1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Так как матрицей д служит транспонированная матрица Грама О' базиса Е, невырожденность я равносильна невырожденности натри>1ы Грана (любого базиса). В тензорной алгебре и ее приложениях к дифференциальной геометрии и физике очень широко используется то обстоятельство, что невы- рожденная ортогональная форма у определяет изоморфизм Š— » Е": оно служит основой техники «поднятия и опускании индексов». Ранг я определяется как размерность образа я, или как ранг матрицы Грама б.
6. Задача классификаци>ь Пусть (Еьд>), (Еь и») — два линейных пространства со скалярными произведениями над полем Л'. Назовем их изо»>етрией любой линейный изоморфизм ): Е,— Ет, который сохраняет значения всех скалярных произведений, т. е. д'>(1, 1')=уз(>(1), 1(1')) для всех 1, 1'~Е, Назовем такие пространства изометричными, если между ними существует изометрия. Очевидно, тождественное отображение является изометрией, композиция изометрий есть нзометрия и линейное отображение, обратное к изометрии, есть изометрия. В следующем параграфе мы решим задачу классификации пространств с точностью до изометрии, а затем изучим группы изометрий пространства с самим собой н покажем, что среди них содержатся классические группы, описанные в ф 4 ч.
1. Классическое решение задачи классификации состоит в том, что всякое пространство со скалярным произведением разлагается в прямую сумму попарно ортогоиальных подпространств малой размерности (один в ортогональном и эрмитовом случае, один или два — в симплектическом). Поэтому мы закончим этот параграф непосредственным описанием таких маломерных пространств с метрикой. 7. Одномерные ортогональные пространства. Пусть Жги 1.=1, д — ортогональное скалярное произведение на Ь. Возьмем любой ненулевой вектор!сии, Если д(1,1)=0, то д= О, так что д вырожденное и нулевое. Если д(1, 1) = а ~ О, то для любого х ~ Л' значение а(х1,х1) равно ахз, так что все значения д(1, 1) на ненулевых векторах в 1, составляют в мультипликативной группе Л" = Л'~.(0 поля Л' смежный класс по подгруппе, состоящей из квадратов: ахэ(хеи Л'*) ы М"/(Л'*) э. Этот смежный класс полностью характеризует невырожденное симметричное скалярное произведение на одномерном пространстве Т.: для (7.ь д~) и (1.муз) два таких класса совпадают тогда и только тогда, когда эти пространства изометричны.
В самом деле, если у, (1ь 1,) = ахз, ут(1м 1з) =ауз, где й еи Т.ь то отображение 1: 1~ — у — 'х1з определяет изометрию 1., с Т.м что доказывает достаточность. Необходимость очевидна. Так как 1("/(К*)т =(~1) и С" =(С*)э, мы получаем следующие важные частные случаи классификации.
Над й любое одномерное ортогональное пространство изометрично одномерному координатному пространству с одним из трех скалярных произведений: ху, — ху, О. Над С любое одномерное ортогональное пространство изометрично одномерному координатному пространству с одним из двух скалярных произведенши ху, О. в. Одномерные эрмитовы пространства. Здесь рассуждения аналогичны. Основное поле равно С; вырожденность формы равносильна ее обращению в нуль. Если же форма невырождена, то множество значений а(1, 1) для ненулевых векторов 1~ 1. есть смежный класс подгруппы К"„ь=(хвнР')х 0) в группе С*, ибо д(а1,а1)= айд(1,1)=!а)хд(1,1), и )а)' пробегает все значения в К+, когда а си С". Но каждое ненулевое комплексное число г однозначно представляется в виде геьт, где ген К+, а е'т лежиг на единичной комплексной окружности, которую мы обозначим С(=(я~ С'Цг) 1).
На групповом языке зто определяет прямое разложениеС'= К+)( ХС( и изоморфизм С'1й+-ьС~. Таким образом, невырожденные полуторалинейные формы классифицируются комплексными числами, по модулю равными единице. Однако мы еще не полностью учли свойатва эрмитовости, которое означает, что у(1, 1)=д(1, 1), т. е. что значения д(1,1) все вещественны. Поэтому эрмитовым формам отвечают. только числа ~1 в С1, как и в ортогоиа.пьном случае над К. Окончательный ответ: Над С любое одномерное зрмитово пространство изометрично одномерному координатному пространству с одним из трех скалярных произведений: ху, — ху, О.
100 Одномерные ортогональные пространства над м (или эрмитовы над С) со скалярными произведениями ху, — ху, 0 (или ху, — ху, 0) в подходящем базисе мы будем называть соответственно положительными, отрицательными и нулевыми. Скалярные произведения ненулевых векторов на себя в них принимают соответственно только положительные, только отрицательные или только нулевые значения.
9. Одномерные симплектическне пространства. Здесь мы встречаемся с новой ситуацией. любая антисимметричная форма на одномерном пространстве над полем характеристики Ф2 тождественно равна нулю, в частности, вырождена! Действительно, у(1, 1) = — у(1, 1)=ь.2у(1, 1)=0, д(а1, Ы) аЬд (1, 1) О. Что касается характеристики 2, то условие антисимметрии у(1, т) — д(т, 1) в этом случае равносильно условию симметрии у(1, т) = д(т, 1), так что над такими полями симплектическая геометрия не отличается от ортогональной. Впрочем, у ортогональной геометрии также появляются свои особенности, и Мы обычно будем этот случай исключать из рассмотрения.
Ясно поэтому, что одномерные симплектические пространства не могут быть строительным материалом для конструкции общих симплектических пространств, и нужно пойти по крайней мере на щаг далыпе. 1О. Двумерные симплектические пространства. Пусть (Т.,д)— двумерное пространство с кососимметрической формой у над полем М' характеристики Ф2. Если форма д вырождена, то она автоматически нулевая. В самом деле, пусть 1чь 0 — такой врктор, что у(1, т) О, для всех т ~ 1,. Дополним 1 до базиса (1, 1') в Т.
и учтем, что д(1~, 1')=д(1, 1) О по предыдущему пункту. Тогда для любых а, Ь, а', Ь'вне имеем у(а1+а 1', Ы+ Ы') -аЬу(1, 1)+аЬ'у(1, 1') — а'Ьу(1. 1')+ЬЬ'у(1', 1') О. Пусть теперь у ненулевая и, значит, невырожденная. Тогда существует пара векторов еь ег с у(еьез) ачьО и даже с а=1: у(а — 'еь ез) а-'а 1. Пусть у(еь ез) 1. Тогда векторы еь ез линейно независимы и, значит, образуют базис 1л если, скажем, е1 аем то д(аеьез) ад(ем аз)=0.
В координатах относительно такого базиса скалярное произведение д записывается в виде у (х,е, + хзем у,е, + у,ез) х,у, — хзу, и имеет матрицу Греме Окончательно, получаем: 101 Над полем Л' характеристики ~2 любое двумерное симплектическое пространство изометрично координатному пространству Л"~ со скалярным произведением х,уэ — хву, или О. УПРАЖНЕНИЯ 1. Пусть 1,, М вЂ” конечномерные линейные пространства над полем Л' и Г= : /. Х М-ьЗС вЂ” билинейное отображение.
Назовем левым ядром й множество т = (/~в/ 1Ю(/,т)= О для всех те М1, правым ядром е множество Мз = =(т сэ М)я(1,т) = О для всех 1~м Ц. Докажите следующие утверждения: а) /Дш Ыо = б/ш М/Мь б) я индуцирует билинейное отображение й'. ь/ье Х М/Мз -ь Л', к'(1+ /.м т+ Мз) = й(1, т), у которого левое и правое ядра нулевые. 2. Докажите, что всякое билинейное скалнрное произведение йч ь ХЕ-~-.я" (над полем Хс характеристики чь2) однозначно разлагается в сумму симметричного и антисимметричного скалярного произведения. 3. пусть йч /.
Х й — зт — такое билинейное скалярное произведение, что свойство ортогональности пары векторов симметрично: из й(1ь1а)= О следует, что Е(/з, Ц= О. Докажите, что тогда и либо сямметричво, либо антисимметрично. (Указания. а) Пусть 1, т, лев Д Докажите, что Е(1,е(1,л)т — я(/,т)л) = О. Пользуясь симметрией ортогональиостн, выведите отсюда, что й(1,л)й(т, 1)= е(л, 1)е(1, т). б) Положив л = 1, выведите отсюда, по если е(1, т) чье(т, 1), то я(1,1)= О. в) Покажите, что Е(л,л)= О для любого вектора ать, если Е несимметрично. С этой целью выберите 1, т с е(1, т) чь Е(т, 1) и раэберите отдельно случаи е(1, и) чь е(л, 1), е(1, л) и(л, 1).
г) покажите, что если й(л,л) О для всех л азД то е антиснмметрично.) 4. Дайте классификацию одномерных ортогональных пространств над коаечным полем Зт характеристики чь2, показав, что а"/(Зть)з есть циклическая группа второго порядка. (Уклзллне: Покажите, что ядро гомоморфизма Жч -+-ЗС'. хь-ь кь имеет порядок 2, пользуясь тем, что любой многочлен над полем имеет не больше корней, чем его степень.) б. Пусть (Д Е) — линейное пространство размерности л с невырожденным скалярным произведением.
Докажите, чэо семейство веиторов (еь ..., е ) в й линейно независимо тогда и тольио тогда, когда матрица (а(ел ад) невырождена. 2 3, Теоремы классификации 1. Основная цель этого параграфа — дать классификацию конечномерных ортогональных, эрмитовых и симплектических пространств с точностью до изометрии. Пусть (1., д) — такое пространство, 1.ос: /.
— его подпространство. Ограничение у на 1.о является скалярным произведением на /о. Назовем 1.о невырожденныэь если ограничение у на /.о невырождено, и изотропным, если ограничение д на /.о равно нулю. Существенно, что если даже 1. невырождено, ограничения д на нетривиальные подпространства могут быть вырожденными или нулевыми.
Например, в симплектическом случае вырождены все одномерные подпростраиства, а в ортогональном пространстве Кэ с произведением х,у, — х,у, вырождено подпростраиство, натянутое на вектор (1, 1). Ортогональным дополнением к надпространству /.о с: /. называется множество Е„~-(1ев/.(д(1о, 1)=0 для всех !о~ Ц (не путать с введенным в первой части ортогональным дополне- пнем к Еы лежащим в Е', здесь мы им пользоваться не будем). Легко видеть, что Е~ является линейным подпространством в 1..
2. Предложение. Пусть (1, д) конечномерно. а) Если надпространство Еьс: Е невырождено, то Е,=Еь9Е~. б) Если оба надпространства Еь и Я невырождены, то М)'=~ . Доказательство, а) Пусть д: Е- Е' (или 1,*) — отображение„ассоциированное с д, как в предыдущем параграфе. Обозначим через Ь его ограничение на Еы дь'. Еь- Е* (или Е'). Если Еь невырождено, то Кег уь = 0: иначе в Еь есть вектор, ортогональный ко всему Е н тем более к Еы Поэтому Йш!тЬ = Йт1.ь. Это означает, что когда 1ь пробегает Еы линейные формы д(1р, ) от второго аргумента из Е нли Е пробегают ЙшЕь-мерное пространство линейных форм на Е или Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
