1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

В двух местах пришлось корректировать доказательства. Многочисленные ценные замечания были сделаны сотрудниками кафедры алгебры и теории чисел Ленинградского государственного университета. Конструктивная критика рецензентов, а танже высококвалифицированная, тщательная работа редактора издания В. Л. Попова во многом способствовали улучшению качества книги. Мы выражаем им всем глубокую благодарностьь.

Все оставшиеся недочеты в книге авторы, разумеется, относят на свой счет, СПИСОК ДОПОЛНИТЕЛ)»НОИ ЛИТЕРАТУРЪ| 1, Косгрихии А И. Введеиие в алгебру. — Мл Наука, !977. 2. Лене С. Алгебра. — Мс Мир, 1%3. 3. Мальцев А. 0.

Основы линейной алгебры. — Мл Наука, 1976. 4. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — Мл Наука, 1966. б. Халмош Л. Р. Коиечномерные векторные пространства. — Мс Физматгиз, !963. 6. Архип Э. Геометрическая алгебра — Мл Мир, 1970. 7. Глизман И. М., Любие Ю. И. Коиечиомерный линейный ана;шз. — -Мл Наука, 1969. 3. Воеводин В.

В. Вычислительные основы линейной алгебры. — Мс Наука, !977. Ч а сть 1. ЛИНЕИНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕИНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ й 1. Линейные пространства 1. Векторы с началом в выбранной точке пространства можно умножать на числа и складывать по правилу параллелограмма. Это — классическая модель законов сложения перемещений, скоростей„сил в механике. В общем определении векторного, или линейного, пространства вещественные числа заменяются произвольным полем, а простейшие свойства сложения и умножения векторов постулируются в качестве аксиом.

Никаких следов «трехмерности» физического пространства в определении ие остается. Понятие размерности вводится и изучается отдельно. Из курса аналитической геометрии на плоскости и в трехмерном пространстве известно много примеров геометрической интерпретации алгебраических соотношений между двумя или тремя переменными. Но, по выражению Н, Бурбаки, «...ограничение геометрическим языком, отвечающим пространству только трех измерений, было бы ярмом для современного математика, столь же неудобным, как то, которое мешало грекам распространить понятие числа на отношения несоизмеримых величин...». 2. Определение. Линейным (или векторным) пространством Е над полем Л' называется множество, снабженное бинарной операцией ЕХЬ-эЕ, обычно обозначаемой как сложение: (1ь 1х)» »1~+ 1ь и внешней бинарной операцией Л'Х Е-»Е, обычно обозначаемой как умножение: (а,1)~-»а1, которые удовлетворякп следующим аксиомам: а) Сложение элементов Е, или векторов, превращает Е в ком.

мутативную (абелеву) группу. Ее нулевой элемент обычно обозна чается 0; элемент, обратный к 1, обычно обозначается — 1. б) Умножение векторов на элементы поля Л', или скаляры, унитарно, т. е. 11=1 для всех 1, и ассоциативно, т. е. а(Ы)=(аЬ)! для всех а, Ь ен Л"; 1ен 1.. в) Сложение и умножение связаны законами дистрибутивности, т. е.

а (1, + 1з) = а1, + а(м (а, + а,) 1 = а,1 + ах( для всех а, аь атенХ; 1, 1ь !»~Е. 3. Вот некоторые простейшие следствии определения. а) 01=а0=0 для всех аенЛ', 1енЕ. Действительно, 01+01= =(О+ 0)1= 01, откуда 01 = 0 по свойству сокращения в абелевой группе. Аналогично, аО + аО = а (О+ О) = аО, т. е.

аО = О. б) ( — 1)1= — 1. Действительно, 1+( — '1)1=11+( — 1)1=-(1+ +( — 1))1=01=0, так что вектор ( — 1)1обратен к 1. в) Если а1=0, то либо а =О„либо 1=0. В самом деле, если а чь О, то 0 = а-~(а1)=(а-'а)1= П= 1. г) Для любых аь ..., а„епЛ'; 1ь ..., 1„еп.(. однозначно опрел делено выражение а,1, + ...

+а„1„= )„аД: благодаря ассоциативности сложения в абелевой группе можно не расставлять скобки, указывающие порядок вычисления непарных сумм. Аналогично, однозначно определено выражение а~аз ... а„1. л Выражение вида Х а1 называется линейной комбинацией т-1 векторов 1ь ..., 1„; скаляры а~ — коэффициенты этой линейной комбинации. Следующие примеры линейных пространств будут постоянно встречаться в дальнейшем. 4. Нульмерное пространство.

Это — абелева группа 1. = (0), состоящая из одного нуля. Единственно возможный закон умножения на скаляры: а0= 0 для всех а епЛ' (убедитесь в справедливости аксиом!). Предостережение: нульмерные пространства над разными полями в это резные пространства: задание поля Л" входит в определение линейного пространства. 5. Основное поле Ж как одномерное координатное пространство. Здесь 1. = Л', сложение †э сложение в Л', умножение на скаляры †э умножение в Л'. Справедливость аксиом линейного пространства следует из аксиом поля.

Более общо, если имеется поле К и его подполе Х, то К можно рассматривать как линейное пространство над Л'. Например, поле комплексных чисел С является линейным пространством над полем вещественных чисел 11, которое в свою очередь является линейным пространством над полем рациональных чисел (1. 6.

и-мерное координатное пространство. Положим 1.=Лт"= = Л'Р' ,... Х Л' (декартово произведение п ) 1 множителей). Элементы (. можно записывать в виде строк (аь ..., а„), а~епЛ', или сточбцов высоты п. Определим сложение и умножение на скаляр формулами: (аь ..., а„)+(Ьь ...„Ь„)=(а, +Ь,...., а„+ Ь„), а(аь ..., а„) (ааь ..., аа„). При и= 1 получается предыдущий пример. Одномерные пространства над Л' называют прямымн, нли Л'-прямыми; двумерные— Л'-плоскостями.

7. Пространства функций. Пусть Я вЂ” произвольное множествц г(Я) — множество функций на Я со значениями в Л', или отображений 5 в Л'. Как обычно, если 1: Я-+-Л' — такая функция, то через 1(з) обозначается значение 1 на элементе з яка. Сложение и умножение функций на скаляр определяется поточечно: У+И(з)=)(з)+д1«) для всех з~ Я, (а))(з)=а()(з)) для всех а~ У; з ен 5. Если 5 =(1, ..., и), то Р(5) можно отождествить с Х": функции 1 ставится в соответствие «вектор» всех ее значений (1(1), ..., 1(п)).

Правила сложения н умножения согласованы относительно такого отождествления. Каждому элементу з енЯ можно поставить в соответствие важную «дельта-функцию б„сосредоточенную на (з)», которая апределяется так: 6,(з)= 1, 6.(1)=0, если 1Фз. Если о =(1, ..., а), вместо 6;(е) обычно пишут б㫠— это сижеол 1(ронекера. Если множество Я конечно, то всякую функцию из Р(Я) можно однозначно представить в виде линейной комбинации дельта-функций:1 = 2, )(з)6,.

В самом деле, это равенство следует из совпа- «~8 дения значений левой и правой части в каждой точке за- :5. Наоборот, если ) ~ а,б„ то, беря значение в точке з, получаем «йз 1(з)= а,. Если множество 5 бесконечно, то этот результат неверен, точнее говоря, не может быть сформулирован в рамках наших определений: суммы бесконечного числа векторов в общем линейном пространстве не определены! Некоторые бесконечные суммы можно определить в линейных пространствах, снабженных понятием предельного перехода, или топологией (см. $10).

Такие пространства составляют основной предмет изучения в функциональном анализе. В случае 5 =(1, ..., и) функция 6~ представлена вектором е; =(О, ..., О, 1, О, ..., 0) (единица на 1-м месте, нули на остальных), а равенство 1= ~, 1(з)6, превращается в равенство (ао ..., а„)=- ~ а;е,. 8. Линейные условия н линейные подпростраиства.

В анализе прежде всего рассматриваются вещественнозначные функции, определенные на всем 11 или интервалах (а, Ь)с:. К. Длп большинства приложений, однако, пространство всех таких функций слишком велико: полезно рассматривать непрерывные илн дифференцируемые функции. После введения соответствующих определений обычно доказывается, что сумма непрерывных функций непрерывна и произведение непрерывной функции на скаляр непрерывно; то же для дифференцируемости. Это означает, что только непрерывные или только дифференцируемые функции сами по себе образуют линейное пространство. Более общо, пусть Š— линейное пространство над полем Я.", а М ~ ь — его подмножество, которое является подгруппой я которое переходит в себя при умножении на скаляры.

Тогда М вместе с операциями, индуцированными операциями в Е (другими словами, ограничениями на М операций, опРеделенных в Е), называется линейным подпространством в Е, а условия, определяющие принадлежность к М общего вектора из Е, называются линейными условиями. Вот пример линейных условий в координатном пространстве Я'": фиксируем скаляры а„..., а„еУ и определим МсЕ: в (х!, ..., х„) еп М «=» Е а,х! — — О. Объединение любого числа линейных условий также является линейным условием. Иными словами, пересечение любого числа линейных надпространств также является линейным подпространством (проверьте зто!). Позже мы докажем, что в Л'" любое подпространство описывается конечным числом условий вида (1). Важный пример линейного условия дает следующая конструкция я.

9. Двойственное линейное пространство. Пусть Š— линейное пространство над Х. Рассмотрим сначала линейное пространство г(Е) всех функций на Е со значениями в Х'. Назовем теперь функцию 1ы г(Е) линейной (иногда говорят «линейный функционал»), если она удовлетворяет условиям 1(1! + 1,) = 1(1!) + 1(Ц), 1 (а1) = а1 (1) для всех 1, 1!, 1»~Е, а ен Х".

Индукцией по числу слагаемых отсюда получаем, что » ! п 1Я а!1! ) = ~.''. а![(1!). й*!ы утверждаем, что линейные функции образуют линейное поопространство в Р(Е), или «условие линейности является линейным условием». В самом деле, если 1,1! и 1» линейны, то (6!+ 6) (1!+ 1») = 6! (1!+ 1.)+ Ы!+1) = ! ! (1!) + ! ! (12) + ! 2 (1!) + ! 2 (12) (! ! + !т) (1!) + (!! + 12) (12). (Здесь последовательно используются: правило сложения функций, линейность 1! и 1ъ коммутативность и ассоциативность сложения в поле и опять правило сложения функций.) Аналогично, (а[)(1!+1) а[1(1!+1))=а[1(1!)+1(1»))= а [1 (1!)) + а [1 (1,)) = (а1) (1,) + (а1) (1«).

Таким образом, 1!+ 1! и а[ также линейны. Пространство линейных функций на линейном пространстве Е называется двойственным, или сопрязкенным к Е пространством, и обозначается Е". В дальнейшем мы встретимся со многими другими конструкциями линейных пространств. 10. Замечания относительно обозначений. Обозначать нуль и сложение в гг" и Е одинаковыми значками не вполне последовательно, но очень удобно. Все формулы обычной школьной алгебры, которые осмысленны в этой ситуации, оказываются верными (см. образцы в п.

Характеристики

Список файлов книги