1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Действительно, возьмем любой собственный вектор ( для 1 и представим его в виде линейной комбинации элементов О. В эту линейную комбинацию все векторы, находящиеся выше нижней строки, войдут с нулевыми коэффициентами. Действительно, если бы самые высокие векторы с ненулевыми коэффициентами лежали в строке с номером 6 ~ 2, то вектор 1" — '(() = О был бы нетривиальной линейной комбинацией элементов нижней строки 0 (ср, конец доказательства предложения п.
7), а это противоречит линейной независимости элементов 0. Значит, нижняя строка 0 образует базис (.ы так что ее длина равна Йгп 1.м и потому эта длина одинакова дли всех жордановых базисов. Точно так же длина второй строки не зависит от выбора базиса, так как она равна размерности Кег1 в Е/Е~ в обозначениях предыдущего пункта. Это завершает доказательство единственности и теоремы п.
1. 9. Замечания. а) Пусть оператор ( представлен матрицей А в некотором базисе, тогда задача приведения А к жордановой форме может быть решена с помогцью следующих действий. Вычислить характеристический многочлен А и его корни. Вычислить размеры жордановых клеток, отвечающих корнями. Для этого достаточно вычислить длины строк соответствующих диаграмм, т. е.
йш Кег(А — л), ййп Кег(А — ))з — б)т Кег(А — ь), б)т Кег(Л вЂ” ))з — б)гп Кег(Л вЂ” ))~, . Построить жорданову форму 1 матрицы А и решить матричное уравнение АХ вЂ” Х1 = О. Пространство решений этой линейной системы уравнений будет, вообще говоря, многомерно, и среди решений будут и вырожденные матрицы. Но по теореме существования обязательно есть невырожденные решения; можно взять любое из них. б) Одно из важных приложений жордановой формы — вычисление функций от матриц (пока мы знакомы лишь с полиномиальными функциями). Пусть, скажем, нам нужно звать большую степень Л" матрицы А.
Так как степень жордановой матрицы вычислить легко (см. й 8, п. 13), экономный способ может состоять в использовании формулы А" = Х1"Х-', где А = Х1Х вЂ” '. дело в том, что матрица Х вычисляется раз навсегда и ие зависит от У. Эту же формулу можно использовать для оценки роста элементов матрицы А"'. в) В терминах жордановой формы легко вычислить минимальный многочлеп матрицы А.
В самом деле, ограничимся для простоты случаем поля нулевой характеристики. Тогда минимальный многочлен 1,().) равен (1 — л)" (см. п. 13 5 8), минимальный многочлен блочной матрицы(1,,(л)) равен (~ — Х) '"('и, наконец, ми- нимальный многочлен общей жордановой матрицы с диагональ- Б ными элементами Л(, ..., Л, (Л(ФЛ( при 1Ф1) равен П(( — Л )'(, ( ! где г; — наибольший размер жордановой клетки, отвечающей Л(.
10. Другие нормальные формы. В этом пункте мы вкратце опишем другие нормальные формы матриц, пригодные, в частности, для алгебраическн незамкнутых полей. а) Циклические пространства и циклические клетки. Пространство Е называется циклическим относительно оператора 1, если в А существует такой вектор 1, также называемый циклическим„ что векторы 1, 1(1), ..., ( '(1) образуют базис 1..
Полагая е(=1"-((1), ! 1, ..., п=йшЕ, имеем а„! ! 0...0 ал ! 0 ! ... 0 1 1(е„..., е„) (еь ..., е„) а0 00...0 где а( ен Л' однозначно определяются из соотношения Г (1) = и — ! 2, а(['(1).Матрица оператора 1 в таком базисе называется циклической клеткой. Наоборот, если матрица оператора 1 в базисе (еь ..., е„) является циклической клеткой, то вектор 1=е„цикличен, и е(=1 -((е,) (индукция вниз по !).
Покажем, что вид циклической клетки, отвечающей 1, не зависит от выбора исходного циклического вектора. Для этого проверим, что первый столбец клетки состоит из коэффициентов миннл-! мального многочлена оператора 1: М(1) = 1" — ~ а,('. (-о В самом деле, М(1)=О, потому что М(1) [1((1)]=]([М(])1]=О, а векторы 1((1) порождают 1..
С другой стороны, если Л((1)— многочлен степени (и, то Ж([)чьО, потому что иначе, применив оператор Л((1)=О к циклическому вектору 1, мы получим нетривиальное линейное соотношение между векторами базиса 1,1(1), 1л-! (1) б) Критерий цикличности пространства. Согласно предыдущим рассмотрениям, если пространство 1. циклично относительно 1, то его размерность и равна степени минимального многочлена оператора [ н, стало быть, минимальный многочлен совпадает с характеристическим. Обратное тоже верно: если операторы Ы, 1,..., 1"-! линейно независимы, то существует такой вектор 1, что векторы 1,1(1)...,, 1"-((1) линейно независимы, так что Е циклично.
Мы не будем доказывать это утверждение. в) Матрица любого оператора в подходящем базисе может быть приведена к прямой сумме циклических клеток. Доказательство можно провести аналогично доказательству теоремы о жордановой форме. Вместо множителей (1 — Л,) ' характеристического многочлена следует рассматривать множители р((1)'! где р((1)— неприводимые над полем Л' делители характеристического много- 67 члена. Теорема единственности также имеет место, если ограничиться случаем, когда минимальные многочлены всех циклических клеток неприводимы.
Без этого ограничения она неверна: циклическое пространство может быть прямой суммой двух циклических подпространств, минимальные миогочлены которых взаимно просты УПРйЖНЕНИЯ 1. Пусть ь — конечнамерное пространство дифференпируемых функций ком. к(1 плексной переменной к, обладающее тем свойством, что если ) ен ь, то — ~и ь. йх Доказать, что существуют такие комплексные числа Хь ..., Хг и целые числа гь ..
г, » >1, что ь = киьи где (к — пространство функций вида з г" Рг(х) Р,(х) — произвольный мнагочлен степени (г~ — 1. (Укизииие. Рассмотреть жорк1 данов базис для оператора — на ь и последовательно вычислить внд входяг(х шнх в него функций, начиная с нижней строки ега диаграммы.) 2. Пусть у(х) — функция комплексной переменной х, удовлетворяющая дифференциальному уравнению вида — „+ ~ иг — =-О, аггиС. виу %-ъ в~в йхг г-з Обозначим через ь линейное пространство функций, натянутое на В'д/~(х' для всех 1> О. Доказать, что оно конечномерно и оператор г(?г(х перевалят его в себя.
3. Пользуясь результатами упражнений 1 н 2, вывести, что и(х) представляется в виде ги е г Рг(х). Р~ — многочлены. Как связаны числа ?и с индом ах дифференциального уравнения? 4. Пусть У,(л) — жордановл клетка иад С. Доказатгч что, как угодно мало изменив ее элементы, можно добиться того, что полученная матрица будет диагонализируемой. (Указание. Изменить элементы на диагонали, сделав пх попарно разными.) 6. Перенести результат этого упражнешгя на произволыгме матрнпы над С, яоспользовавшвсь тем, что коэффициенты характеристического многочлена непрерывно зависят от элементов матрицы, а условие отсутствия кратных корней многочленз равносильно тому, что его дискриминант не обрашаетсн в нуль.
6. Придать точный смысл следующим утверждениям и доказать их: а) общая 2 Х 2-матрица над С диаговализяруема. б) общая 2 Х 2-матрица с адинаковымп собственными значениями недиагонзлизируема. 5 Ю. Нормированные линейные пространства В этом параграфе изучаются специальные свойства линейных пространств над вещественными и комплексными числами, связавные с возможностью определить в них понятие предельного перехода и построить начала анализа. Особую роль эти свойства играют в бесконечномерном случае, так что по существу излагаемый материал является элементарным введением в функциональный анализ.
1. Определение. Пара (Е, с(), где Š— множество, а гй Ер', Е- -ь (т — веи(ественнозначная й)унлг(ия, называется метрическим лро- странством, если выполнены следующие условия для всех х, у, генЕ: а) а(х, у)= й(у,х) (симметрия); б) й(х,х)= О; й(х„у)) О, если хну (положительность); в) а(х, г) ~ а(х,у)+ с((у, г) (неравенство треугольника). Функция й с такими свойствами называется метрикой, а й(х,у)— расстоянием между точкалш х, у. 2.
Примеры. а) Е= (! или С, й(х, у) =!х — у~. / и 1Н2 б) Е=К" нли С", д(х, у)=~ й„'!х,— у,~) .Это так назь1вае- 1 1 мая естественная метрика. Во второй части мы рассмотрим ее систематически и изучим ее обобщения на произвольные основные поля в теории квадратичных форм. Другие метрики: ы ы .ь И1(х У)=п1ахИх1 — У10. й2(х. У)=й.!х1 — У1!. в) Е=С(а, Ь) — непрерывные функции на отрезке (а, Ь1. Вот три наиболее важные метрики: а1(!, д)= тпах )/(!) — д(!)), а~1 =Ь .ь й2У. а)= ~!)(!) — а(!) (й(.
а , ь ~ 112 4(1. а)=( ~ )(г) — и(!) гй') (Проверьте аксиомы. Для й2 в примере б) н йь в примере в) неравенство треугольника будет доказано в следующей части.) г) Š— любое множество, с((х, у) = 1 при х Ф у. Это — одна нз дискретных метрик на Е. (С каждой метрикой связана некоторая топология на Е, и последняя описанная метрика индуцирует дискретную топологию.) 3. Шары, ограниченность и полнота. В метрическом пространстве Е с метрикой а множества В(хы г)=(хек Е!й(хы х) < 1'), В(х„г)=(хек Е3й(хь х)<г), Я(хы г)=(х~ Е!й(хы х)=г) называются соответственно открытым шаром, замкнутым шаром и сферой с центром в точке хь и радиуса г. Не следует связывать с ними интуитивные представления, слишком близкие к трехмерным пространственным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
