1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 8
Текст из файла (страница 8)
-» Заметим„что формулу х= Ах' можно было прочесть также как формулу, выражающую координаты старого вектора-столбца х через координаты вектора 1(х'), где 1 — линейное отображение 1.-+-.1., описанное матрицей А в базисе (еь). В физике эти две точки зрения называются соответственно «пассивной» и «активной». В первом случае мы описываем одно и го же состояние системы (вектор 1) с точки зрения разных наблюдений (со своими системами координат). Во втором случае наблюдатель один, а состояние системы подвергается преобразованиям, состоящим, например„из симметрий пространства состояний этой системы. в) Матрица линейного огобра ения е измененных базисах В ситуации п.
4 выясним, как изменится матрица А~ линейного отображения, если перейти от базисов (е»), (е,'.) к новым базисам (еь), (е) пространств И, М. Пусть  — матрица перехода от (е»)-координат к (еь) -координатам, а С вЂ” матрица перехода от (е,')-координат к (е',)-координатам. Мы утверждаем, что матрица А~ отображения 1 в базисах (еь), (е ) равна А~=С 'А~В. В самом деле, вычисляя в базисах, имеем (е„)А,=1((еь))=7((еь) В)=(7(е)) В=(е) А В=(е)С А В. Рекомендуем проделать аналогичные вычисления в координатах.
Особенно важен частный случай Ж=М, (е,.) =(е ), (е,', =(е ), В = С. Матрица линейного оператора 1 в новом базисе равна А~ = В А1В. Отображение М„(Л)-1-М„(Л): А~ — + — 'АВ называется сопряясением (посредством невырожденной матрицы В). Сопряжение является автоматизмом матричной алгебры М„(Х): В ' ( ~ а А,1 В = )„, а,в 'А,В, а, ~ Л'", '~=1 / 1 В (А,...А )В=(В А,В)... (В 'А В) (в произведении справа внутренние сомножители В и В-' попарно сокращаются, нбо стоят рядом). Особую роль играют те функции от элементов М„(Л'), которые не меняются при замене матрицы на сопряженную, потому что с помощью этих функций можно строить инварианты линейных операторов; если Ч~ — такая функция, то, полагая Ч ())= ~у(А~), получим результат, зависящий лишь от г, но не от базиса, в котором пишется Ль Вот два важных примера.
9. Определитель и след линейного оператора. Положим Тг~= Тгл~= й,' ан, где А~ — — (ан,1 а 1 (след — «(гасе» вЂ” матрицы А есть сумма элементов ее главной диагонали); деФ 7 = де( Аь Инвариантность определителя относительно сопряжения очевидна: дет(В АВ)=(детв) ' ° бетл бе(в=бИА. Чтобы установить инвариантность следа, докажем более общий факт: если Л,  — такие матрицы, что ЛВ и ВА определены, то Тг А В = Тг ВА. Действительно, Тг А В=- ~г' г~' апйп, Тг АВ= ~" Я Ь апг с у Если теперь В невырождена, то, применяя доказанный факт к матрицам В-'А н В, получим тг(В ЛВ) =тг (ВВ Л) = тг Л. В 5 8 мы введем собственные значения матриц и операторов, симметрические функпии от которых дадут другие инварнантные функции.
В заключение этого параграфа мы приведем определения, названия и стандартные обозначения для нескольких классов матриц над вещественными н комплексными числами, исключительно важных в теории групп н алгебр Лн и ее многочисленных приложениях, в частности в физике. Первый класс образуют так называемые классические грдппьп они действительно являются группами относительно матричного умножения. Второй класс образуют алгебры Ли: онн составляют линейные пространства и устойчивы относительно операции взятия коммутатора: [А, В) = А — ВА. Параллелизм обозначений для этих классов получит некоторое объяснение в Ч 11 и в упражнении 8. 1О. Классические группы. а) Полная линейная группа 01(п,Л').
Она состоит из невыро>кденных квадратных матриц размера ар',и над полем Х. б) Специальная линейная группа З).(п,Л'). Она состоит из квадратных матриц размера пр', и над полем Л' с определителем единица. В этих двух случаях Л' может быть любым полем. Дальше мы ограничимся полями Лг= К или С, хотя существуют обобщения этих определений на другие поля. в) Ортогональная группа 0(п,Л'). Она состоит из матриц размера пХ и с условием АА' = Е .
Такие матрицы действительно образуют группу, ибо Вал = Ел. А (А ) = А (А ) = (А А) = (Еи) = Е~, наконец (АВ) (АВ)'= АВВ'А'= АА'= Е„. При Ж = й, С эта группа называется вещественной или комплексной соответственно. Злементы группы 0(п,Л') называются ортогональнымн матрицами. Вместо 0(п, 1() обычно пишут 0(п). г) Специальная ортогональная группа БО(п,Ж). Она состоит из ортогональных матриц с определителем единица: 80(п, Л')= 0(п, Лг)() Б1.
(и, Л'). Вместо 50(п, Р) обычно пишут 80(п). д) Унитарная группа 1)(п). Она состоит из комплексных матриц размера пр', и, удовлетворяющих условию АА' = Е„, где А— матрица, элементы которой комплексно сопряжены с соответствующими элементами матрицы А: если А (ам), то Л =(йм). Пользуясь равенством АВ= АВ, нетрудно проверить, как и в случае в), что 0 (и) является группой, как в предыдущем пункте. Злементы () (и) называют унитарными матрицами. Матрицу й' часто называют эрмигово сопряженной с матрицей А; математики обычно обозначают ее А', а физики А+. Заметим, что операция эрмитова сопряжения определена для комплексных матриц любых размеров.
е) Специальная унитарная группа Я)(п). Она состоит нз унитарных матриц с определителем единица: Я) (и) = () (и) () 8 1. (п, С). Из определений ясно, что вещественные унитарные матрицы— это ортогональные матрицы: 0(п) = ()(и) Д И. (и, й), 80(п) = = 13(п)() Я.(п, 11), 1!. Классические алгебры Ли. (Матричной) алгеброй Ли называется любая аддитивная подгруппа квадратных матриц М (Л'), замкнутая относительно операции коммутирования [А, В] = =А — ВА.
(Общее определение см, в упражнении 14.) Следующие множества матриц составляют классические алгебры Ли; обычно они даже образуют линейные пространства над Л' (иногда над !(, хотя Л'= С). Они не являются группами по умножению! а) Алгебра д!(и, Л'). Она состоит из всех матриц М,(Л') б) Алгебра з1(п, Л'). Она состоит из всех матриц М„[Л') со следом нуль (иногда говорят «бесследных»). Замкнутость относительно коммутатора следует из формулы Тг[А, В] = О, доказанной в п. 9. Заметим, что Тг является линейной функцией на пространствах квадратных матриц и линейных операторов, так что з1 (п, Л') является линейным пространством над Лс.
в) Алгебра о(п, Л'). Она состоит из всех матриц в М„(Л"), удовлетворяющих условию А + А' = О. Равносильное условие: А =(ам), где аи = О (если характеристика Л' отлична от двух), ам = — ам. Такие матрицы называются антисимметричными, илк кососимметричнымн, Заметим, что ТгА = О для всех А е.= о(п, Л').
Если А'= — А, В' = — В, то [А, В]' =[В',А']=[ — В, — А]= = — [А, В], так что [А, В] кососимметрична. Такие матрицы образуют линейное пространство над Л'. Попутно заметим, что матрица А называется симметричной, если А' А. Множество таких матриц не замкнуто относительно коммутирования, но замкнуто относительно антикоммутирования 1 АВ+ ВА или операции Р)орлана — (АВ+ ВА). г) Алгебра п(п). Она состоит из комплексных матриц размера и Х и, удовлетворяющих условию А + А' = О, или ам = — йм. В частности, на диагонали у них стоят чисто мнимые элементы. Такие матрицы называются эрмитово антисимметричными, илн антиэрмитовыми, или косоэрмитовыми.
Они образуют линейное пространство над !(, но не над С. Если А' = — А, В' = — В, то [А, В]'= [В', А'] =[ — В, — А1= — [А, В~, так что п(п) является алгеброй Ли. Попутно заметим, что матрица А называется эрмитово симметричной, или просто эрмитовой, если А = А', т. е. ам = ам, Очевидно, вещественные эрмитовы матрицы симметричны, а антиэрмитовы — антисимметричны. В частности, о (и, !ч) = и (п) Д з1(п, Щ.
Матрица А эрмитова, если матрица !А антиэрмитова, и наоборот. д) Алгебра зп(п) Это есть п(п)Пз1(п, С) — алгебра бесследных антиэрмитовых матриц. Они образуют !1-линейное пространство. Во второй части книги, изучая линейные пространства, снаоженные евклндовыми илн эрмитовымн метриками, мы выясним геометрический смысл операторов, которые представлены матрицами из описанных классов, а также пополним наши списки. УПРАЖНЕНИЯ 1. Сформулнровать точно и доказать утверждение о том, что матрицы над полем, разбитые ца блоки, можно умножать поблочно, если размеры н колвчество блоков согласованы: (А,)(В„)= (~" А„В„,) когда число столбцов в блоке Ан равно числу строк в блоке Вьь и число блоч.
ных столбцов матрицы А равно числу блочных строк матрицы В. 2. Ввести понятие бесконечной матрицы (с бесконечныль числом строк и)илв столбцов). Найти условия, когда можно перемножать две такие матрицы над полем (примеры: финитные матрицы, т, е матрицы только с конечным числом ненулевых элементов; матрицы, у которых в каждом столбце и/пли каждой строке конечво число ненулевых элементов). Найти условия существования тройных произведевий. 3.
Докаэатгь что уравнение ХУ вЂ” УХ = Е неразрешимо в конечаых квадратных матрицах Х, У над полем нулевой характеристики. (Указпние. Рассмогреть след обеих частей.) Найти решение этого уравнения в бесконечных матрицах. (Указание. Рассмотреть линейные операторы ь()ь(х и умножения на х иа проВ странстос всех многочленов от х и воспользоваться тем, что — (х)) — х — 1 с!х ь(х =)) 4. Описать явно классические группы и классические алгебры Ли в случаях л = 1 н л = 2 Построить изоморфиэм групп О(1) и 50(2, м). 5. Следующие матрицы над С называются матрицами Паули: ь-(О',) =(',О) "-(,' О) п=(О ',) (Их ввел известный физик В.
Паули, один из создателей квантовой механики, в своей теории спина злектрона.) Проверить их свойства: а~ !пь,пь) = 2мьььаь, где (а, Ь, с) = — (1, 2, 3) и емы †зн перестановки ('..') б) и оь+ оьп. = 2бььпь (бьь — символ Кроиекера). в) Матрицы йгь игь нт, над й образуют базис зп(2); над С вЂ” базис з1(2); матрицы оь, йгь !оь, нть над й образуют базис н(2), иад С вЂ” базис 21(2). 6. Следуюшие матрицы над С порядка 4 называются матрицами Дирака (здесь и, — матрицы Паули»: (их ввел известный Физик П. А. Ы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
