1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Тогда по определению Р,л = Š— ń— Еи + Ем + Еь;, Г,л(Ц=Е+ХЕи, 'г",(ь)=Е+(ь — 1)Е„. Этот результат доказан в книге «Введение в алгебруэ, гл. 2, $4, следствие из теоремы и. 5. г) Пусть теперь матрица Л представлена в виде произведения элементарных матриц. Предполагая ее определитель положительным, покажем, как соединить ее с Е с помощью нескольких последовательных деформаций, пользуясь результатами шагов а) и 6).
Прежде всего, йе1 Еь,(Л) = 1 при всех ) и Ен с(0) = Е. Меняя в исходных сомножителях Х от начального значения до нуля, мы можем деформировать все такие множители в Е, так что можно считать, что их нет с самого начала. Матрицы г,(Х) диагональны: на месте (з, з) стоит Х, на остальных — единицы. Изменим Х от начального значения до +1 или — 1 в соответствии со знаком начального значения.
Результатом деформации будет либо единичная матрица, либо матрица линейного отображения, меняющего один из базисных векторов на противоположный и оставляющий остальные на месте. Результатом деформации А на этом этапе будет матрица композиции двух преобразований: одно сводится к перестановке векторов базиса (Е,,~ меняет местами з-й и ~.-й вектор), другое меняет знаки части векторов (композиция г,(+Ц и Е~( — 1)). Любую перестановку моэкно разложить в произведение попарных перестановок. Матрицу перестановки векторов базиса в пло- ГО !х / — ! Ох „à — «О»! мпе\ скости ~! ) можно соединить с ( о ) кривой 5[в ! «О» ! и/2 ~ 1) О.
Очевидно, разнеся элементы последней матрицы по местам (в, в), (в, !), (1,в), (1, !), получим соответствующую деформацию в любой размерности, уничтожающую множители Р,, ь К этому моменту Л превратилась в диагональную матрицу с элементами ~1 на диагонали, причем число минус единиц четно, — ! ох ибо определитель А положителен. Матрицу ~ о ! ) можно соек! От тсо» ! — «!и гх динить с~о ! кривой ~ 1, и) 1)0.
Собрав все — 1 по- 5!П ! «0$ ! парно и проведя такие деформации всех пар, мы завершим доказательство. Вернемся теперь к ориентации. Будем говорить, что базисы (в!'1, (в',) одинаково ориентированы, если определитель матрицы перехода от одного из них к другому положителен. Ясно, что множество упорядоченных базисов 1. разбивается в точности на два класса, состоящих из одинаково ориентированных базисов, тогда как базисы из разных классов ориентированы по-разному (или противоположно).
Выбор одного из этих классов называется ориентацией пространства А. Ориентация одномерного пространства соответствует указанию «положительного направления в нем» или полупрямой К+в= (ае~а ) О), где е — любой вектор, определяющий ориентацию. В двумерном пространстве задание ориентации с помощью базиса (е!, е») можно представлять себе как указание «положительного направления вращения» плоскости от в! к еь Это интуитивно согласуется с тем, что базис (ем е!) задает противоположную го !х ориентацию (определнтель матрицы перехода ~ о ! равен — 1) и противоположное направление вращения.
В общем случае переход от базиса (в;) к базису (е~), состоящему из тех же векторов, но в другом порядке, сохраняет ориентацию, если перестановка четная, н меняет ее„ если перестановка нечетная. Замена знака у одного нз векторов е~ меняет ориентаци!о на противоположную. В трехмерном физическом пространстве выбор конкретной ориентации может быть связан с физиологическими особенностями человека — асимметрией правой и левой стороны. Левая сторона— это та, где у подавляющего большинства людей находится сердце. Большой, указательный и средний пальцы левой руки, согнутые по направлению к ладони, в линейно независимом положении образуют упорядоченный базис, фиксирующий ориентацию («правило левой руки»). Вопрос о том, существуют лн чисто физические процессы, позволяющие выбрать ориентацию пространства, т.
е. 46 «неинвариантиые относительно зеркального отражения», был решен около двадцати лет назад положительно, ко всеобщему изумлению, экспериментом, установившим несохранеиие четности в слабых взаимодействиях. УПРАЖНЕНИЯ !. Пусть (1 ь Е.ь Ез) — упорядоченная тройка плоскостей н Хз, попарно различных. Доказать, что имеются два возможных типа взаимного расположения таких троек, характеризующихся тем, что гнщ Е, !) Ез В Ез = О или 1. Какой из этих типаз следует считать общим? 2.
Доказатгч что тРойки попаРно Разных пРЯмых в,'УР все ОДинакаво Расположены, а для четверок это уже неверно. 3. Пусть Е, с Ез с.... с !.„— флаг в конечнамерном пространстве 1, т, = ЕящЕь Доказать, что если Е, с...сń— другой флаг, т =б)щЕ,, то автоморфизм Е, переводящий первый флаг во второй, существует тогда и только тогда, когда т! = тг для любого с 4. То же для прямых разложений.
б. Доказать утверждения пятого абзаца и. 6. б. Пусть р: Е-ьŠ— проектор. Доказать, что Е = Кег ргь'!щр. Вывести отсюда, чта в подходящем базисе Е любой проектор р прелставлен матрнцей вида где г = б!то 1гп р. 7. Пусть Š— и-мерное пространство над конечным полем из д элементов а) Вычислить количество й-мерных подпростраиств в Е, ! ~ л ( н б) Вычислить количество пар подпространств Еь Ез с Е с данными размер.
настями Еь Ез н Е~ 1) Е» Убедиться, что при ч оз даля этих пар, находящихся в общем положении, среди всех пар с данными б!гп Еь б!щЕг стремится к 1. й 6. Факторпространства 1. Пусть Š— линейное пространство, М с: Š— его линейное подпространство, а Е~ Š— вектор. Различные вопросы приводят к рассмотрению множеств вида 1+ М = (1+ т) т ~ М), «сдвигов» линейного пространства М на вектор !.
Вскоре мы убедимся, что такие сдвиги не обязаны быть линейными подпространствами в Е; их называют линейными подмногообраэиями. Начнем с доказательства следующей леммы. 2. Лемма. )! + М! = !э+ Мх тогда и только тогда, когда М! = Мэ = М и !! — )зев М. Таким образом, всякое линейное подмногообраэие однозначно определяет линейное надпространство М, сдвигом которого оно является. Вектор жг сдвига определяется лишь с точностью до элемента иэ этого подпространсгва. Доказательство. Прежде всего, пусть )! — )зеи М.
Положим ), — !э = то. Имеем ), + М:= (1! + т ) т еи М), Еэ + М = (1, + т — и ) т ее М). Но когда и пробегает все векторы из М, т — то тоже пробегает все векторы пз М. Поэтому й + М = !з+ М. Наоборот, пусть 1!+ М! = 1т+ Мв Положим и!с —— 1! — )э. Из определения ясно, что тогда тле+ М! = Мв Так как Оси Мь мы должны иметь тс ~М!. Значит, и!е+М! =М! по рассуждению в предыдущем абзаце, так что М! = Мт — — М. Это завершает дока. зательство. 3. Определение.
Факторпространством Е/М линейного простран- ства Е по М называется множество всех линейных подмногообра- зий в Е, явлтгющихся сдвигами надпространства М, со следйюи!ил!и операциями: а) (1! + М)+(12+ М) = (1! + 12)+ М, б) а(1!+ М) = а1!+ М для любых 1ь 1х~1, а ~Ж. Эти операции определены корректно и превращают Е/М в ли- нейное пространство над полем йс'. 4.
Проверка корректности определения. Она состоит из сле- дующих шагов; а) Если 1!+М=1!+М и 1г+М=(т+М, то 1!+1 +М= =1! + 12+ М. В самом деле, из леммы и. 2 следует, что 1! — 1! = т! енМ н 1.— — 1э —— и!д ен М. Поэтому снова по лемме п. 2 (1 ! + 1э) + М = (1! + 1э) + (сп! + тг) + М = (1! + 1г) + М, ибо и!+тпген М. 6) Если й+ М= 1!+ М, то а1!+М=а1, + М. В самом деле, снова полагая1! — 1!=т~ М, имеем а1! — а1!- —— =ап!епМ, и применение леммы п. 2 дает требуемое. Таким образом, сложение и умножение на скаляр действительно однозначно определены в Е/М.
Остается проверить аксиомы линейного пространства. Но они сразу же следуют из соотвстствующих формул в Е,. Например, одна из формул дистрибутивности проверяется так: а((1!+М)+(1,+ М))= ((1!+1!)+М)= (1,+1,)+М= =а1, +а1,+ М=-(а1, + М)+(а1, +М)=а(1, + М)+а(Ц+М). Здесь последовательно используются: определение сложения в Е/М, определение умножения на скаляр в Е/М, дистрибутивность в Е и снова определение сложения и умножения на скаляр в Е/М. 5. Замечания. а) Из определения видно, что аддитивная группа Е/М совпадает с факторгруппой аддитивиой группы Е по адднтивной группе М.
В частности, подмногообразие М с: Е является нулем в Е/М. 6) Имеется каноническое отображение 1: Е - Е/М: 1(1) = 1+ М, Оно сюръективно, а его слои — прообразы элементов — суть как раз подыногообразия, отвечающие этим элементам. Действительно, по лемме п.
2 1 (1е ™) = (1 Е! 1 + М = 1а + М) = (1 Е 11 1е М) = 1„+ М. Заметим, что в этой цепочке равенств 1ч+ М первый раз рассматривается как элемент множества Е/М, а остальные — как нодмноэкества в Е. Из и. 4 ясно, что 1 — линейное отображение, а лемма п. 2 показывает, что Кег1= М, ибо 1ч+ М= М тогда и только тогда, когда !с ен М.
6. Следствие. Если Е конечномерно, то б(гп Е/М = бпп Е— — дпп М. Доказательство. Применить теорему п. 12, $3 к построенному отображению Е-ь Е/М. Многие важные задачи в математике приводят к ситуации, когда пространства М с: Е бесконечномерны, а факторпространство Е/М конечномерно. В этом случае пользоваться следствием п. 6 нельзя, и вычисление б(гни/М обычно становится нетривиальной задачей. Число 61гпЕ/М вообще называется коразмсрностью подпространства М в Е и обозначается соднпМ или содппсМ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
