1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 14
Текст из файла (страница 14)
8. Пример. Пусть ь — двумерное комплексное пространство с базисом, оператор 1: Е-э-ь представлен в этом базисе матрицей ). Характеристический многочлен для(равен гг — (а+а)Г+ А=та Ы чс а) а+ а l (а — Е)' +(ай — Ьс), его корни суть Льх= — ~ ~ + Ьс 2 ч' 4 Рассмотрим отдельно следующие случаи: а) Л1 чьЛг. Пусть е, — собственный вектор для Л~, ех — для Ль Они линейно независимы, потому что если ае1 + Ьег=б, то ~(ае, +Ьеа) аЛ,е, +ЬЛр, О, откуда Л, (ае, + Ье,) — (аЛ~е~ + ЬЛаеа) = Ь (Л, — Ла) е, = О, т. е. Ь = О и аналогично а = О. Следовательно, в базисе (еь еа) матрица ( диагональна. б) Л| = Лг = Л.
Здесь оператор 1 диагонализируем, только если он Умножает на Л все вектоРы из Ьл это значит, что 1ч ~с в) ~о Л) т. е. а =И= Л, Ь = с= О. Если же эти условия не выполнены, а выполнено только более слабое условие (а — д)а+ 4Ьс = О, гаран- тирующее, что Л1 —— Лм то у оператора ( может быть, с точностью до пропорциональности, только один собственный вектор и ( заве- домо не диагонализируем.
ГЛ 1х ПРимеР такой матРицы:1 о „). Эта матРица называетсЯ жоР- дановой клеткой размера 2 Р', 2 (или ранга 2). В $ 9 мы покажем, что именно такие матрицы образуют «строи- тельные блокнот для нормальной формы общего линейного опера- тора над алгебраически замкнутым полем. Дадим общее определе- ние: 9. Определение. а) Жардановой клеткой (,(Л) размера г)(г с собственным значением Л называется матрица вида Л 1 О ... О (Л) о л 1 ... о б) л(ордановой матрицей н зывается матрица, состоящая из диагональных блоков' У,,(Л,) и нулей вне этих блоков: т„(л,) в) Жордановым базисом для оператора 1: Š— ь Е называется такой базис пространства Е, в котором матрица оператора 1" является жордановой, или, как говорят, имеет жорданову нормальную форму. г) Приведением квадратной матрицы А к жордановой нормальной форме называется решение уравнения в матрицах вида Х вЂ” 'АХ =т', где Х вЂ” (неизвестная) невырожденная матрица, а (в (неизвестная) жорданова матрица.
1О. Пример. Пусть С„(Л) — линейное пространство комплексных функций вида еь"~(х), где Лен С, 1(х) пробегает многочлены степени ~п — 1. Поскольку — „" (ел"9(х))=ел (~4(х)+!'(х)), дифференв цирование — является линейным оператором на этом проня х Лк странстве. Положим ег ы —— — ел" (напомним, что О! = 1), 1= О, ... ..., и — 1. Очевидно, х~-' „х' — (е,,)=,, еьь+ Л вЂ” ел" =е, +Ле,+1 (первое слагаемое отсутствует прн 1=0). Следовательно, л 1 о ... о — (е„..., е„)=(е„..., е„) т„1 Таким образом, функции ~ —.! е"") образуют жорданов базис для И оператора — в нашем пространстве. вх Этот пример показывает особую роль жордановых матриц в теории линейных дифференциальных уравнений (см.
упражнения 1 — 3 к$9). 11. Кроме уже рассмотренных геометрических соображений для нужд следующего параграфа нам понадобятся алгебраическнесведения о полиномиальных функциях от оператора. Пусть 1: Е- Е— фиксированный оператор. а) Для любого многочлена ~ а,1'=Я(1) с коэффициентами г-о л из поля Л' выражение ~ а,)' имеет смысл в кольце Я'(Е, Е) эндог-ь морфизмов пространства (.; мы будем обозначать его Я(!). б) Будем говорить, что многочлен Я(1) аннулирует оператор 1, если Щ) = О. Ненулевые многочлены, аннулирующие 1, существуют всегда, если Е конечномерно. 3 самом деле, если д!тп ь= и, то д!гпту'((.,Ь) = и' н операторы !д, 1, ..., )н* линейно зависимы над зс. Это рассуждение показывает, что имеется аннулирующий ! многочлен степени (пг.
На самом деле теорема Гамильтона— Кали, которую мы докажем ниже, устанавливает существование аннулирующего многочлена степени и. в) Рассмотрим многочлен М(!) со старшим коэффициентом единица, аннулирующий ! и имеющий наименьшую возможную степень. Он называется минимальным многочленом оператора !. Очевидно, он определен однозначно: если М>(!), Мз(!) — два таких многочлена, то М,(!) — Мт(!) аннулирует ! и имеет строго меньшую степень, так что М~ (!) — Мэ(!) = О. г) Покажем, что любой многочлен, аннулирующий 1, делится на минимальный многочлен !. Действительно, пусть Я(/)=О. Разделим О с остатком на М: Я(!)=Х(!)М(!)+!!(!), дед!!(!)~ ( дедМ(!).
Тогда !!Ц)=Щ) — ХЦ)МЦ)=0, так что !! =О. 12. Теорема Гамильтона — Кали. Характеристический много- член Р(!) оператора ! аннулирует этот оператор. Доказательство. Мы будем пользоваться этой теоремой и докажем ее только для случая алгебраически замкнутого поля Я', хотя она верна и без этого ограничения. Проведем индукцию по и!тЕ. Если Е одномерно, то ! есть умножение на скаляр Х, Р(!) = ! — Х и Р(/) = О. Пусть б!гпЕ = л > 2 и теорема доказана для проогранств размерности н — 1. Выберем собственное значение >, оператора ! и одномерное собственное подпространство Е~ ~ Е, отвечающее к.
Пусть (еД вЂ” базис Е,; дополним его до базиса (еь ..., е ) пространства Е. Матрица оператора ! в этом базисе имеет внд Поэтому Р(!)=(! — Цде1(!Š— А). Оператор ! определяет линейное отображение 1: Е/Е>- !/Еь !(!+Е>)=!(!)+Еь Векторы е; =е>+ Е~ евЕ/Еь 1) 2, образуют базис Е/Еь и матрица оператора ! в этом базисе равна А. Поэтому Р(!) = де1(!Š— А) есть характеристический многочлен оператора 1, и по индуктивному предположению РЦ) = О.
Значит, Р(!)! ~ Е~ для любого вектора ! ~ Е. Следовательно, РЦ)1=Ц вЂ” ЦР®1=0, ибо ! — Х переводит в нуль любой вектор из Еь Это завершает доказательство. 13. Примеры. а) Пусть 1 = Ыы й!т Е =п. Тогда характеристический многочлен ! равен (! — !)", а минимальный многочлен равен ! — 1, так что оии не совпадают при п !. б) Пусть ! представлен жордановой клеткой /,(Х).
Характеристический многочлен оператора ! равен (! — к)'. Чтобы вычислить минимальный многочлен, заметим, что /,(Х)=ХЕ, +У,(О). Далее, 0 0 ... ! 0 ... 0 / (0)ь 0 0 0 1 ... 0 0 0 ... 0 0 ... 0 где единицы стоят на к-й диагонали выше главной; У,(0)к = 0 при и ~ г. С лругой стороны, ;Х;(А) - Вг) =Х,(О) при О < й < г — ), а поскольку минимальный многочлен — делитель характеристического, зто доказывает, что они совпадают. УПРАЖНЕНИЯ 1. Пусть В ь- ь — ннагоналнзнруемый оператор с простым спектром. а) Доназать, что любой оператор йп ь-ьь такой, что еХ = (и, может быть пренставлен в вале многочлена ог й б) Доказать, что размерность пространства таких операторов я равна бпп ь. Верны лн згн утвержденна, если спектр оператора ) не прост7 2. Пусть й б: ь -~-ь — линейные операторы в пространстве размерностн п нан полем нулевой харантернстнкн.
Предположим, что Г' = О, бап Кег( = 1, я) — )Е=й Доказать, что собственные значения е имеют внл и, о — 1, а — 2, ... ..., и — (и — 1) пля некоторого а ы йг". $9. Жорданова нормальная форма Основная цель зтого параграфа — доказательство следующей теоремы о существовании и единственности жордановой нормальной формы для матриц и линейных операторов.
1. Теорема. Пусть Л' — алгебраически замкнутое поле, Х.— конечномерное линейное пространство над зг', Х: Х.-ь(.— линейный оператор. Тогда: а) Для оператора Х существует жорданов базис, т. е. его матрица А в некотором базисе может быть приведена заменой базиса Х к жордановой форме: Х вЂ” 'АХ = Х. б) Матрица Х определена однозначно с точностью до перестановки входящих в нее жордановых клеток. 2. Доказательство теоремы разбивается на ряд промежуточных шагов. Мы начнем с конструкции прямого разложения Х.=()-тА„ г 1 где Хл — инвариантные подпрострацства для ), которые впоследствии будут отвечать набору жордановых клеток для Х с одним и тем же числом ), на диагонали.
Чтобы инвариантно охарактеризовать эти подпространства, вспомним, что (Х,(А) — АВ,)" = О, Оператор, некоторая степень которого равна нулю, принято называть нильпотентным. Итак, на подпространстве, отвечающем клетке Х,(А), оператор Х вЂ” А нильпотентен; то же верно для его ограничения на сумму подпространств с фиксированным А. Это мотивирует следующее определение. 3. Определение.
Вектор 1е= Х, называется корневым вектором оператора (, отвечающим А~,У, если существует такое г, что () — Х) П = 0 (здесь Х вЂ” )с обозначает оператор Х вЂ” А Ы); Очевидно, все собственные векторы корневые. 4. Предложение. Обозначим через Х. (л) множество корневых векторов оператора ) в Х., отвечаюи)их А. Тогда ЦЦ вЂ” линейное надпространство в Х, и Х.(А)Ф(О) тогда и только тогда, когда )г — собственное значение для Х.
Доказательство. Допустим, (! — Л)п1~ —— (! — Л)'*1г=О. Полагая т = гпах(ть тг), находим (! — Л) "(1~ + 1г) = 0 и (! — Л)" (а1~) =О. Следовательно, Е(Л) является линейным подпространством. Если Л вЂ собственн значение для !, то имеется собственный вектор, отвечающий Л, так что 1.(Л)чь(0). Наоборот, пусть 1е Е(Л), 1~ О. Выберем наименьшее значение г, для которого (! — Л) "1 = О. Очевидно, т ) 1. Вектор 1' =(! — Л)"-Ч является собственным для ! с собственным значением Л: 1'чь 0 по выбору т и (! — Л) 1' = О, откуда !(1') = Л1'. б. Предложение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
