1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Замена класса только умножает де1 на положительный скаляр. 3. Предложение. а) .й' является четырехмерным вещественным пространством. б) На М имеется единственная симметричная метрика (1, гп), для которой (1, !)= бе11. Ее сигнатура равна (1, 3), так что Ж представляет собой пространство Минковского. Доказательство. а) Пространство эрмнтовых 2Х2-матриц г!01 имеет базис о,= ! о, ) =Е,; оь оь оз, тле оь !» 1,— матрицы Паули. Поэтому б1т Ж = 4. б) Покажем, что в матричной реализации я' функция бе1! представляет собой квадратичную форму, поляризация которой имеет вил (1, и) = — (Тг1Тгт — Тг1т1, 1 2 явно симметричный н билинейный.
В самом деле, если Х, р — собственные значения 1, то де11= кр, Тг1= Х + р, Тг !» = !»+ р', так 1" 4 что Лр = де(1= =,((Л+ р)' — 1Р— рз) = — ((Тг 1)' — Тг 1») (1, 1). 1 ! Теперь очевидно, что (вь,вь ам о») является ортонормированным базисом »1 с матрицей Грама д)ад(1, — 1, — 1, — 1), так что сигнатура нашей метрики равна (1, 3). Это завершает доказательство. 4. Следствие. Пусть Е с:.Ж вЂ” времениподобная прямая. Тогда Ьх с метрикой †(1,гп) является трехмерным евклидовым пространством, и .г1 = Е 9 их. Доказательство.
Утверждение ьй' Ейных следует из предложения п. 2 $3, ибо времениподобные прямые, очевидно, невырождены. Так как сигнатура метрики Минковского на .Ж есть (1,3), а на Е-' — (1, 0), на Ех она должна быть (О, 3), что завершает доказательство. Перейдем теперь к изучению геометрического смысла скалярных произведений. Неопределенность метрики Минковского приводит к замечательным отличиям от евклидовой ситуации, которые имеют важный физический смысл. Самые яркие факты связаны с тем, что неравенство Коши — Буняковского — Шварца для времениподобных векторов оказывается обращенным в другую сторону. 6.
Предложение. Пусть (1ь 1,)) О, (1м 1»)) О, й ен.гу. Тогда (1. 1)'~(1о 1)(1м 1»). Равенство достигается тогда и только тогда, когда 1ь 1» линвбно зависимы. Доказательство. Прежде всего проверим, что квадратный трехчлен (11~ + 1м 11, + 1») всегда имеет вещественный корень 1ь. В матричной реализации й условие (1ь 1»)) 0 означает, что де(1».» О, т. е. что 1» имеет вещественные характеристические корни одного знака, скажем, е» (+1 или — 1). Аналогично, пусть е~ — знак собственных значений 1ь Тогда при 1 — ~- — (з~е»)ьо матрица 11~+ 1» имеет собственные значения, примерно пропорциональные собственным значениям 1~ (ибо. 1~+ 1 — Ч» стремится к 1~); и их знак будет — ем а при 1= 0 матрица 01~ + 1» — — 1» имеет собственные значения знака еь Следовательно, при изменении 1 от 0 до — (е,е») ьь собственные значения 11~+ 1» проходят через нуль, и де1(11~+ 1») обращается в нуль.
Значит, дискриминант этого трехчлена неотрнцателен, так что (1~ 1»)' > (1~ 1~) (1, 1») Если он равен нулю, то некоторое значение 1» ен м является двукратным корнем, и матрица 1»6 + 1», имея два нулевых собственных значения и будучи диагонализируемой (она эрмитова1), равна нулю. Поэтому 1~ и 1» линейно зависимы. 6. Следствие (чнеравенство треугольника в обратную сторону»). Если 1ь 1» времениподобны и (1ь 1») ) О, то 1~ + 1» времениподобен и !1~+1» !~~(1~ !+ !1»! (где ]1(=(1, 1)иа), и равенство достигается тогда и только тогда, когда 1ь 1«л нейно зависимы. Д о к а з а т е л ь с т в о.
! 1! + 12 ! = ! 1! !' + й (1! 12) + ! 12 ! ~~ ~ ! 1~ !'" + 2 ! 1~ ! ! 1« ! + ! 1г !' = (! 1! 1+ ! 1г !)'. Равенство лостигается лишь при (1» 1х) =!1~! ! 1з!. Дадим теперь физические интерпретации этих фактов. 7. «Парадокс близнецовэ. Времениполобные векторы 1ь 1з с (1ь 1з) ) 0 назовем одинаково временно ориентированными. Из предложения п. 5 вилио, что для них (1» 1«) ) О. Вообразим лвух близнецов-наблюдателей: один инерциалеи и движется по своей мировой линии от точки 0 до точки 1~ + 1з, другой походит до той же точки от начала отсчета, двигаясь сначала инерциально от 0 до 1~ и затем от 1~ ло 1~ + 1«: вблизи нуля и вблизи 1, он включав~ двигатели своего космического корабля, чтобы сначала улететь от брата, а затем снова вернуться к нему. Согласно слелствию п.
6 собственное время, протекшее для путешествующего брата, будет строго меньше времени, протекшего по часам домоседа. 8. Множитель Лоренца. Если 1~ и 1з времениподобны и одина- ково временно ориентированы, то по предложению п. 5 (й )2) ) 1, и мы не можем интерпретировать эту величину как косинус угла. Чтобы понять, что она собой представляет, снова прибегаем к физической интерпретации. Пусть !1~!= 1, !1«!=1; в частности, ииерциальный наблюда- тель 1~ прожил елиницу собственного времени с момента начала отсчета. В точке 1, физическое пространство олновременных со- бытий для него есть 1~ +(Ю~)г. Мировая линия наблюлателя К1« пересекает это пространство в точке х1з,'где х нахолнтся из условия (х1« — 1» 1,)=О, т. е.
х = (1» 4) ', Расстояние от 1~ до х1г пространственнопо- добпо: для наблюлателя Ю~ — это расстояние, иа которое К1« ула- лился от него за елиницу времени, т. е. относительная скорость Юь Она равна (учесть, что у метрики в (щ) х следует изменить знак!) = ! — (х1 — 1, х)з — 1 )1 "= ! — ( 1« — 1, х)з))'а = = ! — Хг(1» 12) + х (1» 1))юр = [ — (1» 1) 2 + 1)ЗР, откуда (1~ 1)- 1 —, Это знаменитый мноеситель Лоренца; часто его пишут в ниле 1 — явно указывая, что скорости измеряются по отноше- ,~/) «21«Я нию к скорости света. В частности, х= — ='- ч1 — о, 1 О» 4) т.
е. в момент собственного времени единица для первого наблюдателя второй наблюдатель находится в его физическом пространстве, когда часы второго наблюдателя показывают Ь!1 — оз. Это — количественное выражение эффекта «сокращения времени» для движущегося наблюлателя, качественно описанное в предыдущем пункте. 9. Евклидовы углы. В пространстве (м(з)х, где 1з — времени- подобный вектор„геометрия евклидова, и там скалярное произведение имеет обычный смысл.
Пусть 1ь 4 — еще два времениподобных вектора с той же ориентацией. Мы можем спроектировать нх на (ц1»)з и вычислить косинус угла межлу проекциями. Предоставляем читателю самостоятельно убелиться в том, что для наблюдателя Й1« это — угол межлу направлениями отлета от него наблюдателей ц1! н Юз в его физическом пространстве. Абсолютного значения этот угол не имеет; другой наблюдатель Й1' увидит его лругим. 10. Четыре ориентации пространства Минковского.
Пусть (е!), (е!), !=0, ., 3,— два ортонормированныхбазиса в .зз'(е„е)= =(е.'„, е',)=1, (ез, е,) =(ео е',) = — 1 при ! = 1, ..., 3. По аналогии с прежними определениями назовем нх одинаково ориентированнылщ, если один перевалится в другой непрерывной системой иэонетрий 1з! Я- лГ, 0(1(~1, ~«= 10, 1!(е,) =е! Два условия одинаковой ориентированности, очевилно, необходимы: а) (е, е,') > О. Действительно, (е„, 1з(е ))з з1 по предложению п. 5, так что знак (е«,1!(ез)) не может меиЯтьсЯ пРи изменении 1, а (ез,)з(ез))=1. Выше мы назвали е и е' с таким свойством одинаково временно ориентированными. б) Опрелелнтель отображения ортогональной проекции 2 Ка!-ь ! ! ~„Ке,', записанного в базисах (е,) или (е,'), положителен.
! ! з з Действительно, проекция ~ Ке! -» )„й1! (е,) невырождена ни !-! ! ! при каком значении 1! иначе пространственноподобный вектор из з 3 2„йе, был бы ортогонален ~ м1з(е,') =(1 (ез))х т. е. прапор!=! ! ! ционзлен 1!(е',) — времениподобному вектору;это невозможно.
Значит, опрелелители этих проекций при всех 1 имеют одинаковый знак, а прн 1=-0 он пот!ожителен. Можно сказать, что пары базисов со свойством б) одинаково пространственно ориентированы. Наоборот, если лва ортонормированных базиса в зз имеют одинакову!о пространственную и временную ориентацию, то онн олннаково ориентированы, т. е. перевалятся лруг в друга непрерывной системой изометрий 1!. Чтобы построить ее, положим !ее + (1 — !) ес прежде всего 1, (е,) = . Из условия (е, е„')) 1 ~ ге,'+ 1! — !1 е, ~ следует, что (~(ее) времеииподобеи и имеет квадрат длины едпиица при всех 0( !(1. Далее, в качестве 1~(еьем еэ) выберем ортонормированный базис в (~(е,) '-, получающийся из проекции (еь ем ез) иа !~ (е,) х процессом ортогоиализации Грама — Шмидта; очевидно, ои непрерывно зависит от !. Ясно, что Г, (е ) = е,', а (),(е,), ~,(ет), 1,(е)) и (еп е'„е) суть одинаково ориеитированные ортоиормироваииые базисы в (е')х.
Их можно перевести друг в друга непрерывным семейством чисто евклидовых -вращеиий (е')х, оставляющих е, иеподвижиым. Это завершает доказательство. Обозначим через Л группу Лоренца, т. е. группу изометрий пространства М, или 0(1, 3). Пусть далее Л+ — подгруппа Л, сохраияющая ориентацию некоторого ортоиормироваиного базиса; Л~ — подмножество Л, меняющее его пространственную, ио ие времеииую ориентацию; Л вЂ” подмножество Л, меняющее его Ф временную, ио ие пространственную ориентацию; Л1 — подмиожество Л, меняющее его временную и простраиствеииую ориеитации.
Нетрудио убедиться, что от выбора исходного базиса эти подмножества ие зависят. Мы доказали следующий результат: 1!. Теорема. Группа Лоренца Л состоит из четырех связных компонент: Л = Л+~ 0 Л () Л+~ () Л~. Тождественное отображение лежит, очевидно, в Л+. Аиалогом Ф теоремы п.
12 $11 является следующий результат. 12, Теорема. Реализуем М как пространство матриц Грама эрмитовых метрик в М в базисе (йьйэ). Для любой матрицы Уе Ы.(2, С) поставим в соответствие матрице ! я М новую матрицу з(У)1= У'1У. Отображение з определяет сюръективный гомоморфизм Ы.(2, С) на Л+ с ядром (~=.Ег). Доказательство. Очевидно, что з(У)1 линейно по 1 и сохраняет квадраты длии: бс1(Г!У)= бе1 !. Поэтому е(У) ~ Л. Так как группа Ы.(2, С) связка, любой ее элемент можно иепрерывпо деформировать' в единичный, оставаясь внутри Ы.(2, С),— преобразование Лоренца з(1') можно иепрерывио деформировать в тождественное, так что з(У) еи Л+.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
