1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Дирак, один иэ создателей квантовой механики, в своей теории релнтивистского электрона со спином). Пользуясь результатами упражнений 5 и 1, проверить их свойства: а) ууь+уьу =2йьЕь, где дьь=о при ачьЬ, йш=1, йп=кы=. .= Хм = — 1. ГО оау б) По определению. уь = !уьуьуьучь Проверить, что уь — ( )- чпа О) х в) уяу'= уауя для о=о, 1, 2, 3; уэ Еь. 7.
Проверить следующую таблицу размерностей классических агшебр Ли (как линейных пространств над соответствующими полями): н! (и, у««) [ з! (и, ь«)[ о (л, .л1 [ п (и) ) зи (и) и' ~ п' — 1 ~ ~ лз ) лз — 1 8. Пусть А — нвадратвая матрица порядка ц е — вещественная переменная, е- О. Показать, что матрица 0 = Е + еА «унитарна с точностью до есэ тогда и только тогла. когда А аитиэрмитова: 00 = Е+ 0 (ез) «=«- А+ А О.
Сформулировать и доказать аналогичные утверждения для других пар классических групп и алгебр Ли. 9. Пусть 0 = Е+ еА, У = Е+ еВ, где е-ь О, Проверить, что РУО !У =Е+е [А, В)+0(в) (выражение слева называется групповым коммутатором элементов К У). 1О. Ранг гйА матрицы над полем — это максимальное число ее линейно независимых столбцов. Доказать, что гй Аг = д!ш !и ). Доказать, что квадратная матрица ранга 1 представляется в виде произведения столбца на строку. 11. Пусть А,  — матрицы над полем размеров гп у( п, и, уг,п1 и пусть зафиксированы нумерации всех гпп элементов А и всех ш,п, элементов В (например, последовательно по строкам). Тензорное произведение, или произведение Кроиексра, А Э В вЂ” это матрица размера ли )( гл,л, с элементом амЬ, иа месте а[), где а — номер аа, [) — помер Ьг . Проверить следующие утверждения: а) А Э В линейно по каждому из аргументов, когда другой фиксирован.
б) Если т = л, т, = ль то де!(А(9В) (бег А)ьь(де! В)л1- 12. Сколько нунсио операций, чтобы перемножить две большие матрицы? В следующей серии утверждений излагается метод Штрассена, позволяющий значительно сократи~ь их число, если матрипы действительно большие. а) Умножение двух матриц порядка !У обычным методом требует № умножений и №(йг — 1) сложений. 6) Имеет место следующая формула умножения при й = 2, обходящаяся 7 умножениями (вместо 8) за счет 18 сложений (вместо 4), коммутативность элементов не предполагается: (и+г()(А+О) — (Ь+г()(С+ О) — г((А — С) — (и — Ь) О, (а — Ь) Р— а(0 — В)) ( — с) А — г( (Л-С), (а-1-г()(А-(-О! — (а+с)(Л+В) — а (Π— В) — (Л вЂ” с) Ау' =( в) Применяя этот метод к матрицам порядка 2", разбитым на четыре 2'-1 Х 2" — '-блока, показатгь что их можно перемножить, применив 7" умножений и 6(7" — 4") сложений.
г) Дополнив матрицы порядка В до ближайшего порядка 2" нулями, показатгь что для их умножения достаточно 0(Ы з* )=0(Ф ) операций. ыз,тг з,з! Не удастся ли вам придумать что-нибудь лучшее? 13. Пусть !. = М,Ь«) — пространство квадратных матриц порядка л. Доказать, что для любого функционала ) ш Е« существует единственная матрица Л гн М,(л ) со свойством ) (Х) = Тг (АХ) для всех Хек М,(зз), Вывести отсюда существование канонического изоморфизма Ы (Е, Е) -э [Я(й, Е))~ для любого конечномерного пространства 1 14. М-алгеброй Ли называется линейное пространство Ь над Л' вместе с бинарной операцией (коммутатор): Е У( Е- Е, обозначаемой [, ] и удовлетворяющей условиям: а) коммутатор [1,щ] линеен по каждому из аргументов 1, !и !я Е при фиксированном другом аргументе; б) [1,ы] = — [т, 1) при всех 1, вц в) [1! [1ь)з]]+ Рз, Рь 1з]]+ [!ь[1з 1зй = 0 (тождество Якоби) при всех 1.1,1, Е Проверить, что описанные а н.
11 классические алгебры Ли являются алгебрами Ли в смысле этого определения. Более общо, прозеритгч что коммутатор [Х, У] = ХУ вЂ” УХ в любом ассо. циативном кольце удовлетворяет тождеству Якоби. 2 5. Подпространства и прямые суммы 1. В этом параграфе мы изучим некоторые геометрические свойства взаимного расположения подпространств конечномерного пространства Е. Поясним первую задачу на простейшем примере. Пусть Еь Е! ~ Š— два надпространства. Естественно считать, что они одинаково расположены внутри Е, если существует такой линейный автоморфизм [: Š— з.
Е, который переводит Е, в Ц. з Для этого, конечно, необходимо, чтобы дппЕ! дппЕь потому что у сохраняет все линейные соотношения и, значит, переводит базис Е! в базис Ц. Но этого и достаточно. В самом деле, выберем базисы (еи ..., е ) в Е, и (вь ..., е') в Е;. По теореме п. [2 2 2 их можно дополнить до базисов (еь ..., е, е„+ь ..., е ) и (вз, ..., е', е'„+„..., е'„) пространства Е. По предложению и. 3 $ 3 существует линейное отображение [: Š— ьЕ, переводящее е! в е', для всех !.
Это отображение обратимо и переводит Е, в Е',. Таким образом, все линейные надпространства одинаковой размерности одинаково расположены внутри Е. Дальше естественно рассмотреть возможные расположения (упорядоченных) пар надпространств Еь Еас: Е. Как выше, будем говорить, что пары (Е„Ез) и (Е'„Е',) одинаково расположены, если существует такой линейный автоморфизм 1: Е- Е, что 1(Е!)=Ее! 1* (Е ) = Е,'.
Снова равенства й[ш Е! = й[т Е', и й[т Ез = йпп Е' являются необходимыми для одинаковой расположенности. Однако, вообще говоря, этих условий уже недостаточно. Действи- I I тельно, если (Еь Ез) и (Еь Еа) одинаково расположены,то [ пере- Р г водит подпространство Е! П Ез в Е! П Еь и потому необходимо также условие й[гп (Е! ПЕз) = й[т(Е! ПЕе).
Если д[тЕ! и г[[шЕз фиксированы, но Е! и Ез в остальном произвольны, то й[т(Е! ДЕз) может принимать, вообще говоря, целый ряд значений. Чтобы выяснить, какими они могут быть, введем понятие суммы линейных подпространств. 2. Определение. Пусть Е1, ..., Е„с" Š— линейные подпространства в Е. Их суммой навываетсл множество Легко убедиться, что сумма также является линейным подпространством н что эта операция сложения ассоциативна и коммутативна, так же как и операция пересечения линейных подпространств. Другое описание суммы Е~ + ...
+ Е„состоит в том, что это наименьитее надпространство в Е, содержащее все Еь Следующая теорема связывает размерности суммы двух подпространств и их пересечения: 3. Теорема. Если Еь Ез~ Е конечномерны, то Е1 ПЕз и Е~+ Ет конечномерны и б(гп (Е, П Ет) + г)(гп (Е| + Ез) = б(гп Е, + б(гп Еэ. Доказательство. Е~+Ет является линейной оболочкой объединения базисов Е~ и Ет и потому конечномерно; Е1 ПЕз содержится в конечномерных пространствах Е1 и Еь Положим т = дни Е~ПЕт, и = г((гоЕь р = б(гп Еь Выберем базис (еь ..., е ) пространства Е~ПЕт. По теореме п. 12 ф 2 его можно дополнить до базисов пространств Е1 и Ет.
.пусть это будет такую пару базисов в Ег и Еэ согласованной. Мы докажем сейчас, что семейство (еп ..., е , е' +„ ..., е'„, е" „ ..., е"~ составляет базис пространства Е~ + Е,. Отсюда будет следовать утверждение теоремы: п(гп (Е~ + Ез) = р + и — гп = б1гп Е~ + г(1гп Ет — 41гп Е~ П Ет. Поскольку каждый вектор из Е1+ Ез есть сумма векторов из Е, и Ем т. е. сумма линейных комбинаций (еп ..., е, е„' /1 е~) " (е1 .
° е е +и ° ° ерг. объединение этих семейств порождает Е| + Еь Поэтому остается лишь проверить его линейную независимость. Предположим, что существует нетривиальная линейная зависимость ы в 9 ~',х,е,+ ~„у,е,'+ ~ зле"=О. !-т+~ л-ги+1 Тогда обязательно должны существовать индексы 1 и А, для которых уг чь О и ал чь О: иначе мы получили бы нетривиальную линейную зависимость между элементами базиса Е| или Ет. г Следовательно, ненулевой вектор ~' аье" ен Ет должен леь-т+1 / П3 П .„„,, ° ги Ю р — (К .~,+ Х й;.).З...,,. 1-1 ' ' !-т+~' лежит в Е~ ДЕт и потому представим в виде линейной комбинации векторов (еь, е ), составляющих базис Е~ П Ев Но это представление дает нетривиальную линейную зависимость между векторами (еп..., е, е +и ..., е"~, что противоречит их определению.
Теорема доказана. 4. Следствие. Пусть пг ~ пз ~ п — размерности пространств Е» Ьт и Ь соответственно. Тогда числа 1= д(гп Е~ Д Ьг и ь' =- = д(гп(Е| + Ьт) могут принимать любые значения, подчиненные условиям 0 ( г ~» п~ пз ( 8 «» и и г + 8 = п1 + п2. До к а з а тел ь с тв о.
Йеобходнмость условий следует из включений Е1 ПЬтс: Е» Ьзс: Ь1+ Ел~ Ь и из теоремы п. 3. Для доказательства достаточности выберем з = п1 + и, — г линейно независимых векторов в Ь: (еп ..., е,; е,'+„..., е„'; е,".+и.... е'„') и обозначимчерезЬ» Ьзлинейныеоболочки (еп ..., е,; е,' и ..., е'„) и (еп ..., е,; е,", ..., е"„) соответственно.
Как в теореме, нетрудно проверить, что Е1() Ьх есть линейная оболочка (е~, ..., е). 5. Теперь мы можем установить, что инварианты п~ — — г))гп Е» и» вЂ” д)гп Ьт и г = г)гш Ег П Ез полностью характеризуют расположение пары подпространств (Ь» Ьз) в Ь. Для доказательства возьмем Р т другую пару (Ь» Ьз) с теми же инвариаитами, построим согласо- Р ванные пары базисов для Ь» Ьз н Ь» Еь затем их объедине/ т ния — базисы Ь~+Ьз иЬ1 + Ем как в доказательстве теоремы п. 3, наконец, продолжим эти объединения до двух базисов Ь. Линейный автоморфизм, переводящий первый базис во второй, устанавс г ливает одинаковость расположения Е» Ь|.и Ь» Ет.
6. Общее положение. В обозначениях предыдущего пункта будем говорить, что подпространства Е» Ьз с: Е находятся в общем положении, если их пересечение имеет наименьшую, а сумма— наибольшую размерность, допускаемую неравенствами из следствия п. 4. Например, две плоскости в трехмерном пространстве находятся в общем положении, если они пересекаются по прямой, а в четырехмерном пространстве,— если они пересекаются по точке. Другой термин для того же понятия: Е, и Е, пересекаются трансверсально. Название «общее положение» обусловлено тем, что в некотором смысле большинство пар подпространств (Е»Ет) находится в общем положении, а другие расположения являются вырожденными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
