1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 27
Текст из файла (страница 27)
в) Любой ортогональный базис невырожденного надпространства (.ь ~ 1. можно дополнить до ортогонального базиса всего пространства 1.. Действительно, Ь = 1 9 Ьо, и в качестве дополнения можно взять ортогональный базис М. Искать его можно методом Грама †Шмид, если сначала как-нибудь дополнить базис (,ь до базиса Т., позаботившись о невырожденности промежуточных подпространств.
г) Пусть (е', ..., е„') — базис (Т„ д), а (еь ..., е„) — его ортогонализация. Положим а;=д(еье~) — это единственные ненулевые элементы матрицы Грама базиса (е~). Будем считать, что й эрмитова или а ортогональна над (г. Тогда все числа а, вещественны, и сигнатура д определяется количеством положительных и отрицательных чисел аь Покажем, как восстановить ее по минорам исходной матрицы Грама 6=(д(еи е')).
Пусть 6; — (-й диагональный минор, т. е. матрица Грама (еи ..., е',). Если А~— матрица перехода к базису (еь ..., ед), то йе((д(еы е~))~~к у<ю=аы ..а!= йе((АюбсА~) =бе(Ос(йе(А;) в ортогональном случае или аы ..а~ = де((А)О~А~) = йе( 6;) йе( А; Г в эрмитовом случае. Поэтому всегда знак а,...а, = знак йе( Оь Итак, сигнатура формы д определяется числом положительных и отрицательных элементов последовательности де$ Сг йе1 Сл Вг1С * ' ' ' ВЫ С„ В частности, форма и (и ее матрица 6) положительно определена тогда и только тогда, когда все миноры де(6~ положительны (напомним, что 6 либо вещественна и симметрична, либо комплексна и эрмитово симметрична). Этот результат называется критерием Сильвестра.
Более общо, для невырожденной квадратичной формы над любым полем тождество а,...а, = йе(6; (йе( А,)' Показывает, что исходную форму с симметричной матрицей С и невырожденныли диагональными минорами 6; можно линейным преобразованием переменных привести к виду Х,,', ' Ве1 О 1 1 ибо квадраты (де(А~)з, мешающие непосредственно выразить аь через ое(СЬ можно внести сомножителями в переменные. Этот результат называется теоремой Якоби.
5. Билинейные формы на пространствах функций. Рассмотрим ункции (ь (ь, заданные на отрезке (а, Ь) вещественной прямой возможно, а = — оо, Ь = со) и принимающие вещественные или комплексные значения. Пусть 6(х) — фиксированная функция от хев(а, Ь). Билинейные формы на пространствах функций в анализе часто задаются выражениями типа ь я () „Ц = ~ 6 (х) 1, (х) ~, (х) йх а или (полуторалинейный случай) ь у (1п 6) = 1)6 (х) Ых) Ы4 йх а Разумеется, 6, )1 и ~з должны удовлетворять каким-то условиям интегрируемости; в последующих примерах оня будут выполнены автоматически. функция 6 называется весом формы у. Значение у(), 1) = ~ 6(х)1'(х)'йх или $ 6(х)11 (х) 1тах а Ю есть взвешенное квадратичное среднее функции ( (с весом 6); если 6 ) О, его можно рассматривать как некоторую интегральную меру уклонения ( от нуля. Типичная задача аппроксимации функции ( линейными комбинациями некоторого заданного набора фУнкций 1ь ..., ~„...
состоит в поиске таких коэффициентов аь ..., а„, ..., которые при данном и минимизируют взвешенное средпсе квадратичное функции У-Е А. Позже будет видно, что коэффициенты а~ особенно просто находятся в случае, когда (Ц образуют ортогональную или ортонормированную систему относительно скалярного произведения д. В этом параграфе мы ограничимся явным описанием нескольких важных ортогональных систем 6. Тригонометрические мпогочлепы.
Здссь 6 = 1, (а, Ь) = = — (0,2п). Тригонометрическими много ьленахщ (или лтогочленали Фурье) называются конечные линейные комбинации функций соьпх, в1п пх или конечные линейные комбинации функций е'"", и вн Х. Обычно первые применяются в теории вещественнозначных функций, а вторые — комплекснозначных.
Поскольку е'"" = соь их+ 1в(п пх, над С оба пространства многочленов Фурье со- впадают. Над 11 используется билинейная метрика, над С' — полу- торалинейная. Функции (1, сових, ь1п пх~1п ~ 1) и (е'™~п ен Х) ли- нейно независимы (как над 11; так и над С). Кроме того, они об- разуют ортогональную систему, как следует из легко проверяемых формул: оя ьо (и при т — — п>0, созтхсозпхйх= 1 в(п тх в(п пхо(х = ~ ~0 при т~п, ол соьтх з(ппхс(х=О оо ь — (2п при т=п, Е1ехЕЫкв(Х Е1Оо-п1оГ(Х (О при т ~п. Системы ( ч( —, з, сових, — ~ в(ппх1п э1)~и ~ — е"™1п ен у~ поэтому ортонормированы.
Скалярные произведения любой функ- Ции 1 на 10,2п) с элементами этих ортонормированных систем на- зыва1этся коэффициентами Фурье этой функций: ао —— — ) — ~ 1(х) о(х, о а„= = ~ ((х) сов пх1(х, и' 1, 1 о Ь„= — ~ 1(х) в1п пхни(х, п)1, 1 о для вещественных функций ( и ь а„== 1(х)е """Их, ~/2л .1 для комплексных функций.
Если сама функция 1 является много- членом Фурье, то по формуле разложения из п. б 5 3 имеем ((х) ==ао+ — ~~ (а„сов пх+ Ь„в(п пх) 116 для вещественных функций ! и 1(х) = — ~! а„а'"' для комплекснь!х функций !. Суммы справа, разумеется, конечны в рассматриваемом случае. Бесконечные ряды такой структуры называются рядами Фурье. Вопрос об их скодимости вообще и сходимости к той функции 1, коэффициентами Фурье которой являются а„Ь„в частности, исследуется в одной из важнейших глав анализа.
7. Миогочлены Лежандра. Здесь 6 = 1, (а, Ь) =( — 1, 1). М(нгочлены Лежандра Рь(х). Р!(х), Рз(х), ... определяются как результат процесса ортогонализации, примененного к базису (1, х, хз, ...,) пространства вещественных многочленов. Обычно они нормируются условием Р„(1) = 1. В такой нормировке их явный вид дается следующим результатом." 1 8. Предложение.
Р,(х) 1, Р„(х)= — „, — „„(х' — 1)", гг~)1. Доказательство. Так как степень многочлена (хз — 1)" д!! равна 2л, степень -~-я-(хз — 1)" равна л, так что Р„..., Р! порождают то же пространство над 11, что и 1, х, ..., х'. Поэтому для проверки ортогональиостн Рь Р!, ! чь !', достаточно убедиться, что ! ~ хьР„(х)г!х=О при й<я.
— ! Интегрируя по частям, получим дл хь — я- (хт — ! )" !(х !!» -! ! ! Первое слагаемое обращается в нуль, ибо (хз — 1)" в точках ~! имеет корень кратности л, а каждое дифференцирование снижает кратность корня на единицу. Ко второму слагаемому можно применить аналогичную процедуру; после й шагов получится интеграл, пропорциональный !и — ь лп — ь — ! (хэ — 1)" Нх= (хх — 1)" ~ =О. с!х" ~ л!!" — ! — ! Далее, по формуле Лейбница и лл а з ла-А л„тг[(х — 1)" (х + 1)") = ~ ~ ~ †, (х — 1)" †„ , (х + 1)". а ь В точке х: 1 не обращается в нуль только слагаемое, отвечаю- щее А = и, так что что завершает доказательство.
9. Многочлены Чебышева. 6=, (а, Ь) =( — 1, 1). Мно- 1 ,(/( ' хг гочлены Т„(х), и» О, суть результат ортогонализации базиса (1, х, ха, ...). Явные формулы: Т (х) = — у11 — хл — „(1 — хт)" ит = соз (и агс соз х). ( — 2)" и( лй и (2п)1 ох" Нормировка 1 О при гп чь п, и/2 при гп=и Ф О, (х) т ОО Лх ч~! — х' — ! и при пг = и = О. 1О.
Многочлены Эрмита. Н=е ', (а, Ь) ( — оо, оо). Миогочлены Н,(х) суть результат ортогонализации базиса (1, х, хз,,). Янные формулы: Лз Н„(х) = ( — 1)" е*' — х„(е-х*). Нормировка: Г О при глемп, е-"'Нж (х) Н„(х) ((х = ~ ~ 2"п) (('и при пг и. Мы оставляем доказательства читателю в качестве упражнения. УПРЛЖНБНИЯ 1. Доказать, что зрмнтова или ортогональная форма а неотрицательно определена, т.е. н(1, 1) ~ О для всех 1ЫЕ, тогда и только тогда, когда есе диагональные миноры ее матрицы Грима неОтрицательиы. 2.
Доказать утвержденна и, 9 н 1б етого параграфа. 2 5. Евклидовы пространства 1. Определение. Евклидовым пространством называется конечномерное вещественное линейное пространство Е с симметричным положительно определенным скалярным произведениелг. 117 Мы будем писать (1, т) вместо л(1, ог) и (1! вместо (1, 1)н2; число !г! будем называть длиной вектора 1. Из результатов, доказанных в $3 — 4, следует, что: а) во всяком евклидовом пространстве есть ортонормированный базис, все векторы которого имеют длину 1; б) поэтому оно изометрично координатному свклидову пространству и" (и = д(тп А), в котором Ключом ко многим свойствам евклидова пространства является многократно переоткрывавшееся неравенство Коши — Буняковского — Шварца: л.
предложение. Для лгобых 11, 12 еи 1. имеем (1! 12) < ! 1! ! ! 1 !. Равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы 11, 12 линейно зависимы. Доказательство. В случае 1, = 0 имеет место равенство и 1ь 1, линейно зависимы. Будем считать, что 11М О. Для любого вещественного числа 1 имеем ! а, + 1, (г = (11, + 1„а, + 1,) =- 12 ! 1, !2+ и (1ь Ч + ! 1,7 ) О в силу положительной определенности скалярного произведения. Поэтому дискриминант квадратного трехилена справа неположителен, т. е. (11, 12)' — !11(г!1 !2<0. Он равен нулю тогда и только тогда, когда этот трехчлен имеет вещественный корень 1,. В этом случае !1311+12(г Ос=!.12= — 131„ что завершает доказательство. 3. Следствие (неравенство треугольника).
Для любых 1ь 1ь 13ыС !1! + 12 1~~!11 !+ !12 !1 !11 13 !~~!11 12 !+! 12 13 ! Доказательство. Имеем !1+1~('=!1 1+3(1 1~)+!1~!2~!1~(г+й!1~!!1 !+!1,Г= (! 11 ! + ! 12 !) . Заменив здесь 11 на 11 — 12 и 12 на 12 — 13, получим второе неравенство. 4. Следствие. Гвклидова длина вектора !1! является норман на 1. в смьгсле определения в и. 4 $10 ч. 1, а функцггя гЦ1, т) = !1 — т! — метрикой и смысле определения п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
