1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Очевидно, Ым ° 1=1 ° 1бс = 1. Кроме того, й(Я=(Ь|)1, когда обе части определены, так что скобки можно опустить; это общее свойство ассоциатнвности теоретико-множественных отображений. Наконец, композиция а1 линейна по каждому из аргументов при фиксированном втором: например, д ° (а1! + Ь1з) = а(д ° 1!)+ + й(к 12) 6. Пусть 1~.Р(1,М) — биективное отображение.
Тогда у него есть теоретико-множественное обратное отображение 1-': М вЂ” Е. Мы утверждаем, что 1 — ' автоматически линейно. Для этого следует проверить, что 1 '(пг, +те)=1 '(т,)+1 '(т!), 1 '(ат,)=а1 '(т,) для всех ть т, еп М; а енЖ. Поскольку 1 биективно, существуют и однозначно определены такие векторы 1!, 1!еи(., что т,=1(1!). Написав формулы 1(1!) + 1(1з) = 1(1! + 1з), а1 (1 ) = 1(а1!), применив к их обеим частям 1 — ' и заменив в результате й на 1 — ' (т!), получим требуемое. Биективные линейные отображения 1: Е- М называются изо- морфизмами. Пространства Л и М называются изоморфными, если между ними существует изоморфизм.
Следующая теорема показывает, что размерность пространства полностью определяет его с точностью до изоморфизма. 7. Теорема. Два конечномерных пространства 1. и М над по- лем Л' изоморфны тогда и только тогда, когда у них одинакова!е размерности. Д о к а з а т ел ь ст в о. Изоморфизм 1; 1.-!-М сохраняет все овойства, формулируемые в терминах линейных комбинаций, В частности, он переводит любой базис 1. в некоторый базис М, так что размерности А и М совпадают.
(Из этого рассуждения следует танисе, что конечномсрное пространство не может быть ивоморфно бесконечномерному.) Наоборот, пусть размерности 1. н М равны и. Выберем базисы (1ь ..., 1„) и (ть ..., т ) в 1. и М соответственно. Формула л П 1~Я а!1,1=- )„а!т! 1-! ! ! определяет линейное отображение 1. в М по предложению п. 3. Оно является биекцией, ибо формула определяет обратное линейное отображение 1-!. 8. Предупреждение. Если даже изоморфизм между двумя линейнымн пространствами 1.,М и существует, он определен однозначно только в двух случаях: а) 1. = М = (О), б) 1.
и М одномерны, а Ж вЂ” поле из двух элементов (попробуйте доказать это!). Во всех остальных случаях имеется много (если Л' бесконечно, то бесконечно много) изоморфизмов. В частности, имеется много изоморфизмов пространства 1. с самим собой. В силу результатов пп. 5 и 6 они образуют группу относительно теоретико- множественной композиции. Эта группа называется полной линейной зруппой пространства 1.. Позже мы сможем описать ее в более явном виде как группу невырожденных квадратных матриц. Иногда бывает, что между двумя линейными пространствами определен некоторый изоморфизм, не зависящий ни от каких произвольных выборов (как выборы базисов в пространствах 1.
и М в доказательстве теоремы п. 7). Такие изоморфизмы мы будем называть каноническими или естественными (точное определение этих терминов можно дать только на категорном языке, о котором см. $ 13). Следует тщательно отличать естественные изоморфизмы от «случайных». Мы приведем два характерных примера, очень важных для понимания этого различия. 9. «Случайный» нзоморфнзм между пространством н двойственным и нему. Пусть 1. — конечномерное пространство с базисом (е!, ..., е„). Обозначим через е!еи 1.' линейный функционал 1 ~е!(1), где е'(1) — !-я координата вектора 1 в базисе (е!) (не путать с !-й степенью; в линейном пространстве она нв определена). Мы утверждаем, что функционалы (е', ..., е") образуют базис в 1.*, так назь!ваемый двойственный к (еь ..., е„) базис.
Равносильное описание (е') такое: е!(е»)=ба, (снмвол Кронекера: 1 при ! =А, О прн ! эь А). В самом деле, всякий линейный функционал 1: Е-+-Л' можно представить в виде линейной комбинации (е'); 1= ), 1(е!)е. ! Действительно, значения левой н правой части совпадают на бй ы ! б т с ~,, у (с. р,1 с ! Ф-1 по определению е', л Кроме того.
(е;) линейно независимы: если ):ье'=О,то для « всех /г, 1 (й (п, имеема»=~Х а,е')(еь)=0. Г! Поэтому Е и Е* имеют одинаковую размерность п и даже определен изоморфизм /: Š— Е*, который переводит е; в ец Однако этот изоморфизм не каноничен: замена базиса (еь ..., е„), вообще говоря, меняет его. Так, если Е. одномерно, то для любого ненулевого вектора е~ ~ Е семейство (е1) является базисом Е,. Пусть (е') — двойственный базис к (е~), е'(е1) = 1. Тогда к базису (ае1), а ы Л'~,(0), двойствен базис (а-'е'), Но линейные отображения /и е1 ~е' и /,: ае~ а-'е' различны, если только ах~ 1.
10. Канонический изоморфизм между пространством и дважды двойственным к нему, Пусть Š— линейное пространство, Е*— пространство линейных функций на нем, Е'"=(Е*)' — пространство линейных функций на Е' — «дважды двойственное к Е пространство». Опишем каноническое отображение егх 1 - Е*", ие зависящее ни от каких произвольных выборов. Оно ставит в соответствие казсдому вектору 1~ Е функцию на Е', значение которой на функционале /еп Е' равно /Я „ .в краткой записи: (/ / (1)). Проверим следующие свойства ес. а) Для каждого 1е= Е. отображение ес(1): Š— ~-Л' линейно.
Действительно, это означает, что вьгражение /(1) как функция от / при фиксированном 1 линейно по /. Но это следует из правил сложения функционалов и умножения их на скаляр (5 1, п. 7). Следовательно, ес действительно определяет отображение в Е*', как и утверждалось. б) Отображение егх Е-+-Е"' линейно. Действительно, это означает, что выражение /(1) как функция от 1 при фиксированном / линейно,— это так, ибо /е= Е*. в) Если Е конечномерно, то отображение етх Š— ~ Е*" является изоморфизмом. В самом деле, пусть (еь ..., е„) — базис Е, (е', ..., е') — двойственный базис Е*, (е|, ..., е') — базис в Е.**, двойственный к (е', ..., е").
Покажем, что ес(е,)=е';, откуда и будет следовать, что ес— изоморфизм (в этой проверке использование базиса Е безобидно, ибо в определении ес он не участвовал!). В самом деле, е,(е;) согласно определению есть функционал на Е", значение которого на еь равно е»(е;)=бм («символ Кронекера»). Но е) — точно такой же функционал на Е* по определению двойственного базиса.
Заметим, что если Е бескопечномерно, то ес. .Š— Е** остается инъективным, но перестает быть сюръективным (см. упражнение 2). В функциональном анализе вместо полного Е* обычно рассмат- ривают только подпространство линейных функционалов Е', непрерывных в подходящей топологии на 1, и Л', и тогда отображе. ние Е-+.Ел может быть определено и иногда оказывается изоморфизмом.
Такие (топологические) пространства называют рефлексивными, Мы доказали, что конечномерные пространства (без учета топологии) рефлексивны. Рассмотрим теперь связь между линейными отображениями и линейными подпространствами. 11. Определение. Пусть 1: 1, -+- М вЂ” линейное отображение. Множество Кег !'=(1«= 1. ~!" (1) = 0) с: 1. называется ядром 1, а множество 1гп 1" = (т«нМ ~ 3!«н1., г(1) = и) с М называется образом 1.
Нетрудно убедиться, что ядро 1 является линейным подпространством в Е, а образ ! — линейным подпространством в М. Проверим, например, второе утверждение. Пусть рпь газ«н !гп1, а «и У. Тогда существуют такие векторы 1ь 1г~ 1., что !'(11)=тпь !'(1г)= =гпь Значит, тп, + т,=)(!о + 1г), атп, =((а(о). Следовательно, тпр + гпг «= !гп ( и атр «= !гп ), Отображение 1 инъектинно тогда и только тогда, когда Кег1= (О). В самом деле, если 1(1р)= !'(1г), 1о Ф 1м то ОФ1о— — 1« ~ Кег 1. Наоборот, если 0 Ф1~ Кегг, то 1(1)=0 =1(0). 12.
Теорема. Пусть Š— конечномерное линейное пространство, 1: 1.— р-М вЂ” линейное отображение. Тогда Кег!" и 1гп! конечномерны и йпп Кег(+ й!щ 1гп)= йпп 1,. Д о к а з а т е л ь с т в о. Ядро 1 конечномерно по следстви|о п. !3, й 2. Выберем базис (еь ..., е ) в Кег1' и продолжим его до базиса (еь ..., е„, ет+ь ..., е +,) пространства Е по теореме и. 12, $ 2. Покажем, что векторы 1(е +о), ..., 1'(е +л) образуют базис в !гп).
Отсюда, очевидно, будет следовать теорема. Любой нектор из !гп! имеет вид р т+л ч т+л (~ ~ а,е,)=,й„а,Д(е,). 8 рл+1 Следовательно, 1(е +о), ..., 1(е +л) порождают !щ1. т+л т+л пр.р . , Е ~рор - о. т р Р ( К ...) - о. р л+1 т+л т+л т Это значит, что 2„а;е,«и Кег), т. е. ) а,е;= Хогег Это 4 =лр+! р-т+р !-р возможно, только если все коэффициенты равны нулю, ибо (еь ... ..., е +л) — базис 1.. Следовательно, векторы 1(е +о), ..., 1(е +л) линейно независимы.
Теорема доказана. 13. Следствие. Следующие свойства !" равносильны (в случае конечномерного Е): а) 1 инъективно. ' б) й!гп 1. = й!гп !гп(. Док азат ел ьство. Согласно теореме, й!гп1 = йпп !щ1 тогда и только тогда, когда йнпКег(=0, т. е. Кег) (0), УПРАЖНЕНИЯ П Пусть й и — К" — отображение, заданное диффереипируемыми функниими, вообще говори, нелинейными и переводящими нуль в нуль: ! (хы ". хт)-("., !г (хь "., хт), ...). )= ), ..., и, й (о.....
о) - 0. Поставим ему в соответствие линейное отображение д!и и -«-)!", называемое дифференциалом ! и точке О, по формуле дуг, г д!1 д)„ (д!з) (ег) ~ — (О) ег — — ~ — ' (О), ...,—" (0)), д . (,дх ' ""' дх г ГДЕ (Е)), (ЕГ) — СтаиДЗРтнЫЕ баЗИСЫ Ин Н И". ПОКаватЬ, Чта ЕСЛИ ПРОИЗВЕСТИ замену базисов в пространствах кн и И" и вычислить д!ч по тем же формулам в других базисах, то новое линейное отображение д!с совпадает со старым. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
