1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 26
Текст из файла (страница 26)
В частности, невырожденное симплектичеекое пространство обязательно четномерно. Пусть Т. — невырожденное симплектическое пространство, (еь ..., е„ е,+и ..., еы) — симплектнческнй базис в нем. Пусть — линейная оболочка (еь ..., е,); Та — линейная оболочка (е,+ь ..., ем). Очевидно, пространства (.1 и 1а изотропны, имеют половинную размерность и Е Е, 9 Ц. Каноническое отображение д: ь — I * определяет отображение д,: Г, )."и д,(1,)(Ц-д(1„1,). Это отображение является изоморфизмом, ибо б(т Ц = б)т Е, =д(шЕ~ и Кета,=О: вектор нз Кегй, ортогонален к Л„ибо Ьз изотропно, и к!.1 по определению, а Л невырождено.
Отсюда следует, что любое невырожденное силшлектическое пространство изометрично пространству вида Е Е~ 9 !ч с симплектической формой аШ, 1), (!, Г))=Ф) — ! (1); 1, ) (-ь 1. 1 Ь. Даунейшие подробности см. в $ 12. 7. Матрицы. Описывая скалярные произведения их матрицами Грама и переходя от случайного базиса к ортогональному или симплектическому, мы в силу результатов п. 2 $2 и п. 6 этого параграфа получаем следующие факты: а) Всякую квадратную симметричную матрицу 6 над полем Л' можно привести к диагональному виду преобразованием 6 А'ОА, где А невырождена.
При Х * 1! махаю добиться, чтобы на диагонали стояли только О, ~1, а при Х С вЂ” только 0,1; количества О и ~! (соответственно О и 1) будут зависеть лишь от О, но не от А. б) Всякую квадратную антисимметричную матрицу О над полем Л' характеристики чь2 можно привести преобразованием 6ь А'ОА, где А невырождена, к виду — Ет! 0 О Число 2т равно рангу О. в) Всякую эрмитову матрицу О над С можно привести к диагональному инду с числами О, ~1 на диагонали преобразованием О~-+А'ОА, где А невырождена. Количества О и .+! зависят лишь от 6.
8. Билинейные формы. Если векторы пространства (У.,а) с фиксированным базисом записываются координатами в этом базисе, то выражение а через координаты является билинейной формой от 2п переменных, и = б1ш йл ч 8=(хо ..., х„; Уо ..., Ц„)= ~„йнх,рг= х Ори с ьг ! где 6 — матрица Грама базиса. Замена базиса сводится к линейному преобразованию переменных хь ..., х„и уь ..., у„с помощью одной и той же невырожденной матрицы А в билинейном случае (или матрицы А для х, А для у в полуторалинейном слу- чае) . Предыдущие результаты означают, что в зависимости от свойств симметрии матрицы 6 форму можно привести таким преобразованием к одному из следующих видов, называсмых каноническими. Ортогональный случай над любым полем: г.! -э т угх, у) 1' а!х!у!', ! 1 над полем Ег можно добитьси того, чтобы а! О, ~1; над полем С вЂ” чтобы а; = 0 или 1.
Зрмитов случай (форма полуторалинейная): г.!' я 1х у) Е а!х!у!' 8-! а!=0 или 1. Симплектический случай: п=2г+го, и форма имеет вид ! т г д(х, у) ), (х!у,+! — у!х,+!). ! ! 9. Квадратичные формы. Квадратичной форл!ой !Е на пространстве Е называется такое отображение !Е: Е-+.Х, для которого существует билинейная форма Еи Е Р, Е-!-.й со свойством у(1)=Е!(Е, Е) для всех Еен 1,. Покажем, что если характеристика поля Л' не равна 2, то для всякой квадратичной формы !Е существует единственная сил!л!етричная билинейная форма д со свойством д(1)=д(1, 1), называемая поляризацией !Е.
Для доказательства существования положим !Е(1) = й(1, 1), где Е! — исходная билинейная форма, и д(1„т)= й(Е!(1, т)+й(т, 1)). Очевидно, д симметрична, т. е. У(1, т)=д(п1, 1). Кроме того, у (Е. 1) = — [Е! (Е, 1) + Е! (1, 1)) = !Е (Е). Бялике(!ность д сразу же следует из билинейности й. Для доказательства единственности заметим, что если !Е(1) = д!(Е, 1)=у~(1, 1), где дь дз симметричны и билинейны, то форма д=д! — дз тоже симметрична и билинейна, и д(1, 1)=0 для всех 1~ Е.
Но по рассуждению в доказательстве теоремы п. 3 отсюда следует, что д(1, т)=0 для всех 1, и!~ Е„что завершает доказательство. Заметим, что если !Е(1) = д(1, 1),д симметрична, то ь".(1 т) з 1!Е(1+т) !Е(1) !Е(п!)). 1 Е*гы установили, таким образом, что ортогональные геометрии (над полями характеристики Ф2) можно рассматривать как гео- метрии пар (с., д), где д: Е-!-Л' — квадратичная форма. В координатах квадратичная форма записывается в виде > !! д(х)= ~ ацх,хн !, ! =! где матрица (аи) определяется однозначно, если она симметрична: ан = ан. Например, д (х„х ) =апх';+ 2а„х,х + аз х~~.
Теоремы классификации означают, что невырожденной линейной заменой переменных квадратичную форму можно привести к сумме квадратов с коэффициентами: и д (х) = Х а!хэг !-! Если и» = К, можно считать, что а! = О, ~1; количества»м»+, ! нулей н плюс-минус единиц определены однозначно и составляют снгнатуру исходной квадратичной формы; »+.(-» --это сс ранг. Если 1г* = С, можно считать, что а! = О, 1; количество сднниц— это ранг формы; он также определен однозначно. й 4. Алгоритм ортогонализации и ортогональиые многочлены В этом параграфе мы опишем классические алгоритмы для отыскания ортогональных базисов и важные примеры таких бази- сов в пространствах функций. 1.
Приведение квадратичной формы к сумме квадратов. Пусть и д(хо ..., х„)= ~ ацх,хн ац — — ан, !,! ! — квадратичная форма над полем Л' характеристики ~2. Следую- щая процедура дает удобный практический способ отыскания ли- нейной замены переменных хь приводящей д к сумме квадратов (с коэффициентами). С л у ч а й 1.
Существует ненулевой диагональный коэффи- циент. Перенумеровав переменные, мы можем считать, что ап Ф О. Тогда д (хп ..., х„) =апх',+х,(2а, х,+... + 2а!„х„)+д'(х„..., х„), где д' — квадратичная форма от н — 1 переменных. Выделяя полный квадрат, находим где д" — новая квадратичная форма от п — 1 переменных. Полагая — ! у,=х, +ап (амх,+ ... +а,„х„), у,=х,, ..., у„=х„, 110 мы получаем в новых переменных форму апА+ 9 (уг» ° ° . у„). и следующий шаг алгоритма состоит в применении его к о". С л у ч а й 2. Все диагональные козфф(щиенты равны нулю. и Если вообще о =О, то делать ничего не нужно: а = Х О ° хи 1=1 Иначе„перенумеровав переменные, можно считать, что амМ=О.
Тогда д(хь ..., х„)= =2амх~хз+х!1(хм, х.)+хе!а(х»ь ".. х.)+д'(хм ", х„), где 1и 1~ — линейные формы, а д' — квадратичная. Положим х1 == у, + у„ха = у, — у„х~ = ун с ) 3. В новых переменных форма д приобретает вид 2аы(у,' — уД+ фч(уо у, ..., у ), где дч яе содержит членов с уь уь Поэтому к ней можно приме- 2 2 нить способ выделения полного квадрата и снова свести задачу к меньшему числу переменных.
Последовательное применение этих шагов приведет форму к виду ~ а,г~. Окончательная ли- нейная замена переменных будет невырожденной, так как таковы все промежуточные замены. Последняя замена переменных и, =.~Д а,)г, при а~ чь О в слу- чае М = й и и,=~/а,г; при а,ФО в случае Л'= С приведет форму к сумме квадратов с коэффициентами О, -+1 или О, 1. 2. Алгоритм ортогонализацин Грама — Шмидта. Он весьма близок к описанному в предыдущем пункте, но формулируется в более геометрических терминах. Мы будем рассматривать одно- временно ортогональный и эрмитов случай.
Исходными данными являются: пространство (Е,д) с ортого- нальной или эрмитовой метрикой, заданной в базисе (е,', ..., е„'). Пусть Е; — подпространство, натянутое на е'„..., еь ! = 1, ..., и, Процесс ортогонализации, примененный к базису (е'„..., е„'), можно рассматривать как конструктивное доказательство следую- щего результата: 3. Предложение. Предположил, что в описанных обозначениях все надпространства Еь ..., !., невырождены Тогда существует такой ортогональный базис (еь ..., е,) пространства !., что ли- нейная оболочка (еь ..., е~) совпадает с Е~ для всех 1 = 1, ..., и.
Он называется результатом ортогонализации исходного базиса (е'„..., е,',). Каждый вектор е; определен однозначно с точностью до улнозхения па ненулевой скаляр, 111 Д о к а з а т е л ь с т в о. Построим стае е~ можно взять ег Если еь искать е~ в виде с-ю е,=е. У хе', 1!! е; индукцией по !.
В каче, е,, уже построены, будем х, вне. Так как (е,. ° ° ег) порождают го а (е'„..., е', 1) и (е,, ... ° ' е,,) порождают Ц ь любой такой вектор е; вместе с еь ... °, е;-~ будетпорождать Е~. Поэтому достаточно добиться того, чтобы е~ был ортогонален к еь ..., е~ ь или, что то же самое, к ео ..., е', Эти условия означают, что д(е„е„')=О, х=1, ... ...,1 — 1, или 1-! ~' хд(е', е')=а(е'„е'„), й=1, ..., 1 — 1. Это система ! — 1 линейных уравнений для 1 — ! неизвестных хь Ее матрица коэффициентов есть матрица Грама базиса(е'„..., е', 1) пространства Е~ ь По предположению, она невырождена, так что х; существуют и определены однозначно.
Любой ненулевой вектор еь ортогональный к Ь ь должен быть пропорционален еь Более простая и решаемая сразу система уравнений получится, если искать е; в виде 1-! е, = е',. — ~ у еп у д Л; и ! считая еь ..., е~, уже найденными. Поскольку еь ..., е;, попарно ортогональны, из условий д(еье;) = О, 1(! (1 — 1, находим а(еа е!) у~ —— , 1=1, ..., 1 — 1. ! д(еГ е)' Возьмем теперь в качестве е; любой ненулевой вектор из 4. Замечания и следствия. а) Процесс ортогоналнзацин Грана — Шмидта чаще всего применяется в ситуации, когда д(й !) ) О Весь смысл этого доказательства состоит в явном выписывании систем линейных уравнений, последовательное решение которых определяет еь Заметим, что матрица коэффициентов первой системы суть последовательные диагональные миноры матрицы Грама исходного базиса: 6,=(п(е', е')), 1(1, й(й Если бы мы не стремились к алгоритмичности, проще всего было бы рассуждать так: в силу предложения и.
2 й 3 и невырожденности Е~ ~ имеем Ц Е~ 1 9 à à — 1 Йгп Ьг' — 1 — Йгп й' Йт Ь~-~ 1 для всех 1~ 1., 1Ф О, т. е. к евклидовым и унитарным пространствам, которые мы подробно изучим позже. В этом случае все подпространства 1. автоматически невырождены, и ортогонализировать можно любой исходный базис. Форма д с таким свойством называется положительно определенной, и ее матрицы Грама называю1 ся положительно определенными. б) В случае й" = К или С можно строить сразу ортонормированный базис. Для этого, отыскав вектор еь как в доказательстве предложения, следует тут же заменить его на ~д(еье~) (-ы~е~ или й(ец е;)-'пе~ (для ортогональных пространств над С).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
