1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Докажите, что кростраиство миогочлеиов Щх! не изоморфио своему диойствеиному. (Указание. Сравните мощности.) й 4. Матрицы !. Цель этого параграфа — ввести язык матриц и установить основные свяаи его с языком линейных пространств и отображений. За дальнейшими подробностями и примерами мы отсылаем читателя к главам 2 и 3 «Введения в алгебру»; в частности, мы будем пользоваться развитой там теорией определителей, не повторяя ее.
Читателю следует самостоятельно убедиться в том, что изложение в этих главах без изменений переносится с поля вещественных чисел на любое поле скаляров; исключения составляют лишь те случаи, где используются такие специфические свойства вещественных чисел, как порядок и непрерывность. 2. Термины. Матриг(ей А размера т Р,' и с элементами из мно жества 5 называется семейство (ам) элементов из 5, пронумерованное упорядоченными парами чисел (1, й), где ! ( ! ( лт, 1 = й ~ и.
Часто пишут А =(агх), ! ( ! ( гл, ! ( й ( п; указание размера может быть опущено. При фиксированном г семейство (ап, ..., ага) называется 1-й строкой матрицы А. При фиксированном л семейство (аы, ..., а «) называется Ьж столбцом матрицы А. Матрица размера ! Х п называется просто строкой, а матрица размера т К !— столбцом. Если т = п, матрица А называется кеадратной (иногда говорят «порядка и» вместо «размера пХ и»). Если А — квадратная матрица порядка п, 5=Я' (поле) и ам =О при !чьК матрица А называется диагональной; иногда ее записывают с(!ац(аы, ..., а,„). Вообще, элементы (аи) называ- ютсЯ элементами главной диагонали.
Элементы ак„+П а, „+,. где й ~ О, образуют диагональ, стоящую выше главной, а элементы ах+к ~., а»+а, х, ..., где й ) ΄— диагональ, стоящую ниже главной. Если 5 =Л' и ам =О при й ( 1, матрица называется верхней треугольной, а если ам= 0 при й= », то низсней треугольной. Диагональная квадратная матрица над Л', у которой все элементы на главной диагонали одинаковы„называется скалярной. Если эти элементы равны единице, матрица называется единичной. Единичная матрица порядка п обозначается Е„или просто Е, если порядок ясен из контекста. Все эти термины обязаны своим происхождением стандартной записи матрицы в ниде таблицы ао ам "° ь»л А — аи ьм ° ° ° ь»л ат»»»т» ° " ашл (4 ') л, где А„В имеет своими элементами ам, » ев Хь, яев ХВ.
Если !»=ч, ма>к»»о очевидным способом определить понятия блочно диагональной, блочной верхней треугольной, блочной нижней треугольной матриц. Этот же пример показывает, что не всегда удобно нумеровать столбцы и строки матрицы числами от 1 до т (или и): часто существен лишь порядок строк и столбцов. 4. Матрица линейного отображения. Пусть Ф и М вЂ” конечно- мерные линейные пространства над йй' с отмеченными базисами (е„..., е„) и (е», ..., е' ) соответственно.
Рассмотрим произвольное линейное отображение Х: У- М и поставим ему в соответствие матрицу А» размера тХп с элементами из поля Ж следующим образом (заметьте, что размеры А» суть размерности Л», М е обратном порядке). Представим векторы Х(еь) в виде линейных комм бинаций: Х (еь) ~ а»ье». Тогда по определению А» (ам). Иными »» словами, коэффициенты этих линейных комбинаций суть последовательные столбцы матрицы Ар Транспонированная к А матрица А' имеет размеры и Р, т, и ее элемент в»-й строке и я-м столбце равен аьь (Иногда используемое обозначение А' = (аь») двусмысленно!) 3.
Замечания. Ббльшая часть матриц, встречающихся в теории линейных пространств над полем Л', имеет своими элементами элементы самого этого поля. Однако бывают и исключения. Например, мы будем иногда рассматривать упорядоченный базис (еь ..., е„) пространства Х., как матрицу размера 1»», и с элементами из этого пространства. Другой пример — блочные л»отри»!ы, элементами которых в свою очередь являются матрицы — блоки исходной. Именно разбиение номеров строк (1, ..., »и) = Х,() (АХ»() ...
Ц Х„ и номеров столбцов (1,- , п) = Х»() ... () Х, на идущие подряд попарно непересекающиеся отрезки определяет разбиение матрицы А на блоки Матрица А~ называется матрицей линейного отображения относительно базисов (или в базисах) (еь), (е,'). В силу предложения п. 3, Ч 3, линейное отображение [ однозначно определяется образами [(е»), и в качестве последних можно взять любое семейство из и векторов пространства М. Поэтому описанное соответствие устанавливает биекиию между множеством Ы(Ж, М) и множеством матриц размера т Х п с элементами из Ж" (или над Ж).
Эта биекция, однако, зависит от выбора базисов (см. п. 8 ниже). Матрица А~ позволяет также описывать линейное отображение [ в терминах его действия на координаты. Если вектор 1 представлен столбцом х = [хь ..., х„[ своих координат в базисе » (еь ..., е„), т. е. (= Я хгзн то [(1) представлен вектором-столб.» ! 1 цом у=[уь ". у ), где п д~ —— Я а ьхм с = 1, ..., т. з-3 Иными словами, у=А~ х — обычное произведение матрицы А~ на -» столбец х.
Когда речь идет о матрице линейного оператора А =(ам). всегда подразумевается, что в кдвух экземплярах» пространства )т' выбирается один и тот же базис. Матрица линейного оператора квадратна. Матрица тождественного оператора единична. Согласно п. 4, % 3, множество Ы()т',М) является в свою оче- редь линейным пространством над й". При отождествлении эле- ментов Ы'(Ф,М) с матрицами эта структура описывается следую- щим образом, 5. Сложение матриц н умножение на скаляр. Пусть А = (ам) В = (Ьм) — две матрицы одинакового размера над полем Л', а ~.)г". Положим А+В=(с,ь), где си,=ан,+Ь,м аА = (ааы). Эти операции определяют на матрицах данного размера структуру линейного пространства.
Легко проверить, что если А = Ан В = А (в одинаковых базисах), то Аг+Ае=А~+к, А ~ — — аАр так что укаэанное соответствие (а оно биективно) является изоморфизмом. В частности, бпп.У()т',М)= дппМ бпп)У, потому что пространство матриц изоморфно Л' " (размер тХн). Композиция линейных отображений описывается в терминах умножения матриц. 6. Умножение матриц.
Произведение матрицы А размера т Х Х и' над полем М' на матрицу В размера п" Х р над полем дх" определено тогда и только тогда, когда и' = и" = п; размер АВ в этом случае равен гпХ р, и по определению л АВ = (с!е), где с!» = ~ аиЬ!м Нетрудно проверить, что (АВ) ' = В"А'. Может случиться, что АВ определена, но ВА не определена (если !пФ р) илн обе матрицы АВ и ВА определены, но имеют разные размеры (если !пФп), или даже определены и име!от оди- наковые размеры (тп = и = р), но не совпадают. Иными словами, умножение матриц не коммутативно. Однако оно ассоциативно: если матрицы АВ и ВС определены, то (АВ) С и А(ВС) опреде- лены и совпадают.
В самом деле, положим А =(аи), В =(Ь!»), С=(сы). Согласованность размеров А с ВС и АВ с С предлага- ется проверить читателю. Если она уже проверена, то мы можем вычислять (В)-й элемент (АВ) С по формуле ~ ', ( ~ ', а,! Ь!д) с,! —— Ц (а!!Ь!») сы, ! ! а (В)-й элемент А(ВС) по формуле ~ ац(~ Ь!»с„,) = ~ а!!(Ь!»сд!). ! !. Так как умножение в Ж ассоциативно, эти элементы совпадают.
Зная уже, что умножение матриц над й' ассоциативно, мы можем убедиться,. что «поблочное умножение» блочных матриц также ассоциативно (см. также упражнение )). Кроме того, произведение матриц линейно по каждому аргу- менту: (аА+ЬВ)С=аАС+ЬВС; А(ЬВ+сС)=ЬАВ+сАС. Важнейшее свойство умножения матриц состоит в том, что оно отвечает композиции линейных отображений. Однако целый ряд других ситуаций в линейной алгебре также удобно описывается умножением матриц: это главная причина упифицирующе!Т роли матричного языка и некоторой самостоятельности л!атричной алгебры внутри линейной алгебры.
Перечислим некоторые из этих ситуаций. 7. Матрица композиции линейных отображений. Пусть Р, й!, е М вЂ” три конечномерных линейных пространства, Р— Л! — » Ы два линейных отображения. Выберем базисы (е!)„(е'„) и (е ) в Р, й!, Ы соответственно и обозначим через Ае, А!, А!е матрицы д, ), )и в этих базисах.
Мы утверждаем, что А!е — А!Ае. В самом деле, пусть А! — — (а;!), Ае=(Ьм) Имеем д (е») ~ Ь!»е'„ 1д(е») = ~~' Ь, ! (е') = сС', Ь!» ~!,а,е = ~ () а,Ь, ) е . Следовательно, Ц, й)-й элемент матрицы А~с равен ) а~Ам т. е. А~е — А~А« Согласно результатам пп. 4 — б множество линейных операторов Ы(Е, В) после выбора базиса в Е можно отождествить с множеством квадратных матриц М,(Л) порядка п=б1тЕ над полем Л'. Имеющиеся в обоих множествах структуры линейных пространств и колец при этом отождествлении согласованы.
Бнекциям, т. е. линейным автоморфизмам (; Л вЂ” У., отвечают обратимые матрицы: если ~ ( — ' = Ыы то А~А ~ — — Е„, так что Л 1= А~ '. Напомним, что матрица А обратима, или невырождена тогда и только тогда, когда бе(А Ф О. 8. а) мействие линейного отображения в коорд натам В обозначениях и. 4 мы можем представлять векторы пространств Ж, М в координатах столбцами и тогда действие оператора ~ записывается на языке матричного умножения формулой нли у=А~х (ср. п.
4). Иногда удобно писать аналогичную формулу в терминах базисов (е), (е~), где она принимает вид ~(еь ..., е„)=Д(е,), ..., ~(е„))=(еь ..., е') Ар При этом формализм матричного умножения требует, чтобы в выражении справа векторы М умножались на скаляры справа, а не слева; это безобидно, мы просто будем считать, что е'а = ае' для любых е'АМ, аеУ. Пользуясь такого рода записями, мы будем иногда нуждаться в проверке ассоциативности или линейности по аргументам «смешанных» произведений матриц, часть которых имеет элементы из Л', а другая часть из Е, например ((е„..., е„)А) В= — (е„..., е„)(АВ) или (е + е'„..., е„+ е„') А = (е,, ..., е„) Л + (еп ..., е„') Л и т.
п. Формализм пп, 4, 5 автоматически переносится на эти слу чаи. То же замечание относится к блочным матрицам. б) Координаты вектора в измененном базисе, Пусть в про странстве В выбраны два базиса (е,) и (е,'.). Любой вектор 1~ ~ можно представить его координатами в этих базисах: 1= — ~, г е = и = ~ х'е'. Покажем, что существует квадратная матрица А поряд- 1 ка и, не зависящая от 1, такая, что х= Ах'. » Действительно, если е'„= ~ а,„е,, то А=(аы): » И л /» л г» Матрица А называется матрицей перехода (от нештрихованного базиса к штрихованному), или от штрихованных координат к нештрихованным. Заметим, что она обратима: обратная матрица есть матрица перехода от штрихованного базиса к иештрихованному.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
