1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 3
Текст из файла (страница 3)
3). Вот два примера, когда предпочтительнее другие обозначения. а) Положим Е= (хан К~х>0). Рассмотрим Е как абелеву группу по умножению и введем на Е умножение на скаляры из К по формуле (а, х) х . Легко проверить, что все условия определения и. 2 выполнены, хотя принимают в обычной записи другой вид: нулевой вектор в Е есть 1, вместо 11=1 мы имеем х'=х; вместо а(Ы)=(аЬ)1 — тождество (хь)'=хь"; вместо (а+Ь)1= = а1+ Ы вЂ” тождество х'+ь = х хь и т.
д. б) Пусть Š— векторное пространство над полем комплексных чисел С. Определим новое векторное пространство Е с той же ал дитивной группой Е, но другим законом умногкения на скаляры: (а, 1) а1, где а — комплексно сопряженное число к а. Из формул а+ Ь = = а+ 6 и пЬ = ай без труда следует, что Š— векторное пространство.
Если в какой-то ситуации нам приходится рассматривать одновременно Е и Е, то может оказаться удобно писать вместо а1, скажем, а«1 или а ° 1. 11. Замечания о чертежах и наглядных образах. Очень многие общие понятия и теоремы линейной алгебры удобно иллюстрировать схематическими чертежами н картинками.
Мы хотим сразу же предупредить читателя о некоторых опасностях таких изображений. а) Малая размерность. Мы живем в трехмерном пространстве, и наши чертежи изображают обычно двух- или трехмерные образы. В линейной алгебре работают с пространствами любой конечной размерности, а в функциональном анализе — с бесконечно- мерными. Наша «маломерная» интуиция поддается очень серьезному развитию, но развивать ее нужно сознательно. Простой пример: как представить себе общее расположение двух плоскостей в четырехмерном пространстве? Вообразите две пересекающиеся по прямой плоскости в Йз, которые отрываются вдоль атой прямой всюду, кроме начала координат, расходясь в четвертое измерение.
б) Вещественное поле. Физическое пространство 11' линейно над вещественным полем. Непривычность геометрии линейного пространства над гь" может быть связана со свойствами поля Я'. Например, пусть гг'= С (важнейший для квантовой механики случай). Прямая над С вЂ” это одномерное координатное пространство С'. Мы привыкли, что умножение точек прямой К' на вещественное число а есть растягкение в а раз (при а ) 1), сжатие в а — ' раз (при 0 «. а «1) или их комбинация с «переворачиванием» прямой (при а (О). Но умножение на комплексное число а, действующее на С', естественно представлять себе при геометрическом изображении С( в виде 1(а («плоскость Аргана» или «комплексная плоскость» — не путать с Сз)). При этом изображении числу л =х+ гу ~ С' отвечаег точка (х, у) ~ 11», а умножение на а ~ 0 соответствует растяжению в )а ~ раз н повороту на угол агя а против часовой стрелки. Мы видим, в частности, что при а = — 1 вещественное «переворачивание» прямой )т! есть ограничение на ц! поворота С' на 180'.
Вообще, и-мерное комплексное пространство С" можно, и часто полезно, представлять себе как 2п-мерное вещественное пространство 1(зв (ср. й 12 о комплексификации и овеществления). Другим примером являются конечныс поля Л', в частности поле из двух элементов гз =(О, 1), важное в теории кодирования. Здесь конечномерные координатные пространства конечны, и иногда удобно связывать с линейной геометрией над Л' дискретные образы. Например, г'г часто отождествляют с вершинами а-мерного единичного куба в )1" — множеством точек (еь ..., и„), где е!=0 или 1.
Покоординатное сложение в Гз — зто операции Буля: 1+ 0=0+ 1=1; 0+ 0=1+ 1 =0. Подпространство, состоящее из точек с е!+ ... + е„=О, определяет простейший код с обнаружением ошибок. Условившись, что точки (еы ..., е„) кодия руют сообщения только при ~ и, = О„и приняв сигнал (е!, ..., и„') ! ! я с К в! Ф О, мы можем быть уверены, что помехи при передаче ! ! привели к ошибочному приему. в) Физическое пространство евклидово. Это значит, что в нем определены не только сложение векторов и умножение на скаляр, но также длины векторов, углы между ними, площади и объемы некоторых фигур и т.
п. Наши чертежи несут принудительную информацию об этих «метрических» свойствах, и мы их машинально воспринимаем, хотя и общей аксиоматике линейных пространств они никак не отражены. Нельзя представлять себе, что один вектор короче другого, или что пара векторов образует прямой угол, до тех пор, пока пространство не наделено специальной дополнительной структурой, скажем, абстрактным скалярным произведением, Таким структурам посвящена вторая часть книги. УПРАЖНЕНИЯ !. Образуют ли линейное пространство над !«следующие множества ве!цественных чисел: а) положительные вещественные числа; б) неотрицательные вещественные числа; в) целые числа; г) рациональные числа со знаменателем ~ Аг; д) числа вида а + Ьп, где а, Ь вЂ” любые рациональные числа? 2.
Пусть 5 — некоторое множество, г(5) — пространство Функций со значениями в поле Л'. Какие из следующих условий являются линейными: а) 1 обращается в нуль в данной точке 5„ б) ) обращается в единицу в данной точке Я; в) ( обращается в иу.чь во всех точках подмножества 8! ~ 8; г) ( обращается в нуль хотя бы в одной точке подмножества 8, ~8: д) ((х) -» О при (х(— е) ((х) - 1 при 1х! -» оэ; ж) ( имеет ие более конечного числа точек разрыва (в д) — ж) предполагаем 8 = К и Х К)? 3.
Пусть Š— линейное пространство непрерывных вещественных функций на отрезке ( — 1, 1). Какие иэ следующих функционалов на Е являются линейными: ! а) 1»-» ~ Г(х) «х; — ! ! » ~ (! (х) «х. -! а) )»-» ((О) (это — едельта-функционал Дирака»!; ! г) 1!-» ~ )(х)д(х)«х, где д — фиксированная непрерывная функция на — ! ( — 1, 1)? Я. Пусть Е Л'". Какие из следующих условий на (х!, ..., х„)!жЕ явля. ются линейными: а) ) а!х! 1; ан ...„азснЖ ! ! б) ~ хт О (разберите отдельно случаи: Л' = К, Я С, Л» — поле из ! ! двух элементов, илн, более общо, иоле характеристики два); в) хз 2хг? 5. Пусть Л' — конечное поле иа д элементов. Сколько элементоз имеется э в линейном пространстве Л!"? Сколько решений есть у уравнения ~ агх! — — О? ! 1 6.
Пусть Ж вЂ” пространство бескоиечнь!х последовательностей (а!, ам а! ...), а,!иЛ', с покоординатным сложением и умножением. Какие из следуюшпх условий на векторы из Л' являются линейными: а) только конечное число координат иа а, отлично от нуля; б) только конечное число координат а, равно нулю; в) срели координат а! никакая ие равна 1; г) условие Коши: для каждого в О существует такое !У ~ О, что (а — а ) < е при т, н > Ф; д) условие Гильберта: рял ~ ~ а„( сходится: !3 л ! е) (а!) образуют ограниченную последовательность, т.е. существует такая константа с, зависящая от (а!), что 1а!) ~ з для всех ! (в г) — е) предполагаем Л' = (1 пли С)? 7.
Пусть 8 — конечное множество, Докажите, что каждый линейный функционал на г"(8) однозначно определяетсэ семейством элементов (а,(зж!8) поля Л: функции ! ставится в соответствие скаляр ~ а ) (з). зс а Бели п — число элементов в Я и а. = 1/и для всех з, мы получаем функцио- 1 т! нал 1 ! —: — г? ((з) — среднее арифметическое значений функции. за8 Если Л' = и и. а, л о, ~ а ), функнионвл ~ а,((е) называется вяз е ее Я вавешеллым средним функции 1 (с весами а.). й 2.
Базис и размерность 1. Определение. Семейство векторов (с,, ..., е„) в линейном пространстве Е называется (конечньин) базисом Е, если каждый вектор из е'. однозначно представляется в виде линейной комбинации 1= Д а,е„а; ен Хе, Коэффи)(менты ас называются координатами вектора 1 относительно базиса (е~). 2. ~йримеры. а) Векторы е, =(О,...,1,...,0), 1 ~1( п, образуют базис Хл. 6) Если множество Я конечно, функции б,енр(Ю) образуют базис г(Я).
Оба эти утверждения были проверены в 5 1. Если в с выбран базис из п векторов и каждый вектор задается своими координатами в этом базисе, то сложение и умножение л л на скаляр выполняются покоординатно: ~, а,е, + Х Ь,е, = с ! л л л =,й' (а, + Ь,) е,, а ч~„а,е, ~ аа,ео Поэтому выбор базиса равно- 1 е 1 силен отождествлению Е с координатным векторным пространл л ством. Вместо равенства 1= ~~~„а,е) иногда пишут 1= а, подразус ! мевая под а вектор-столбец [а,, ..., ал)= или вектор-строку (аь ..., а,)=[ам ..., а„[' координат аь ...
..., а„; в этих обозначениях явное указание базиса опущено. 3. Определение. Пространство ь называется конечномерным, если оно либо нульмврно (см. ~ 1, п. 4), либо имеет конечный базис. Остальные пространства называются бесконечномерными. Удобно считать, что базис нульмерного пространства образует пустое множество векторов. Поскольку для нульмсрных пространств все наши утверждения тривиализируются, мы обычно будем ограничинаться рассмотрением непустых базисов. 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
