1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Действительно, будем вставлять в-нсходный флаг промежуточные подпространства, пока это возможно. Этот процесс не может продолжаться до бесконечности, ибо конструкция систем векторов (е,, ..., е;). е;еи Е; ~Е; ь по любому флагу дает линейно независимые системы (см. начало доказательства теоремы п. 16), н потому длина флага не может превзойти д!тА. 17. Основной принцип работы с бесконечномерными пространствами: лемма Цорна, или трансфинитная индукция. Большинство теорем конечномерной линейной алгебры нетрудно доказать, опираясь на существование конечных базисов и теорему п.
!2 о продолжении базисов: много примеров тому читатель увидит в дальнейшем. Но привычка к базисам затрудняет переход к функциональному анализу. Мы опишем сейчас теоретико-множественный принцип, который в очень многих случаях заменяет апелляцию к базисам. Напомним (см. «Введение в алгебру», гл. 1, $ 6), что частично упорядоченным множеством называется множество Х вместе с бинарным отношением порядка ( на Х, которое рефлексивно (х(х), трапзнтивно (если х ( у, у ( г, то х ( г) н антисимметрнчно (если х ( у и у < х, то х = у) .
Вполне может оказаться, что пара элементов .т, у е— : Х не находится ни в отношении х < у, ни в отношении у ( х. Если жс для любой пары либо х(у, либо у ( х, то множество называется линейно упорядоченным, или цепью. Верхняя грань подмножества У в частично упорядоченном множестве Х вЂ” это любой элемент х е— : Х такой, что у ( х для всех у ~ У. Верхняя грань подмножества может н не существовать: если Х= К с обычным отношением (, а У = «, (целые числа), то верхней грани у У нет. Наибольшим элементом частично упорядоченного множества Х называется элемент и еи Х такой, что х < п для всех хеи Х, а максимальным — элемент теи Х, для которого из т ~ к ~ Х следует х = т.
Наибольший элемент всегда максимален, но не наоборот. 18. Пример. Типичный пример упорядоченного множества Х— это множество всех подмножеств У(5) множества 5 нлн некоторая его часть, упорядоченное отношением с:-'. Если 5 имеет больше двух элементов, то У(5) частично упорядочено, но не линейно упорядочено (почему?). Элемент 5 ~ У(5) максимальный, и даже наибольший в У(5). 19. Лемма Цорна. Пусть Х вЂ” непустое частично упорядоченное множество, любая цепь в котором обладает верхней гранью в Х. Тогда любая цепь обладает такой верхней гранью, которая является в то же время максимальным элементом в Х.
Лемму Цорна можно выводить нз других, более приемлемых интуитивно аксиом теории множеств, но логически она эквивалентна так называемой «аксиоме выбора», если остальные аксиомы приняты. Поэтому удобно причислять ее к числу основных аксиом, что часто и делается.
20. Пример применения леммы Цорна: существование базиса в бесконечномериых линейных пространствах. Пусть 1 — линейное пространство над полем Л'. Обозначим через Х с У(1) множество линейно независимых подмножеств векторов в ь, упорядоченное отношением ы Иными сдовами, У~ Х, если любая конечная линейная комбинации векторов из У, равная нулю, имеет нулевые коэффициенты, Проверим условие леммы Цорна: если 5 — некоторая цепь в Х, то унееесть верхняя граньвХ. Действительно, положим Х= () У. умз Ясно, что У:-' Х для всякого Уев 5; кроме того, Х образует линейно независимое множество векторов, потому что любое конечное множество векторов (уь ..., у„) из Х содержится в некотором элементе У еи 5. В самом деле, пусть у; ев У~ ев 5; так как 5 — цепь, из каждых двух элементов Уь У; а=5 один является подмножеством другого; выкидывая по очереди меньшие множества из таких пар, мы получим, что среди У, есть наибольшее множество; в нем и содергкатся все уь ..., у„, которые, таким образом, линейно независимы.
Применим теперь заключение леммы Цорна. Здесь достаточна только часть его: существование в Х максимального элемента. Согласно определению, это такое линейно независимое множество векторов Уе= Х, что если добавить к нему любой вектор 1еи 1., то множество У() (1) уже не будет линейно независимым. Точно такое 20 же рассуждение, как цри доказательстве утверждения б) леммы п. 9, показывает тогда, что 1 есть (конечная) линейная комбинация элементов У, т. е.
У образует базис в Е. УПРЛЖНЕНИЯ 1. Пусть Š— пространство многочленов от х степени (и — 1 с коэффициентами в поле Л'. Проверить следующие утверждения: а) 1, х, ..., х"-' обраауют базис в 1.. Координаты многочлеиа 1 в этом базисе — зто его коэффициенты. б) 1, х — а, (х — а)з, ..., (х — а)"-' образуют базис в Е. Если сЬагв(х = р ) н, то коордииаты миогочлеиа 1 в этом базисе: ) 1(а), 1'(а), 1« (а) 21 11~ — и(а) ~ (и — 1)1 ) ' в) Пусть аь ..., а ыХ вЂ” попарно различные элементы.
Положим рл(х) П (х — а)) (аг — а)) Многочлеиы 2,(х), ..., 2,(х) образуют базис Е 1««Г («иитерполяционный базиса). Координаты многочлеиа 1 в этом базисе: (1(а ),..., П .Н. 2. Пусть 1. — и-мерное пространство, 1: Е- Л' — ненулевой линейный функционал. Доказать, что М = (1 гн Е)1(0 = О) является (л — 1)-мерным яодпростраиством в Е. Доказать, что все (л — 1)-мерные надпространства получаются таким способом. 3.
Пусть Š— л-мерное пространство, й( ~ Š— гп-мериое подпростраиство. Доказать, что существуют линейные функционалы )ь ..., 1 ~вЕ' такие, что = (1!1~(0-... = 1..(0= О). 4. Вычислить размеряости следующих пространств: а) пространства многочлеиов степени (р от и переменных; б) цростраиства однородных м~югочлеиов (форм) степени р от и переменных; в) пространства функций из г(3), )5) ( сс, обращающихся в нуль во всех точках из подмножества 5«<=3. 5. Пусть Л' — конечное поле характеристики р. Доказать, что число его элементов равно р" для некоторого л и 1.
(Указание. Рассмотреть Х ьак линейное пространство над простым подполем, состоящим из всех «сумм единица в Зу', О, 1, 1 + 1, ...] 6. Замеиой понятия флага в бесконечномериом случае служит понятие цепи подпространсгв (упорядоченных по включению). Пользуясь леммой Цориа, доказать, что всякая цепь содержится в максимальной. 5 3. Линейные отображения 1. Определение. Пусть Е, М вЂ” линейные пространства над полем Л'. Отображение 1: Š— М называется линейньгм, если для всех 1, 1н 1зеиЕ, а еЛ' имеем т (и() = И)* И + 1и) = Н ) + т (1 )- Линейное отображение является гомоморфизмом аддитивных групп.
В самом деле, )'(О) = 01 (О) = — 0 и 1'( — 1) =1(( — 1) 1) = = — 1(1). Индукция по и показывает, что для любых и; еВ.Ус, )ге= 1, имеем 1 2 аг)г~= Д, аг)(1,). 'г! х г 1 Линейные отображения 1: Е-ь. Е называются также линейньгми операторами нв Е. 21 2.
Примеры. а) Нулевое линейное отображение (; й — !- М, ((!) = 0 для всех !е=- Д Тождественное линейное отображение: (: Т вЂ” С, 1(!)=! длн всех (ыА. Опо обозначаетсЯ Ыс или Ы (от английского слова «ЫепИ1у»). Умножение на скаляр а еиЛ', или гомотетия (: Е- Т., !(!)= а! для всех (~й. При а =0 получается нулевой оператор, при а = 1 — тождественный.
б) Линейные отображения (; Е-+.Ж вЂ” это линейные функции, или функционалы, на Е (см. $1, и. 9). Пусть Š— пространство с базисом (е!, ..., е,). Для любого 1 ( ! (п отображение е'. й — Л; где е!(!) — !-я координата ! в базисе (е!, ..., е„), является линейным функционалом. в) Пусть Е=(хеи К~х) 0) наделено структурой линейного пространства над (г, описанной в $1, пример а) п. 10, М = й'. Отображение 1ои: А-+-М, х !одах, !«-линейно. г) Пусть 5г: Т вЂ” два множества. Отображение г(Т) — +Р(5), которое всякой функции на Т ставит в соответствие ее ограничение на 5, линейно. В частности, если 5 = (з), зя Т, ! ее(Т), то отображение: !»(значение ( в точке з) линейно.
Конструкция линейных отображений с нужными свойствами часто основывается на следующем результате. 3. Предложение. Пусть !'., М вЂ” линейные пространства над полем ч'; (!ь ..., ! )с:й и (т!, ..., т„)с:М вЂ” два семейства векторов с одинаковым числом элементов. Тогда: а) если линейная оболочка (!!, °, 1,) совпадает с (., то существует не болыие одного линейного отображения (: (.-+-М, для которого ((й)=т; при всех г; б) если (!!, ..., 1„) к тому же линейно независимь!, т.
е. образуют базис 1, то такое отобразсение существует. Доказательство. Пусть (, Т' — пара отображений с ((й)= =Т'(!!)= т! для всех !'. Рассмотрим отображение д=( — !"', где () — )') (!) = ((!) — )'(!). Легко проверить, что оно линейно, Кроме того, оно переводит в нуль все й и потому любую линейную комбинацию векторов !!. Значит, ( и Т' совпадают на каждом векторе из!., откуда Т'=(. Пусть теперь ((ь ..., („) образует базис Т.. Так как ка!кдый л элемент l однозначно представляется в виде ~ а!!!, мы можем ! ! определить теоретико-множественное отображение (: г.— !-М формулой Т л !» Т ~ ~ а!(!) = ~„а!т!. 1=1 !-! Его линейность проверяется непосредственно. В этом доказательстве использовалась разность двух линейных отображений Е- М.
Это частный случай следующей более обшей конструкции. 4. Обозначим через х(Т., М) множество линейных отображений из С в М. Для (,уз=2'((.,М) н аеиЛ' определим а( и (+д формулами (а1)(1)=а(1 11)) (1+ к)(1)==1(1) + д(1) для всех 1еп1.. Точно так же, как в ф 1, п. А проверяется, что а1 и 1+ у линейны, так что Ы(А, М) — линейное пространство. 5. Пусть 1ев Ы(Е, М) и д ~ Ы(М,1т). Теоретико-множественная номпозиция у ° 1=у1: Е- й1 является линейным отображением. Действительно, (в1) (1! + 1з) = й (1 (1! + 1г)1 = й (1 (1!) + 1 (1г)) = в (1 (1!)) + й' (1 (1з)1 = =И(1 )+ а1(1.) и, аналогично, (д1) (а1) = а(дД1)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
