1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 23
Текст из файла (страница 23)
В случае М=аУ' полилинейные отобра>ке- ния называются также полмлинейными функциями, или формами. В первой части мы уже встречались с билинейными отображе- ниями й'ХЕ Ж (1, 1) 1(1), 1~ Г 1~ й У(Е, М) Х Е М: (1,1) 1((), 1 е= У(1., М), 1е= Е. Определитель квадратной матрицы полилинеен как функция от ее строк и столбцов. Еще один пример: -> "> -~> йУ Х М -~ Ж (х, у) ~ ~ й'пх>у> — — х Оу, »т / где 6 — любая матрица размера пХ гп над Л", векторы из Я'", Л»э" представлены столбцами своих координат.
Общие полилинейные отображения мы будем изучать позже, в части, посвященной тензорной алгебре. Здесь же мы займемся важнейшим для приложений классом билинейных функций Е Х Е вЂ” йУ', а также, при йУ' = С, функций й Х Г-»- С, где Š— про- странство, комплексно сопряженное с Е (см.
ч. 1, $12). Каждая такая функция называется также скалярным произведением или метрикой, иа пространстве Е, и пара (Е, скалярное произведение) рассматривается как единый геометрический объект. Изучаемые в этой части метрики лишь в специальных случаях являются метриками в смысле определения п. 1 $ 10 ч. 1, и читатель не должен смешивать эти омонимы. Скалярное произведение Г.р', Е-~- С чаще всего рассматривают как полуторалинейное отображение д: Е Х ! -~ С, линейное по первому аргументу и полулинейное по второму: д(а1ь Ых) =-абй(1ь (т).
2. Способы задания скалярного произведения. а) Пусть й: Е Х Х Ь-э. Л' (или Е Х Е-~- С) — некоторое скалярное произведение на конечномерном пространстве Ь. Выберем базис (еь ..., е„) в Е и определим матрицу 6=(у(е,, с)); 1„1=1, ..., и. Она называется матрицей Грома базиса (еь ..., е„) относительно д, а также матрицей д в базисе [еь ..., е„). Задание (е;) и 6 вполне определяет д, потому что в силу свойства билинейности /" .э д (х, у) = д 1Х 2 х,е,, ~ у еГ ~ = ~ х~уГд (еь еГ) = х'6у. В случае полуторалинейной формы аналогичная формула приобре- тает вид / л д(х, у)=у~~ х,ео ~~' уГег)= -~~~ хсуГу(ео еГ)=х'бу.
Наоборот, если базис (еь ..., е„) фиксирован, а 6 — любая -> .Ъ -~ -Э. матрица размера п Ми над М, то отобразкение (х, у) — ~х'6у (или хл6у в полуторалинейном случае) опрсдел яет скалярное произведение на 1. с матрицей 6 в этом базисе, как показывают очевидные проверки. Таким образом, наша конструкция устанавливает биекцию между скалярными произведениями (билинейными илн полуторалинейными) на и-мерном пространстве с базисом н матрицами размера и Х п.
Выясним, как меняется 6 при замене базиса. Пусть А — матрица перехода к штрихованному базису. В координатах: х = Ах', где х — столбец координат вектора в старом базисе, а х — столбец его же координат в новом. Тогда в билинейном случае й(х, у)=х'6у=(Ах'~'6(Ау')=(х')' А'6Ау', так что матрца Грама штрихованного базиса равна Л'6А. Аналогично, в полуторалинейном случае она равна А'6Л. В первой части курса матрицы служили нам в основном для записи линейных отображений, и интересно выяснить, нет ли естественного линейного отображения, связанного с д и отвечающего матрице Грама С. Оно действительно существует, и его конструкция дает равносильный способ задания скалярного произведения. б) Пусть а: Е;к', Е- Л' — скалярное произведение. Поставим в соответствие каждому вектору (~ Е функцию ад Š— >М, для которой а,(т)=а(Е т), теи 7.
Эта функция линейна по т в билинейном случае и антилинейна в полуторалинейном, т е. а~ ни Е* или соответственно а~ ~ Е' для каждого Е Кроме того, отображение а: Е Е* нли Е Е": ( .а1=а(() линейно, канонически построено по а и однозначно определяет а по формуле а(Е т)=(а((), т), где внешние скобки справа обозначают каноническое билинейное отображение Е*М Е вЂ” >Л' или Е'Х Е-> С. Наоборот, по любому линейному отображению а: Š— Е* (или Е-> Е») однозначно восстанавливается билинейное отображение а: ЕХ! — Л' (или а: 1 Х Е- С) по той же формуле а(Е т) =(а((), т).
Связь с предыдущей конструкцией такова: если в Е выбран базис (е„..., е,) и а задается иатрит(ей 6 в этом базисе, то а задается иатрицей 6' в базисах (е„..., е„), (е', ..., е"), двойственных друг другу. Действительно, если а задано матрицей 6', то соответствующее скалярное произведение а в двойственных базисах имеет вид -> .> > -> .3' ~.> -> а(х, у) =(а(х), у) =(а(х))' у(или (з(х))'у) = (6'х)' у(илн '6'х)' у) = х'Су(или х'Су), что доказывает требуемое. Здесь мы пользовались замечанием, сделанным в $7 ч. 1, о том, что каноническое отображение Е*)( -»- )( Е->._#_' в двойственных базисах определяется формулой (х, у) = =х'у. 3.
Свойства симметрии скалярных произведений. Перестановка аргументов в билинейном скалярном произведении а определяет новое скалярное произведение а'. а'(Е т) =а(т, (). В полуторалннейном случае эта операция также меняет месте члинейного» н чполулипейного» аргументов; если мы хотим, чтобы этого не произошло, то удобнее рассматривать а"; ф (Е т) = а (т, (). У й' линейный аргумент будет на первом месте, если у д он был на первом месте, а полулинейный — соответственно на втором.
Операция д~ и' или и ~ф» легко описывается на языке матриц Грама: она отвечает операции 6»-»6' или 6»-»6' соответственно (предполагаетсв, что д„д', д' пишутся в одном и том же базисе Е). Действительно, -» -» -э -э -э -э -э -» й' (х, й) = д (р, х) = у'Ох = (у'6х)' = х'6»у, -э -э .э ьз .э — -э -ъ. — » й'(х, у)=и(у, х)== »»'6х=(у'6х)'=х'6»у.
Мы будем заниматься почти исключительно скалярными произведениями, которые удовлетворяют одному из следующих условий симметрии относительно этой операции: а) р' = р. Такие скалярные произведения называются симметричныл»и, а геометрия пространств с симметричным скалярным произведением называется ортогональной геометрией.
Симметричные скалярные произведения задаются симметричными матрицами Грама 6. б) д' = — д. Такие скалярные произведения называются анти- симметричными, или симплектическими, а соответствующие геометрии называются симплектическими. Им отвечают антисимметрнчные матрицы Грама. Полуторалинейный случай: в) д'= и. Такие скалярные произведения называются зрмитоео сил»метричными, или просто зрмитоеылш, а соответствующие геометрии — зрмитоеыми.
Им отвечают эрмитовы матрицьг Грама. Из условия д' = д. следует, что й((, 1) = й(), () для всех ) е— : Т„т. е. все значения р(1, () вещественны. Эрмитово антисимметричные скалярные произведения обычно не рассматриваются специально, ибо отображение д э»д устанавливает биекцию между ними н эрмитово симметричными скалярными произведениями: а' =-й (ч) = — (й. Геометрическис свойства скалярных произведений, отличающихся друг от друга лишь множителем, практически одни и те же.
Напротив, ортогональная геометрия во многом отличается от симплектической: редукция соотношений й» = д и д' = — д друг к другу таким простым способом невозможна. 4. Ортогональность. Пусть (Е, д) — векторное пространство со скалярным произведением. Векторы („(зыби называются оргогональными (относительно и), если й(1ь(,)= О. Подпространства ь», йзс: Е называются ортогональными, если д((»,(х)=0 для всех Рь ):' йь Основная причина, по которой важны лишь скалярные произведения с одним из свойств симметрни предыдущего пункта, соетоит в том, что для ннх свойство оргогональности векторов или подпространсте симметрично относительно этих еекто- ров или надпространств. Действительно: если д' = ~д или д' = д, то у(1, т)=О«:"-~д'(1, т)=О«=:-я(т, 1)=О и аналогично в эрмитовом случае (по поводу обратного утверждения см.
упражнение 3). Если не оговорено обратное, в дальнейшем мы будем рассматривать только ортогональные, симплектические или зрмитовы скалярные произведения. Первое применение понятия ортогональности содержится в следующем определении. 5. Определение. а) Ядром скалярного произведения д на пространстве Е называется множество всех векторов 1еи Е, ортогональных ко всем векторам Е.
б) д называется' невырожденным, если ядро формы д тривиально, т. е. состоит только из нуля. Очевидно, ядро формы у совпадает с ядром линейного отображения у: 1.— Е' (или Е-ьЕ) и потому является линейным подпространством в Е. Поэтому задание невырожденной формы д можно заменить заданием изоморфизма Е->-Е' (или Е').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
