1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Другая характеризацня ~Х~ состоит в том, что есть радиус кривизны графика на дне или в вершине (О, 0). Действительно, уравнение окружности радиуса Я, касающейся оси х! в начале, имеет вид х',+(х,— Я)»=Я', и вблизи нуля имеем к» ! х 2 2я' 3. Двумерный случай. Чтобы разобраться в нем, перейдем к ортонормированному базису в и», в котором а приводится к сумме квадратов с некоторымн коэффициентами! д (дп д.,)=Х!д!+ Х.,д!.
Прямые, натянутые на элементы этого базиса, называются главными осями формы д; они, вообще говоря, повернуты относительно исходных осей. Числа Х! и»«определены однозначно, будучи собственными значениями самосопряженного оператора А, для кото+»! рого д(х)=х Ах (в старых координатах). При Х! чь1, сами оси также определены однозначно, но при Х! = Х~ их можно выбирать произвольно (лишь бы они были ортогональны).
Для каждого из коэффициентов Х!, Х» есть три основные возможности (Х; ) О, Х, ( О, Х, =0), но соображения симметрии позволяют ограничиться четырьмя основными случаями (из которых только первые два невырождены). а) х»=~ !д,'+Щ Х!. )»)О График является эллиптическим параболоидо!я, имеющим форму чаши, Прилагательное «эллиптический» объясняется тем, что проекции горизонтальных сечений А,д»+ +Х д'„'=с при с»0 суть эллипсы с полуосями ~/сХ,', направленными вдоль главных осей формы д (при Х! = Х» — окружности). (Зтг! проекции являются линиями уровня функции д.) Существительное «параболоид» объясняется тем, что сечения графика вертикальными плоскостямн ад! + Ьдр = 0 суть параболы (при ).! — — )» график является параболондом вращения).
Случай Хь ),» «- Π— это та же чаша, но опрокинутая. б) к,=-А,у~ — Х,у~, тч, Х > О. График является гиперболишским аараболоидом. Линии уровня д суть гиперболы, непустые для всех значений хм так что график уходит и выше, и ниже плоскости х» = О; сечения вертикальными плоскостями — по-прежнему параболы. Линия уровня х» =Π— это «вырожденная гипербола». сводящаяся к своим асимптотам, двум прямым ~Я,у~ ~ ЧЯу»=н. Эти прямые в )!~ называются «асимптотическими направления»ш» формы д. Если рассматривать д как (неопределенную) метрику в Й», го аснмптотические прямые состоят из всех векторов длины нуль. Аснмптотические прямые делят и» на четыре сектора. Линии уровня д =к, прн х» О лежат в паре противоположных секгоров; когда х» -+О сверху, они «прижимаются» к асимптотам, превращаются в нвх при х» = О и при х» ( О, «пройдя насквозь», оказываются в другой паре противоположных секторов.
Вертикальные сечения графика плоскостями„проходящими через асимптотичесхие прямые, суть сами эти прямые, «распрямившиеся параболы». Случай — А,у-,'+ Л,.у,,', Лп А., > О, получается из разобранного заменой знака х». в) г,= Ауп Х > О. Поскольку от и» функция не зависит, сечения графика вертикальными плоскостями у» — — сопз! имеют один и тот же вид: весь график заметается параболой х.
=Ад» в плоскости (пох») при ее движении вдоль оси у, и называется параболическим цилиндром. Линии уровня суть пары прямых у, = ~ )/х,Я. ', при х» =О они склеиваются в одну прямую; весь график лежит над плоскостью х» — — О. Случай х,= Хуо Х ( О получается «опрокидыванием». г) х, = О. Это — плоскость. 4. Общий случай. Теперь мы в состоянии понять геометрию графика х„ы = 4(хь ..., х,) прн произвольных значениях л. Перейдем к главным осям в !«", т. е. к ортонормированному базису, в котором д (у„..., у„) = ~ Ъ.,уп )и ...
Х чь О. Как выше, 1 ! они определяются однозначно, если т = п н )«Ф Х> при ! чь! или если т=и — 1 и Х,~Х, при )чь(. От координат у +ь ..., у„ форма д не зависит, поэтому весь график получается из графика А,у' в Й +' переносом вдоль подпространства, натянутого на ! (е ць ..., е,). Иными словами, вдоль этого подпространства график «цилиндричен».
Нетрудно убедиться, что оно является как раз ядром билиненной формы, полярной к д, и тривиально тогда и только тогда, когда д невырождена. Пусть 4 невырождена, т. е. т = п. Можно считать, что Хь ... ..., Л,>О, Л,+ь ..., Э.,+. (О, т. е. (г,з) — сигнатура формы д. Если форма д положительно определена, т. е. г= и, з =О, то график имеет вид и-мерной чаши: все его сечения вертикальными плоскостями суть параболы, а все линии уровня д= с О суть эллипсоиды с полуосями ~/сЛ, направленными вдоль главных осей.
Уравнение такого эллипсоида имеет вид т. е. он получается из единичного шара растяжениями вдоль ортогональных направлений. В частности, он ограничен: целиком лежит в прямоугольном параллелепипеде ! х! ~ ~~/сЛт!, =1, ..., и. Ниже мы убедимся, что изучение вариации длин по. луосей разных сечений эллипсонда (тоже эллипсоидов) дает полезную информацию о собственных значениях самосопряженных операторов. При г = О, з = и получается купол. В обоих случаях график называется (и-мерным) эллиптическим параболоидом. Промежуточные случаи гечьО приводят к многомерным гиперболическим параболоидам разных сигнатур.
Ключом к их геометрии является снова структура конуса асимптотических направлений С в К", т. е. нулевого уровня формы д(у!, ..., у„) = О. Конусом он называется потому, что заметается своими образуюи1ими: прямая, содержащая один вектор из С, целиком лежит в нем. Чтобы составить себе представление о базе этого конуса, рассмотрим его пересечение, скажем, е линейным многообразием у„= 1: — Л-' ) Л у'=1 ! ! Видно, что база является множеством уровня квадратичной формы от и — 1 переменной. Простейший случай получается, когда она положительно определена: тогда это множество уровня есть эллипсоид, в частности, оно ограничено, и наш конус похож на «школьные» трехмерные конусы. Этот случай отвечает сигнатуре (и — 1, 1) или (1,п — 1); при и =4 пространство (11',д) есть знаменитое пространство Минковского, которое будет подробно изучено ниже.
Для других сигнатур С устроен заметно сложнее, ибо его база «уходит на бесконечностью Сечения графика д вертикальными плоскостями, проходящими через образующие С, совпадают с этими образующими. Для любых других плоскостей получаются либо «чаши», либо «купол໠— асимптотические направления разделяют эти два случая.
Поэтому конус С делит пространство )ч"~,С на две части, сплошь заметаемые прямыми, вдоль которых д соответственно положительна или отрицательна. Одна из этих областей называется совокупностью внутренних пол конуса С, другая — его внешностью. Геол!етрический смысл сигнатуры (г,з) грубо, но наглядно можно описать следуюц!ей фразой. график формы д по т направлениям уходит вверх, а по з — вниз.
Хотя мы работали все время с вещественными квадратичными формами, те же результаты применимы к комплексным эрмитовым формам. Действительно, овеществление С" есть й'", и овеществление эрмитовой формы ~ аих,х, а, =ад, есть вещественная квадратичная форма. При овеществлении все размерности удваиваются: в частности, комплексная сигнатура (г,з) превращается в вещественную сигнатуру (2«, 2з). Опишем теперь вкратце и без доказательств лва приложения этой теории в механике и тснюлогии. 5. Колебания. Представим себе сначала шарик, который может кататься в плоскости Р' под действием силы тяжести по желобу формы х,=л.х,'. Точка (0,0) во всех случаях является одним из возможных движений шарика — положениеи равновесия.
При )с ) 0 это положение устойчиво: небольшое начальное отклонение шарика по положению или скорости приведет к его колебаниям около дна чаши, При А ( 0 оно неустойчиво: шарик свалится вдоль одной из двух ветвей параболы. При А = 0 оно безразлично относительно отклонений но положению, но не по скорости: шарик может оставаться в любой точке прямой х,=О либо равномерно двигаться в любую сторону с начальным импульсом. Оказывается, что математическое описание большого класса механических систем вблизи пх положений равновесия хорошо моделируется качественно многомерным обобщением этой картинки: движением шарика вблизи начала координат по многомерной поверхности х,+~ = а(хь ..., х ) под действием силы тяжести.
Если д положительно определена, любое «малое» движенис будет близко к суперпознции малых колебаний вдоль главных осей формы д. Вдоль нулевого пространства формы возможен уход на бесконечность с постоянной скоростью. Вдоль направлений, где а отрицательна, возможно свалнвание вниз. Наличие как нулевого пространства, так и отрицательной компоненты сигнатуры свидетельствует о неустойчивости положения равновесия и сомнительности приближения «малых колебаний». Важно, однако, что когда это равновесие устойчиво, малые изменения формы чаши, по кото рой катается шарик (илн, более технически, потенциала нашей системы), не нарушают этой устойчивости. Чтобы понять это, вернемся к сделанному в начале параграфа замечанию о приблнхсенном представлении любой (скахсем, трихс.
лы дифференцируемой) вещественной функции Цхь ..., х„) Вблизи нуля она имеет внд ~(хо, х„)=~(0, ..., 0)+ ~ах;+ ~ Ьс хх + о~~х~„(х,Р; l' 1.. ~ ;, / ! с ! где а, = — (О, ..., 0), Ьп == — (О, ..., 0). 1бэ Вычтя из 1 ее значение в нуле и линейную часть, получаем, что остаток квадратичен с точностью до членов более высокого по- рядка малости. Это вычитание означает, что мы рассматриваем отклонение графика 1 о1 касательной гиперплоскости к этому гра- фику в нуле. Обозначив эту касательную плоскость через К', обнаруживаем, что поведение 1" вблизи нуля определ ется квад/ ац рати«ной формой сматрицей ( 10, ..., 0)) по крайней мере, ~ ах,ах, когда эта форма невырождена,— иначе нужно учитывать члены более высокого порядка малости.
(Например, график хх= х; слева уходит вниз, а справа — вверх; графики квадратичных функ- ций так себя не ведут Двумерный график х,= х'-, + х', — это «обезьянье седло», в одном криволинейном секторе хх+ хзг < 0 уходящее вниз — «для хвостам) Точка, в которой дифференциал д! = т — дх, обращается х а) ах, ! ! а( в нуль (т. е. =0 для всех !=1, ..., и).
называется ах! критической точкой функции ) (в наших примерах это было на- чало координат). Она называется невырожденной, если в ней квадратичная форма ~ Лх, Лх! певырождена. Предо~ ах ах с/ ! шествующее обсуждение можно резюмировать в одной фразе: вблизи невь!рожде, ной критической точки график функции распо- ложен относительно касательной гиперплоскости, как график ее квадратичной части. После этого можно доказать, что малое изме- нение функции (вместе с ее нервымн и вторыми производными) может лишь слегка сдвинуть положение невырожденной крити- ческой точки, но не меняет сигнатуры соответствующей квадра- тичной формы и потому общего поведения графика (в малом). Можно также доказать, что вблизи невырождениой критиче- ской точки можно сделать такую гладкую и гладко обратимую (хотя, вообще говоря, нелинейную) замену координат у! = =у;(х<, ..., х„), ! = 1, ..., п, что в новых координатах 1 будет задаваться в точности квадратичной функцией: и )(у!, ° ° °, у 1=!»(0 ° 0)+ Х Ьцу!ур !.г ! Строгое изложение теории малых колебаний читатель сможет найти в книге В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
