобретает симметричный вид (1,/) = Ц, 1).
Иными словами, мы можем также рассматривать Е как пространство, двойственное и Е'. 3. Симметрия между двойственными базисами. Пусть (е!, ... , с„) — базис в Е, (е', ..., е") — двойственный базис в 1.". Согласно п. 9 $3 он определяется формулами 10 при г~ й, "" ="=11 1. при !'= Симметрия (е', ее)=(ем е') в соглашениях предыдущего пункта означает, что базис (ех) двойствеи к базису (е!), если Е рассматривать как пространство линейных функционалов на Е*. Таким образом, (е') и (ее) образуют двойственную пару базисов, и это отношение симметрично.
Представим вектор 1" си Е" в виде линейной комбинации 2 Ь,е', ! ! а вектор1еи Е в виде ~~' а!е!.'Тогда ! ь, (1', 1) = Х а Ь, (е', е!) = Х а!Ь, = (а„..., а„) с. 1-! ! ! ь„ а, =(а!) Ь =-(Ь1))й= — (Ь Ь ) =(1 1") а„ где а„Ь вЂ” вектор-столбцы соответствующих коэффициентов. Эта формула совершенно аналогична формуле для скалярного произведения векторов в евклндовом пространстве, однако связывает в этой ситуации векторы из разных пространств.
4. Двойственное, или сопряженное отображение. Пусть(: Е-+. -+.М вЂ” линейное отображение линейных пространств. Мы покажем сейчас, что существует единственное линейное отображение 1*; М*-+.Е*, которое удовлетворяет условию (1" (т'), 1) =(т', 1(1)) для любых векторов т" ~ М', 1ен 1.. а) Единственность 1'.
Пусть 1;. ~' — два таких отображения. Тогда (~;(т'), 1) =(т', )(1)) =-((.;(т'). 1) для всех и!'еяМ",1~ 1., откуда следует, что((1! — 1;)(т*),1)=0. Фиксируем кп' и будем менять 1. Тогда элемент(); — 1'.,)(т')е=Е' как линейный функционал на Е принимает только нулевые значения и, значит, равен нул!о. Поэтому (; = );. б) Сй!и(ествоваыие 1". Фиксируем т* еи М н рассмотрим выра!кение (т',1(1)) как функцию на Е. В силу линейности 1 и билинейности (,) эта функция линейна. Значит, она принадлежит 1.*. Обозначим ее через 1*(п!'). Равенства (* (т', + т.*) = (' (т',) + ! ' (т'), Г(ат") = аГ (т') следуют из линейности (т*, 1(1)) по т'.
Значит, 1* — линейное отображение. Пусть в ь', М выбраны некоторые базисы, а в 1.", М' — двой- ственные базисы. Пусть 1 в этих базисах представлено матрицейА Мы утверждаем, что 1" в двойственных базисах представлено траиспонированной матрнцей А'. В самом деле, пусть  — матрица 1'. Согласно определениям и и. 3 имеем, обозначив вектор-столбцы -ь ь координат т', 1 через а, Ь, (т', 1 (1)) = а' (АЬ), и (т"), 1)=(Ва)'Ь=РВ')Ь'. Из ассоциативности умножения матриц и единственности 1' следует, что А = В', т. е. В = А'.
Основные свойства сопряженных отображений собраны в следующей теореме: 5. Теорема. а) ()+й)*=)'+ й*' б) (а1)" = а1'; здесь 1, йп 1-— в) ((д)'=д"1*; здесь В- М 1У1 г) 16 =Ы,0"=0; д) если канонически отождествить 1.*' с 1. и М*' с М, го 1'*: 1.*" -~ М*" отождествляется с 1: 1.-+ М. Доказательство. Если считать, что 1. и М конечномерны, то проще всего проверить все эти утверждения, представив 1, д матрицами в двойственных базисах и воспользовавшись простымн свойствами операции транспоиирования: (аЯ+ ЬВу аАю + ЬВг (АВ)к В~Ас Вк В' 0г 0 (Яс — 0 Инвариантную проверку мы оставляем читателю в качестве упра>кнепия.
6. Двойственность между подпространствами в В и в Т,*. Пусть М с:  — некоторое линейное подпространство. Обозначим через Мхе:1" и будем называть ортогональным дополнением к М множество функционалов, обращающихся в нуль на М. Иными словами, т'си Мхч=:-(т', т)=0 для всех те= М. Легко видеть, что Мь является линейным пространством.
В следующих утверждениях собраны основные свойства этой конструкции (1. предполагается конечномериым). а) Имеется канонический изояорфизя Р(М' -эМ'. Строится он так: многообразию 1'+ Мл ставится в соответствие ограни чение функционала 1" на М. От выбора 1" оио не зависит, ибо ограничения функционалов из Мл на М нулевые. Линейность этого отображения очевидна. Оно сюръективно, ибо всякий линейный функционал на М продолжается до некоторого функционала на 1. В самом деле, пусть (еь ..., е ) — базис в М, (еь ..., е,„, е ы, ..., е,) — его продолжение до базиса 1..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
