1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Функционал 1 на М, заданный значениями 1(е!), ..., 1(н,), продолжается на Е, например, если положить ((еч,е«) = ... — — !(е ) = О. Наконец, построенное отображение Е*/Мх — » М* инъективно. В самом деле, у него нулевое ядро: если ограничение Г на М равно нулю, то 1'ен Мх н !". + М> = Мх — нулевой элемент из Е"/Мь. б) йт М+ (((и> Мх = г)>гп Е. Действительно, это следует из предыдущего утверждения, следствия п.
6 $ 6 и того, что йгпЕ" = = йгп Е, дпп М' = Йп> М. в) При каноническом отозсдествлении Е'* с Е пространство (Мх) -' совпадает с М. Действительно, так как (т',т)= О для всех т* и данного тенМ, ясно, что Мс:(Мх)"-. Но, кроме того, по предыдущему свойству„примененному дважды, йгп (М")х = йш Š— дпп Мь = йгп М. Значит, М =(Мь) ". г) (М, + М,) ь = Мг! Й М.,'; (М, Й М,) х — М,'- + Млз. Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнений. УПРАЖНЕНИЯ 1.
Пусть с линейным отображением у: 1.— «-М конечномерных пространств связана цепочка отображений, построенных в п. 8 4 б. Построить канонические изоморфнзмы Кегу*-»Сойегу, Со«гп у'-» 1гп у, 1ш у'-» Со!гп у, Со(гагу'-»Кету. 2. Вывести отсюда «третью теорему б«редгольма»: для того чтобы уравнение у(х) = у было разрешимо (по х при данном у), необходимо и достаточно, чтобы у был ортоганален к ядру сопряженного отображения у««М« -» Е«. Е а 3. Последовательность линейных пространств н отображений Š— » М вЂ” «>У называется точной в члене М, если 1гп1 = Кегу. Проверить следующие утверждения: а) Последовательностьо — «Е — «. М точна в члене Е тогда и только тогда, когда ( — иньек«гия.
и б) Последовательность М вЂ” «.А( — «.О точна в члене А> тогда и тольке тогда, когда у — сюрьекции. Т и в) Последовательность конечномерных пространств Π— » Š— » М вЂ” » †» Аà †» О точна (во всех членах) тогда и только тогда, когда точна двойи , а' ственная последовательность Π†« А«' †» М' †« Е' †«. О. 4. Мы знаем, что если отображение й Е - М в некоторых базисах представлено матрицей А, то отображение !« в двойственных базисах представлено матрицей А'.
Вывести отсюда, что ранг матрицы совпадает с рангом транспонировакной матрицы, т.е. что максимальные числа линейно независимых строк н столбцов матрицы совпадают. 5 8. Структура линейного отображения 1. В этом параграфе мы начнем изучать следующую задачу: возможно яснее геометрически представить себе устройство линейного отображения 1: Š— М.
Ответ совсем прост, когда Е и М никак не связаны друг с другом: он дается теоремой из п. 2 этого параграфа. Гораздо интереснее и многообразнее получается картина, когда М = 1. (этот и следующий параграфы) и М = Е' (следующая часть). На матричном языке речь идет о приведении матрицы 1 к возможно более простой форме с помощью подходящего, специально приспособленного к структуре Е базиса.
В первом случае базисы в Е и М можно выбирать независимо, во втором речь идет об одном базисе в Е или о базисе в Е и двойственном к нему базисе Е": меньшая свобода выбора приводит к большему разнообразию ответов. На языке й 5 нашу задачу можно переформулировать следующим образом. Построим внешнюю прямую сумму пространств ЕЮ М и поставим в соответствие отображению 1 его график Гб множество всех векторов вида (1,1(1))еи ЕЮ М.
Легко убедиться, что Г~ есть линейное подпространство в ЕЮ М. Нас интересуют инварианты расположения Г~ в ЕЮ М. Для случая, когда базисы в Е и М можно выбирать независимо, ответ дается следующей теоремой. 2. Теорема. Пусть 1: Е- М вЂ” линейное отображение конечномернык пространств. Справедливы следующие утверждения; а) Существуют такие прямые разложения Е =ЕьЮЕь М = = М, Ю Мм что Кег1" = Еь и 1 индуцирует изоморфизм Е~ с Мь б) Существуют такие базисы в Е и М, что матрица 1 в этих базисах имеет вид (ан), где аи = 1 для 1 ( 1( г и аи = 0 для остальных Е 1. в) Пусть А — некоторая матрица размера т л( и. Тогда существуют такие невырожденные квадратные матрицы В и С размеров тХт и пХп и такое число г (т(п(гп,п), что матрица ВАС имеет вид, описанный в предыдуи(ем пункте.
Число г определено однозначно и равно рангу А. Доказательство. а) Положим Е„=КегЕ а в качестве Е, выберем прямое дополнение к Егс это возможно в силу и, 1О $ б. Затем положим М~ =1т 1, а в качестве М, выберем прямое дополнение к Мь Нужно лишь проверить, что 1 определяет изоморфизм Е~ с Мь Отображение 1: Е~- М, инъективно, потому что ядро 1, т.
е. Еь, пересекается с Е~ лишь по нулю. Оно сюръективно, потому что если 1 = 1ь+ й ~ Е, 1ь е Еы 1, ен Еь то 1(1) = ~(1)) . б) Положим г =- сИтЕ, = б!тМ, и выберем в Е базис (е„..., е„е,+о ..., е„), где первые г векторов образуют базис Еь а следующие — базис Еь. Далее, векторы е,'=1(е,), 1(1(г, образуют базис в М~ =1тЕ Дополним его до базиса М векторами (е',+„..., е'). Очевидно, 1(е„..., е,; е,+„..., е„) =(е'„..., е,'; О, ..., О) = так что матрица 1 в этих базисах имеет требуемый вид. в) Построим по матрине А линейное отображение ! координатных пространств Л""- Я'™ с этой матрицей, затем применим к нему утверждение б) В новых базисах матрица 1 будет иметь требуемый вид и выражаться через А в виде ВАС, где В, С вЂ” матрицы перехода: см.
п. 8 $ 4. Наконец, гкА=гкВАС=гк!'= = Йш!гп 1. Это завершает доказательство. Теперь перейдем к изучению линейных операторов. Начнем с введения простейшего класса: диагонализируемых операторов. Назовем в общем случае подпространство Еьс:1 инвариантным относительно оператора Е если 1(Ео) ~ Еь. 3. Определение. Линейный оператор 1: Е«Е называется диагонализируемым, если выполнено любое из двух равносильных условий: а) Е разлагается в прямую сумму одномерных инвариантных надпространств; б) существует базис Е, в котором матрица оператора ! диагональна. Равносильность этих условий проверяется без труда. Если в базисе (е;) матрица оператора 1 диагональна, то 1(е;) = Цеь так что одномерные подпростраиства, натянутые на еь инвариантны и Е разлагается в их прямую сумму. Наоборот, если Е = ® Е~ — такое разложение и е, — любой ненулевой вектор из Еь то (е;) образуют базис в Е.
Диагонализируемые операторы образуют простейший и во многих отношениях самый важный класс. Например, над полем комплексных чисел, как мы убедимся, любой оператор можно делать диагональным, как угодно мало изменив его матрицу, так что оператор «в общем положении» диагонализируем. Чтобы понять, что может помешать оператору быть диагонализируемым, введем два определения и докажем одну теорему. 4. Определение. 1) Одномерное подпространство !.1 ~ !.
называется собственным для оператора 1, если оно инвариантно, т. е. ~(Е|)с Еь Если Е1 — такое подпространство, то !" действует на нем как умножение на скаляр Хе= Х, Этот скал р называется собственным значением оператора ! (на Е1). б) Вектор 1~ Е называется собственным для 1, если линейная оболочка Л'1 является собственным подпространством. Иными словами, 1Ф О и 1(1) = )1 для подходящего Х ~ зс". Согласно определению п 3, диагонализируемые операторы ! допускают разложение Е в прямую сумму своих собственных подпрострапств. Выясним, когда у 1 имеется хотя бы одно собственное подпространство.
5. Определение. т!усть Š— конечномерное линейное пространство, 1; Е-« Š†линейн оператор, А — его матрица в каком-нибудь базисе. Обозначим через Р(1) и назовем характеристическим много«ленам оператора 1, а также матрицы А, многочлен де((1Š— А) с коэффициентами в поле Ь" (де1 — определитель), 66 6. Теорема. а) Характеристический многочлен линейного оператора 1 не зависит от выбора базиса, в котором представлена его матрица.
б) Любое собственное значение оператора является корнем РЯ и любой корень РЯ, лежаи1ий в Л", является собственным значением для 1, отвечаюи1им некоторому (не обязательно единственному) собственному подпространству в 1.. Доказательство. а) Согласно п. 8 9 4 матрица оператора 1 в другом базисе имеет внд  — 'АВ. Поэтому, пользуясь мультипликатнвностью определителя, находим бе((1Š— В 'АВ) = 1(е1(В Ц(1Š— Л) В) = = (бе( В) ' бс( (РŠ— Л) де( В = де( (1Š— А). Заметим, что Р(1)=1ь — Тгг.1"-'+ ... +( — 1)" де(1 (обозначения из п.
9 5 4). б) Пусть ).еи."ял — корень РЯ. Тогда отображение ), Ы вЂ” 1 представлено вырожденной матрицей и, значит, имеет нетривиальное ядро. Пусть 1чьΠ— элемент из ядра; тогда )(1) = И, так что ) есть собственное значение для 1, а 1 — соответствующий собственный вектор. Наоборот, если 1(1)= И, то 1 лежит в ядре ), Ы вЂ” 1, так что бе((л. Ы вЂ” 1) = Р(к) = О. 7. Теперь мы видим, что оператор 1 вообще не имеет собственных значений и тем более не диагонализируем, если его характеристический многочлен РЯ не имеет корней в поле и". Это вполне может случиться над алгебраически не замкнутыми полями тата Ы кими, как и и конечные поля. Например, пусть Л= ~ ) — мат=~с И,) рица с вещественными элсментамп.
Тогда бс( (1Š— А) = Р— (а + д) 1+ (ад — бс)„ и если (а + д) ~ — 4(ад — бс) = (а — с1) з + 4Ьс ( О, то А недиагонализируема. Таким образом, мы впервые столкнулись здесь со случаем, когда свойства линейных отображений существенно зависят от свойств поля. Чтобы не принимать последние во внимание как можно дольше„ в следующем параграфе до п. 9 мы будем предполагать, что поле Л' является алгебраическн замкнутым. Читатель, не знакомый с другими алгебранчески замкнутыми полями, кроме С, можег всюду считать, что и" = С. Алгебраическая замкнутость Ус равносильна любому из двух условий: а) любой многочлен от одной переменной Р(1) с коэффициентами в й имеет корень ), еп,йл: б) люл бой такой многочлен Р(1) может быть представлен в виде ап(1— ! 1 — Л~)"ц где а, )чаи,л'; Х,Ф)ч прн 1~ 1; это представление однозначно, если РЯФ О.
В этом случае число и называется кратностью корня лч многочлена Р(1). й(ножество всех корней характе- ристпческого многочлена называется спектром оператора 1. Если все кратности равны 1, говорят, что 1" имеет простой спектр. Если поле Х алгебранчески замкнуто, то согласно теореме п. б любой линейный оператор 1: Е-э-(. имеет собственное подпростран- ство. Однако он все равно может оказаться недиагоиализируемым, ибо сумма всех собственных подпространств может оказаться меньше ь, тогда как у диагонализируемого оператора она всегда равна г.. Прежде чем переходить к общему случаю, разберемся с комплексными 2 Х 2-матрицами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
