1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Теорема. В конечномерном пространстве число элементов базиса нс зависит от базиса. Это число называется размерностью пространства с и обозначается дпп е. или д)шаг Е. Если д)гп с. =' и, пространство Т. называется и-мерным. В бесконечномерном случае мы пишем с1пи В = оо.

Доказательство. Пусть (е„..., ел) — некоторый базис ~ Мы докаакем, что никакое семейство векторов (е(, ..., е' ) с еи ) и не может служить базисом А по следующей причине: существует представление нулевого вектора 0 =- ) х,е'„в котором не все х! ! ! равны нулю. Поэтому 0 не однозначно представляется в виде линейной комбинации векторов (е!): всегда существует тривиальное представление 0 = ~ Ое!. ! ! Отс!ода уже следует полное утверждение теоремы, поскольку этим мы проьернм, что никакой базис не может содержать больше элементов, чем другой базис.

Положим е' = ~~!„а! е„й = 1, ..., л!. Для любых ха~ Х' имеем ! ! Поскольку (е!) образуют базис в А, нулевой вектор имеет единственное представление ~! Ое„в виде линейной комбинации (еа). й=! !!! Поэтому условие ~ кае'„=Оравноснльно системе однородных линейных уравнений относительно ха! амхь=О, 1=1, ..., и.

! Поснольку число неизвестных и! больше числа уравнений п, эта система имеет ненулевое решение. Теорема доказана. 5. Замечания. а) Можно было бы рассматривать произвольные семейства векторов и называть такое семейство базисом, если любой вектор пространства однозначно представляется в виде конечной линейной комбинации элементов семейства. В этом смысле любое линейное пространство имеет базис, и у бесконечномерного пространства базис всегда бесконечен. Однако это понятие не слишком полезно. Как правило, бесконечномерные пространства снабжаются топологией, н определение базиса видоизменяется с учетом этой топологии и возможности определять некоторые бесконечные линейные комбинации.

б) В общих линейных пространствах базисные векторы по традиции нумеруются целыми числами от 1 до и (иногда от 0 до и), но это совершенно не обязательно. Базис (б,) в Р(5) естественно нумеруется элементами множества а~Я. Можно также считать базис Е просто под!!ножестеом в 1., элементы которого не снабжены никакими индексами (ср.

п, 20). Нумерация, или, скорее, порядок элементов базиса, существенны при использовании матричного формализма (см. $ 4). В других вопросах может оказаться важной другая структура на множестве индексов базиса. Например, если 5 — конечная группа, то важно, нак индексы а базн- са (б,) перемножаются внутри 5, а случайная нумерация 5 целыми числами может только загромоздить обозначения. б. Примеры. а) Я" имеет размерность и. б) Р(5) имеет размерность и, равную числу элементов 5, если 5 конечно. Позже мы научимся вычислять размерности линейных пространств, не строя их базисов. Это очень важно, потому что многие числовые инварианты в математике определяются как размерности («числа Бетти» в топологии, индексы операторов в теории дифференциальных уравнений); базисы же соответствующих пространств могут оказаться трудно вычислимыми или не имеющими особого смысла.

Но пока мы еще должны поработать с базисами. Проверка того, что данное семейство векторов (еь ..., е,) в А образует базис, в соответствии с определением состоит из двух частей. Их отдельное рассмотрение приводит к следующим понятиям. 7. Определение. Линейной оболочкой семейства векторов называется множество их всевозможных линейных комбинаций в 1.. Легко проверить, что линейная оболочка является линейным подпростраиством в Т. (см. $ ), п. 8). Линейную оболочку Л'е, + + Л'ег + ... также называют подпространством, натянутым на векторы (е) илн порожденным векторами семейства (е;).

Ее можно определить еще как пересечение всех линейных подпространств в г., содержащих все е~ (докажите!). Рангом семейства векторов называется размерность его линейной оболочки. Первое характеристическое свойство базиса: его линейная оболочка совпадает со всем й. 8. Определение. Семейство векторов (е;» называется линейно незивисимым, если никакая нетривиальная линейная комбинация » (е;) не равна нулю, т. е. если иэ Ха,е~=б следует, что все 1-1 а~=О. В противном случае оно называется линейно зависимьсм, Линейная независимость семейства (е;) означает, что нулевой вектор однозначно представляется в виде линейной комбинации элементов семейства. Тогда любой другой вектор имеет либо единственное представление, либо нн одного.

Действительно, сравнивая два представления » л л 1 =,) ае, = ~'', а,'еи находим О = ~ (а, — а',) е„откуда а, = ае Отсюда следует второе характеристическое свойство базиса; его элементы линейно независимы. Объединение этих двух свойств равносильно первоначальному определению базиса. Заметим е|це, что семейство векторов линейно независимо тогда и только тогда, когда оно образует базис своей линейной оболочки. Семейство (еь ..., е») заведомо линейно зависимо, если среди векторов е, есть нулевой или два одинаковых (почему?). Более общо: 9.

Лемма. а) Семейство векторов (еь ..., е„) линейно зависимо тогда и только тогда, когда «отя бы один из векторов е> является линейной комбинацией остальных. б) Если семейство (еь ..., е„) линейно независимо, а семейство (еь ..., е„, е,,+Д линейно зависимо, то е +1 является линейной комбинацией еь "«е. доказательство. а) Если ) а,е,==О и аг чь О, то е~=- л = Х ( — а~ 'а~) ео Наоборот, если е~ =- ~ Ь;еь то е~ — ~ Ь,е; =О. г 1 ~Ф! Ф ~Ь ~ 1Ф/ л+~ б) Если ~ а,е,=О и не все а~ равны нулю, то обязательно ( ! аым чьО, иначе мы получили бы нетривиальную линейную завиь симость между еь ..„е„.

Поэтому е„+,— — ~,( — а„+,а,)е, Лемма доказана. Пусть Е =(еь ..., е„) — некоторое конечное семейство векторов в Г., Р = (е;„ ..., е~„,) — его линейно независимое подсемейство. Назовем Р максимальным, если каждый элемент нз Е линейно выражается через элементы из Р. 1О. Предложение. Каждое линейно независимое подсемейство Е'с: Е содержится в некотором максимальном линейно независимом подсемействе Р с: Е.

Линейные оболочки Р и Е совпадают. Доказательство. Если в Е' Е' есть вектор, не представимый в виде линейной комбинации элементов Е', добавим его к Е'. В силу утверждения б) леммы п. 9 полученное семейство Е" будет линейно независимым. Применим то же рассуждение к Е" н т. д.

Поскольку Е конечно, этот процесс оборвется на максимальном семействе Р. Любой элемент линейной оболочки Е, очевидно, линейно выражается через векторы семейства Р. В случае Е'=Я в качестве Е" нужно выбрать ненулевой вектор из Е, если он есть; иначе Р пусто. 11. Замечание. Этот результат верен и для бесконечных семейств Е. Для его доказательства следует применить трансфииитную индукцию нли лемму Цорна: см. пп. 18 — 20.

Максимальное подсемейство не обязательно единственно: рассмотрим Е=((1,0), (О, 1), (1, 1)), Е'=((1,0)) в кз. Тогда Е' содержится в двух максимальных независимых подсемействах ((1,0), (О, 1)) и ((1,0), (1, 1)). Однако число элементов максимального подсемейства определено однозначно; оно совпадает с размерностью линейной оболочки Е и называется рангом семейства Е. Часто бывает полезна следующая теорема. 12. Теорема о продолжении базиса.

Пусть Е' (еь ..., е„,) линейно независимое семейство векторов в конечномерном пространстве Е, Тогда существует базис Е, содержащий Е'; Доказательство. Выберем какой-нибудь базис (ем+и ... ..., е„) в Е н положим Е =(еь ..., е, е +ь ..., е„). Обозначим через Г максимальное линейно независимое подсемейство Е, содержащее Е'. Оно является искомым базисом. В самом деле, нужно только проверить, что линейная оболочка г совпадает с Е. Но она равна линейной оболочке Е по предложению п. 1О, а последняя равна Ь, потому что в Е содержится базис пространства Е. 13.

Следствие (монотонность размерности). Пусть М вЂ” линейное подпространство в Е. Тогда йп>М ~ йщ У., и если Е конечно- мерно, то ив йгпМ = йгп Е следует, что М = Т.. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если М бесконечномерно, то С также бесконечномерно. Действительно, покажем сначала„ что в М можно найти сколь угодно большие независимые семейства векторов. Если семейство из и линейно независимых векторов (е„ ..., е„) уже найдено, то его линейная оболочка М'с М не может совпадать с М вЂ” иначе М было бы и-мерно. Поэтому в М есть вектор е„+ь линейно не выражающийся через (еь ..., е„), н утверждение б) леммы п.

9 показывает, что семейство (еь ..., е„, е„+,) линейно независимо. Теперь предположим„что М бесконечномерно, а Е и-мерно. Тогда любые и+ 1 линейных комбинаций элементов базиса С линейно зависимы по рассуждению в доказательстве теоремы п. 4, что противоречит бесконечномерностн М. Остается разобрать случай, когда М и Л конечномерны, Но тогда любой базис М по теореме п. 12 можно продолжить до базиса Е, откуда и следует, что йтМ ( йгпЕ. Наконец, если дппМ = дпп Е, то любой базис М должен быть базисом Š— иначе его продолжение до базиса состояло бы нз ~ дпп 1. элементов, что невозможно. 14.

Базисы н флаги. Одни из стандартных способов изучения множеств 5 с алгебраическими структурами состоит в выделении в ннх последовательности подмножеств 5« с 5~ с: 5» с: ... или 5«~5,:>5,~ ... так, что переход от одного подмножества к следующему устроен в каком-то смысле просто. Общее название таких последовательностей — д>ильтраиии (возрастающая и убывающая соответственно). В теории линейных пространств строго возрастающая последовательность подпространств Еь с Е> с ...

с 1.„ пространства ! называется флагом. (Мотивировка названия; флаг (точка О) с(прямая) с(плоскость) — это «гвоздь», «древко» н «полотнищем) Число и назовем длиной флага Ль с Е~ с ... с Т.„. Флаг Еьс Е~ с ... сй„с ... назовем максимальным, если Еь= (О), () Е,=1 и между Аь т.;+> (для всех 1) нельзя вставить подпространство: если Т«с М с Е;+ь то либо 1.; = М, либо М=Е>м По всякому базису (е,, е„) пространства А можно построить флаг длины и, положив Еь=(0), Е,— линейная оболочка (еь ..., е,) (при 1~ 1).

Из доказательства следующей теоремы 18 будет видно, что этот флаг максимален и что наша конструкция дает все максимальные флаги. 1б. Теорема. Размерность пространства г'. равна длине любого его максимального флага. Доказательство. Пусть Ть»!1с:ьг» ...— максималь. ный флаг в г.. Для каждого 1) 1 выберем вектор г~еп !.М~ ~ и покажем, что (гь ..., еД образуют базис пространства йь Прежде всего, линейная оболочка семейства (еь ..., е; ~) содержится в Е; ь а е~ не лежит в Т., ь откуда индукцией по ! (с .учетом е1 ФО) следует, что (е„..., е,) линейно независимы для всех й Теперь индукцией по ~ покажем, что (еь ..., е;) порождают 1.ь Пусть это верно для ! — 1, и пусть М вЂ” линейная оболочка семейства (еь ..., е;).

Тогда Е,, с: М по индуктивному предположению и Тл ~ ФМ из-за того, что е;~ Е; 1. По определению максимальности флага отсюда следует, что М = С;. Теперь нетрудно завершить доказательство теоремы. Если Т.ь» Ь1» ... » Т.,=г'.— конечный максимальный флаг в А, то векторы (еь ..., е„). е; еи Е~~Х, ь по доказанному образуют базис в т'., так что и = д|гпг.. Если в ь' есть бесконечный максимальный флаг, то эта конструкция дает сколь угодно большие линейно независимые семейства векторов в г., так что ! бесконечно- мерно. 16. Дополнение. В конечномерном пространстве ь любой флаг можно дополнить до максимального, н поэтому его длина всегда ( д!т !.

Характеристики

Список файлов книги