1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Уточнить это утверждение можно разными способами. Один из них состоит в том, чтобы описать множество пар подпространств некоторыми параметрами и проверить, что пара не находится в общем положении, только если этн параметры удовлетворяют дополнительным соотношениям, которым общие параметры не удовлетворяют. Другой способ, который годится для Л" = )г и С, состоит в следующем: выбрать в Е некоторын базис, определить Е, и Ез двумя системами линейных уравнений и показать, что можно как угодно мало изменить коэффициенты этих уравнений («пошевелить Е, н Ез») так, чтобы новая пара оказалась в общем положении.
Можно было бы пытаться далее рассматривать инварианты, характеризующие взаимное расположение троек, четверок и большего числа подпространств в Е. Комбинаторные трудности здесь быстро растут, и для решения этой задачи нужна другая техника; кроме того, начиная с четверок, расположение перестает характе- ризоваться только дискретными инвариантами типа размерностей разных сумм и пересечений. Заметим еше, что, как показывает наша «фнзическая» интуи- ция, расположение, скажем, прямой относительно плоскости ха- рактеризуется углом между ними.
Но, как мы отмечали в $1, понятие угла требует введения дополнительной структуры. В чисто линейной ситуации есть только различие между «нулевым» и «не- нулевым» углом. Теперь мы изучим один частный, но очень важный класс взаим- ных расположений и-ок подпространств. 7. Определение.
Пространство Ь является прямой суммой своих подпространств Ь!, ..., Ь„, если каждый вектор 1ы Ь однозначно ь представляется в виде ~, 1!. где 1, еи Ь! !-! Когда условия определения выполнены, мы пишем Ь = = Ь! 9 ... ЮЬ, или Ь=63Ь!. Например, если (е!, ..., е„)— ! ! базис Ь, а Ь! = Л'е! †линейн оболочка вектора е!, то Ь = Я Ь! ! ! л « Очевидно, еслиЬ=ЯЬ!, то Ь= ~ Ьй последнее условие является ! ! ! ! более слабым. 8. Теорема. Пусть Ь|, ..., Ь„с: Ь вЂ” надпространства в Ь. « Ь=Я Ь, тогда и только тогда, когда выполнено любое из слег-! дующих двух условий: л а) Ь, Ь,=Ь и Ь! Д ~Х Ь!) = 10) для всех 1 ~~1(П' 4-! !.! ! л л б) Ь, Ь! = Ь и Х б1гп Ь, = й1ш Ь 1здесь предполагается, что Ь !=! конечномерно). До к аз а тельство. а) Однозначность представления любого и вектора 1«и Ь в виде ~, 1!, 1, ~ Ь, равносильна однозначности ! ! такого представления для нулевого вектора.
В самом деле, если л ь « 1!= ) 1!, то 0= К (1! — 1;) и наоборот. Если имеется нетри,-! ! ! ! ! п виальное представление 0 = )„1!„в котором, скажем, 1!4=0, то !-! 1! —— — ~„1! ен Ь П! Х Ь!), так что условие а) нарушено. Обра- щая это рассуждение, получаем, что из нарушения условия а) сле- дует неоднозначность представления нуля, л б) Если Я Ь,= Ь, то во всяком случае !=! л Й ~„Ь!=Ь и ~ йптЬ!~дни Ь, ! ! г-! потому что объединение базисов Ь! порождает Ь и, значит, содержит базис Ь.
По теореме п. 3, примененной к Ь! и 7. Ь,, имеем Г~! б!гпЬ~ДЯ Ь!)+41!пЬ=бппЬ~+йт ~ф Ь,). I у6 ! Но размерность пересечения слева нулевая по предыдущему утверждению. Кроме того, если сумма всех Ь; прямая, то и сумма всех Ьь кроме Ьь прямая, и мы можем по индукции считать, что йгп ~Х Ь!1= Х ЛЮСЬ!. Поэтому ~' йтЬ! йгпЬ. Наоборот, еслиЬ, й!гп Ь! = Л!п! 1., то объединение базисов всех Ь! состоит из йгпЬ элементов и порождает все Ь, а потому является базисом в Ь. В самом деле, нетривиальное представление и нуля О = 2„1„1!ев Ь! дало бы нетривиальную линейную комби! ! нацию элементов этого базиса, равную кулю, что невозможно.
Рассмотрим теперь связь между разложениями в прямую сумму и специальными линейными операторами — проекторами. 9. Определение. Линейный оператор р: Ь-~ Ь называется проектором, если рз = р ~ р = р. и Прямому разложению Ь=Я Ь,естественно сопоставляются и !-! проекторов, которые определяются так: для любых 1! ен Ь! Ф)- Поскольку любой элемент 1ен Ь однозначно представляется в виде !! 1' !т 1тен Ь, отображения р! определены корректно.
Их линей- !1 ность и свойство р,'.= р, проверяются прямо из определения. Очевидно, Ь! = 1т р!. Сверх того, если ! чь 1, то р!р! — — О: вектору й отвечает представл % Р ! Р ление 1!= Ь, 1!, где 1!=0 при ! ~1, 1!=1!. ! и Наконец, ~ р,=Ы, ибо ~ ~, р!) ~~ 1!~= ~ 1Р если 1;ен Ьн ! 1=! ! ! ! ! Наоборот, по такой системе проекторов можно определить отвечающее ей прямое разложение.
10. Теорема. Пусть р!..., р„: Š— Š— конечное л!ножество проекторов, удовлетворяюи!их условиям р,=Ы, р р,=О при 1чь1. Х', Положим Е!=1тр!. Тогда Е=®Е!. ! ! Доказательство. Применяя оператор Ы= — ~, р, к лю! ! бому вектору 1~ Е, получим 1= Е, р, (1), где р!(1)~ Е!. Поэтому ! ! л Е= 2 Е,. Для доказательства того, что эта сумма прямая, нри! ! меним критерий а) из теоремы п. 8. Пусть 1~ Е~!') (~ Е!), В си- !.!,Г., лу определения пространств Е! = 1гп р! существуют такие векторы 1!, ..., 1„ что 1= р, (1 ) =,с' р (1 ). ~! / Применим к этому равенству оператор рт и воспользуемся тем, что р!з=р!, р,р,=О при ! ~1.
Получим ру(1!) = с' Рюр! (1!) = О. ГФ! Следовательно„1= О, что завершает доказательство. 11. Прямые дополнения. Если Š— конечномерное пространство, то для любого подпространства Е! ~ Е можно выбрать такое подпространство Езс: Е, что Е=Е! 9Ез, кроме тривиальных случаев Е, =(0) или Е! =Е этот выбор неоднозначен.
В самом деле, выбрав базис (е!, ..., е ) в Е, и продолжив его до базиса (е!, ... ..., е, е +!, ..., е„) в Е, мы можем взять в качестве Ез линейную оболочку векторов (е +!, ..., е,). 1х. Внешние прямые суммы. До сих пор мы исходили из семейства подпространств Е|, ..., Е„одного и того же пространства Е. Пусть теперь Еь ..., ń— пространства, не вложеш!ые заранее в общее пространство. Определим их внешнюю прямую сумму Е следующим образом: а) Е как множество есть Е! Р, ...
)(Е„, т. е. элементы 1. суть семейства (1!, ..., 1„), где Вен Е!. б) Сложение и умножение на скаляр производятся покоординатно: (1ь ..., 1„)+(1'ь ..., О-(1,+1'ь ..., 1.+1.'), а(1!, ..., 1„) =(а1„..., а1„). Нетрудно проверить, что Е удовлетворяет аксиомам линейногопространства. Отображение 1!: Е!-~Е, 1!(1)=(0, ...„0,1,0, ..., 0) (! на 1-м месте) является линейным вложением Е! в Е, и пз определений немедленно следует, что Е =-(..1;))!(Е!).
Отождествив ! ! с 1!(Е!), получим линейное пространство, в котором Е! содерн!атея и которое разлагается в прямую сумму Еь Это оправдывает название внешней прямой суммы. Часто удобно обозначать внешнюю га прямую сумму также ЯЕ!. ! ! 13. Прямые суммы линейных отображений. Пусть Е=.®Е!, ! ! М =ЯМ„1! Е-+М вЂ” такое линейное отображение, что )(Е!)~ ! ! с: Мь Обозначим через 1! индуцированное линейное отображение Е! — Мь В таком случае приняло писать 1 = Я)!.
Аналогично ! ! определяется внешняя прямая сумма линейных отображений. Выбрав в Е и М базисы, являющиеся объединением базисов Е! и М! соответственно, мы получаем, что матрица 1 является объединением стоящих по диагонали блоков, которые представляют собой матрицы отображений 1!, на остальных местах стоят нули. 14. Ориентация вещественных линейных пространств. Пусть Е— конечномерное линейное пространство над полем вещественных чисел. Два упорядоченных базиса (е,) и (е,') в нем всегда одинаково расположены в том смысле, что имеется единственный линейный изоморфизм 1: Е-+-Е, переводящий е, в е',. Поставим, однако, более тонкий вопрос: когда можно перевести базис (е!) в базис (е',) непрерывным движением, или деформацией, т.
е. найти такое семейство 1!: Е-+ Е линейных изоморфнзмов, непрерывно зависящее от параметра 1 еп (О, 1), что (ь = 1о,1! (е,) = е', для всех !? (Непрерывно зависеть от 1 должны просто элементы матрицы 1 в каком-нибудь из базисов.) Для этого имеется очевидное необходимое условие: поскольку при изменении 1 определитель 1! меняется непрерывно н не проходит через нуль, знак де11 должен совпадать со знаком де11ь — — 1, т.
е. бе11! О. Верно и обратное утверждение: если определитель матрицы перехода от базиса (е!) к базису (е,') положителен, то (е!) можно перевести в (е',) непрерывным движением. Это утверждение, очевидно, можно сформулировать иначе: любую вещественную матрицу с положительным определителем можно соединить с единичной матрицей непрерывной кривой, состоящей из невырожденных л!атриц (множество вещественных невырожденных матриц с положительным определителем связно). Чтобы перейти от языка базисов к языку матриц, достаточно работать не с парой базисов (е!), (1!(е!)), а с матрицей перехода от первого ко второму.
й(ы докажем это утверждение, разбив его на серию шагов. а) Пусть Л = В, ... В, где А, В; — матрицы с положительными определителллиь Если вгс В; можно соединить с Е непрерывной «ризой, то это верно и для Л. Действительно, пусть В;(г) — такие непрерывные кривые в пространстве невырожденных матриц, что В~(0) = Вь В;(1) = Е. Тогда кривая Л(1)= В,(1) ... В„(1) соединяет А с Е. б) Если А можно соединить непрерывной кривой с В, а В с Е, то можно соединить А с Е„ Действительно„если А(С) такова, что А(0)= А, А(1) == В, и В(1) такова, что В(О) = В, В(1) = Е, то кривая А(21) при 0 (1(1/2, В(21 — 1) при 1/2~~1«=.1 соединяет Л с Е.
Трюк с изменением масштаба и начала отсчета 1 использован лишь потому, что мы условились параметризовать кривые матриц числами ~~(0, 1]. Очевидно, моькно пользоваться любыми промежуточными интервалами параметризации, проводить последовательно все нужные дефо!!мании и менять масштаб лишь в конце. Поэтому дальше мы не будем заботиться об интервалах параметризации. в) Любую квадратную иевь!рожденную матрицу А можно представить в виде произведения конечного числа элементарных матриц следуюгцих типов: Е,, и Еп ~(Х), г (Х), Х ен 11. Обозначил через Ем матрш1у с единицей на весте (з,() и нулпми на остальных местах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
