1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Функтор оказывается контраеариантнахп морфизму 1; 5-» Т он ставит в соответствие .линейное отображение Р(1): Р(Т)- Р(Б), чаще обозначаемое (* и называемое подъемом, или обратным образом, на функциях: Г(~р)=<р.), где 1: 5 — Т, ~р: Т вЂ” К. Иными словами, ~" (Ч~) — это функция иа 5, значения которой постоянны вдоль «слоев» (-'(1) отображения 1 и равны ~р(1) на таком слое. Хорошее упражнение для читателя — проверить, что мы действительно построили функтор. б) Отображение двойственности:,т"Еп».- 2'1пл, на объектах задаваемое формулой Е эЕ'= У(Е,Л), а на морфизмах— формулой 1 ~1", является контрааариантныл функтором нз категории Юл:г в себя. По существу, это доказано в й 7.
в) Операции комплексификации и овеществления, изученные в й 12, определяют функторы 2'1па- 2'1лс и .Угас- Мпа соответственно. То же относится к более общим конструкциям подъема и спуска поля скаляров, кратко описанным в й 12. г) Для любой категории С и любого объекта Хан ОЬС определены два функтора из С в категорию множеств: ковариантный й»: С-»Ве1 и контраварнантный )гг: С-» Яе1'.
Вот их определения: йх(У) = Нот«(Х, У), йг(1: У вЂ” »Е) есть отображение йх(У) = Ногпс(Х, У) — йх(У) = Ноше(Х, Х), которое ставит в соответствие морфизму Х вЂ” У его композицию с морфизмом 1: У-»Х. Аналогично, йх(У) = Ногае(У, Х) и й»(): У-« Х) есть отображение й" (2)= Ноте(2, Х)- й»(У) = Ноп|с(У, Х), которое ставит в соответствие морфизму 2 — Х его композицию с морфизмом 1: У-Х. Проверьте, что й» и й" действительно являются функторами. Их называют функторами, представляющими объект Х категории. Заметим, что если С=Юпхт, то й» и Ьк можно считать функ- торами со значениями также в Тсптг, а не в Яей е а 7.
Композиция функторов. Если С, — С,— Сз — три категории и два функтора между ними, то композиция РР: С1-«Сз определяется как теоретико-множественная композиция отображений на объектах и морфизмах. Тривиально проверяется, что она является функтором. Можно ввести «категорию категорий», объектами которой являются категории, а морфизмами — функторы! Более важной, однако, является следующая ступень этой высокой лестницы абстракций: категория функторое. Мы ограничимся объяснением, что такое морфизмы функторов. В.
Естественные преобразования естественных конструкций, нли функторные морфизмы. Пусть т", Со С- Р— два фуиктора с общими началом и концом. Функторным морфизмом ~р: à — «Р называется класс морфизмов объектов ~р(Х): Р(Х) — «6(Х) в категории Р, по одному для казкдого объекта Х категории С, обладающий тем свойством, что для каждого морфнзма ~: Х-»-У в категории С квадрат г(х) — а(х) ых) »1( ~ » тФ хту) — а(тт коммутативен. Функторный морфиям называется изоморфизмом, если все ~р(Х) суть изоморфизмы. 9. Пример. Пусть ". Юпк-«2"!пхг — функтор «двойного со. пряжениятк Е «ь**, ( э)»*. В $ ? мы построили для каждого линейного пространства Е каноническое линейное отображение ес. Р ь*'.
Оно определяет функторный морфизм ем. [б — «»», где (п — тождественный функтор на 5Чаж, ставящий в соответствие каждому линейному пространству само это пространство и каждому линейному отображению — само это отображение. Действительно, согласно определению, мы должны проверить коммутативность всевозможных квадратов вида г»» Для конечномерных пространств 1„М это устанавливается с помощью утверждения д) теоремы п. 5 $7.
Проверку в общем случае предоставляем читателю. УПРАЖНЕНИЯ 1. Пусть Бе1» — категория, объектами которой являются миожества, а морфизмами — такие отображения миожесгв й 5- Т, что для любой точки (~иТ слой 7-'(1) конечен. Показать, что следую~пас данные определяют ковприантиый фуиктор я,: Бе1е-> Ыгьт' а) рг(5) р(8): фуикпии иа 5 со зиачеииями в зг; б) дия любого морфизма й Б- т и фуикпии ф: 8- Х» фуикпия рец) (~р) = )а(ф) <н Р(Т) определяется так: »ж) Ш («иитегрироваиие по слоям»). 2.
Доказать, что спуск поля скаляров с )( до ЗГ (см. $ 12) определяет фуиктор Ыгп -> ог!плг. й 14. Категорные свойства линейных пространств 1. В этом параграфе собраны некоторые утверждения о категории всех линейных пространств Юпрг или конечномерных линейных пространств лпгп1 . над данным полем Л». По большей части они являются переформулировкой на категорном языке утверждений, которые мы уже доказали раньше. Их выбор обусловлен следующим своеобразным критерием: это как раз те свой.
ства категории 2'гчгрг, которые нарушаются для таких наиболее близких категорий, как категория модулей над общими кольцами (например, над Х, т. е. категория абелевых групп) или даже категория бесконечномерных топологических пространств. Детальное изучение этих нарушений для категории модулей составляет основной предмет гомологической алгебры, а в функциональном анализе часто приводит к поиску новых определений, которые позволяют восстановить «хорошие» свойства лейт( (таково понятие ядерных топологических пространств). 2.
Теорема о продолжении отображений. а) Пусть Р, М, )у — линейные пространства, Р конечномерно, ): М->А( — сюраективное л нейное отображение. Тогда любое линейное отображение йч Р— > А1 можно поднято до такого линейного отображения гп Р— >М, что л =)г1. Иными словами, диаграмму с точной строкой можно вложить в коммутативную диаграмму Р м ~1т о б) Пусть Р, 1,, М вЂ” линейные пространства, М конечномерно, й Е-~-М вЂ” инъективное линейное отображение, Тогда любое линейное отображение д: Е- Р можно продолжить до линейного отображения 6; М вЂ” Р так, что д = 66 Иными словами, диаграмму с точной нижней строкой р можно вложить в коммутативную диаграмму Доказательство. а) Выберем базис (еь ..., е,) в Р, положим е',=д'(е,)ы й.
В силу сюръективности 1 существуют векторы е,"АМ такие, что 1(е',.') е',, 1=1, ..., п. По предложению п. 3 $3, существует единственное линейное отображение 6: Р-~М такое, что 6(е,.)=е',.',1=1,..., и. По конструкции 16(е,)=1(е",)= =е',=у(е,). Так как (е) образуют базис Р, имеем 16 = д.
б) Выберем базис (е,', ..., е') пространства ь' и продолжим е„=)(е„'), 1(6(~п, до базиса (еь ..., е; е„+ь ..., е„) пространства М. Положим 6(е,) =д(е',) при 1(1( т, 6(е~) = О при т+ 1(1(п. Такое отображение существует по тому же предложению п. 3 $3. Можно также прямо применить предложение п. 8 $6. Теорема доказана. В категории модулей объекть1 Р, удовлетворяющие условию а) теоремы (при всех М, У).
называются проективными, а объекты, удовлетворяющие условию б),— инъективными. Мы доказали, что в категории конечномерных линейных пространств все объекты проективны и инъективны. ! 3. Теорема о точности функтора Ж Пусть О- Š— М вЂ” + )У -ь — Π— точная тройка конечномерных линейнсчх пространств, Р— любое конечномерное пространство над тем же полем.
Тогда Я как функтор отдельно по первому и второму ареументу индуцирует точные тройки линейньчх пространств: О а) Π— У(Р, Е)- 2'(Р, М) ч. Ж(Р, Ф)- О, б) О -Ж(Е, Р) — У(М, Р) — Ы((У, Р) — О. Доказательство. а) Напомним (см. пример г) п. 6 $13), что й ставит в соответствие морфизму Р— Е его композицию с й Š— ~-М, а 1~ ставит в соответствие морфизму Р- М его композицию с 1: М-~У. Отображение и инъективно, потому что (в инъекция, так что если композиция Р— Š— М нулевая, то Р-~Š— нулевой морфизм. Отображение 11 сюръективио в силу утверждения а) теоремы п.
2: любой морфнзм д: Р— И монгно поднять до морфизма Р— М, композиция которого с 1 дает исходный морфизм. Композиция 11ц', нулевая: она переводит стрелку с Р- Е в стрелку Р-~.И, которая является композицией Р-+Е/ — ~" М- Ф, но Р=О. Мы проверили, таким образом, что последовательность а) является комплексом, и остается установить ее точность в среднем члене, т. е. Кег(1 — — 1тй. Мы уже знаем, что Кег(1-э!тй. Для доказательства обратного включения заметим, что если стрелка Р-+ М лежит в ядре (ь то композиция этой стрелки с 1: М-э.Ф равна нулю, а потому образ Р в М лежит в ядре 1.
Но ядро 1 совпадает с образом 1(Е)~ М в силу точности исходной тройки. Значит, Р отображается в подпространство ЦЕ), и потому стрелку Р— «М можно поднять до стрелки Р-~Е, композиция которой с 1 даст исходную стрелку. Это и означает, что последняя лежит в образе и. б) Здесь рассуждения совершенно аналогичны, или, точнее, двойственны. Отображение 12 сюръективно в силу утверждения б) теоремы и. 2. Отображение 1з инъективно, потому что если компо! вицин М вЂ” + Ф- Р равна нулю, то и стрелка И- Р нулевая, так как 1 сюръективно. Композиция 1з(2 равна нулю, ибо композиция Е- М вЂ” У-+ Р нулевая для любой последней стрелки.
Поэтому остается доказать, что Кег1, с: 1гп(', (обратное включение только что проверено). Но стрелка М вЂ” Рлежит в ядре 1м если Е композиция Š— М вЂ” Р нулевая. Значит, Е=Кег( лежит в ядре 1. Определим отображение 1: У вЂ” ь-Р формулой 1(а)=1(1-'(а)), где 1 — '(н)ен М вЂ” любой прообраз и. От выбора этого прообраза ничего не зависит, ибо Кег)'~ Кегг, Легко проверить, что Г линейно Г и что 1и(1) 1; в самом деле, и(1) есть композиция М вЂ” Й вЂ” Р, которая переводит тенМ в Ц(гн) =1(1-'(1(т)))=1(га).
Теорема доказана. 4. Категорная характеризация размерности. Пусть 0 — некоторая абелева группа, записываемая аддитнвно, Х: ОЬ.У (а 1 — ~6— произвольная функция, определенная на конечномерных линейных пространствах и удовлетворяющая двум условиям: а) если х. и М изоморфны, то Х(Ц = Х(М); б) для любой точной тройки пространств О-»Т.— М вЂ” А/-»О имеем Х(М) = Х(Ц+ Х(А() (такие функции называются аддитнвными). Имеет место 6. Теорема.
Для любой аддитивной функции Х имеем Х(Е)= (()ттг(. ° Х(Х(), где /. — произвольное конечнох(ерное пространство. Доказательство. Проведем индукцию по размерности Е. Если ь' однотлерно, то й изоморфно Л~(, так что Х(Ц=Х(Л!'()= =Йптхгх, Х(Л'(). Пусть теорема доказана для всех ь размерности п. Если размерность (. равна и+1, выберем одномерное подпространство ьп с: Ь и рассмотрим точную тройку / Π— з. (о — (. — Ц(о — » О, где ( — вложение ьп, а /(1)=1+ ьпен х,/х.в. В силу аддитивности Х и индуктивного предположения Х(~)=Х((о)+Х(7/Х )=Х(Х")+()(тпг(ЦЯ )ХЖ()= (Л.'() + пХ(Х() =(л+ 1) Х(Л ) = ()(шаг Е, ° Х ()У'(), Теорема доказана. Этот результат является самым началом большой алгебраической теории, которая сейчас активно развивается,— так называемой К-теории, лежащей на стыке топологии и алгебры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
