1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Поскольку з(Ы) = Ы и ф з(У~ Ут) = з(У~) з(Ут), з является гомоморфизмом групп. Если Р!У =1 для всех ! спи, то, в частности, Ра;17 = пи где ее = Е,, аь вм аз — матрицы Паули. Условие У)У=Е~ означает, что У унитарна; после этого условия Ро,У = Ра;(У') — ' = в; озпачает, что У = — ~Ее. .это было доказано в п. 12 $11. Таким образом, Кег з= (*Ег). Осталось установить, что з сюръективен.
Пусть 1: М-элое†преобразование Лоренца из Л+, переводящее ортонормированный Ф базис (е,) в (е',). Метрики на тэ, отвечающие ер и е,'„определены, ибо собственные значения как ем так и е,', имеют одинаковый знак, потому что де1 е„=- де1е,',= 1. Из (ем е„') ) О следует, что этн метрики одновременно положительно или отрицательно определены. Действительно, выше мы убедились, что соединяющий их отрезок ге„'+ (1 — 1е,), О (1( 1, целиком состоит из времениподобных векторов. Отсюда уже вытекает существование такой матрицы У~ Я.(2, С), что з(У) переводит е„в е', т. е. е' У'е У, где е0 и е' отождествлены с нх матрицами Грама. Действительно, У вЂ” это матрица изометрни(У6, е0) с ( ю", е'); априори ее определитель может быть равен — 1, но это противоречило бы возможности соединить У с Е, в Я (2, С) с помощью деформации 1', где е,'=(У )9 (е„) У, ~ — соответствующая деформация в Л'~.
Итак, з(У) переводит е в е'. Дальше остается показать, что евклидов поворот (з(У)ео а1У)е„з(У)ез) в (ен е'„ез) можно осуществить с помощью зЩ, где 0 ев Я.12, С) и г(0) оставляет е„на месте. Можно считать, что е,', представлен матрицей о0 в базисе (йьИх'1. Тогда мы должны выбрать 0 унитарной с условием У (з1У)е,) 0-'=е',для 1= 1, 2, 3. Это можно сделать по теореме п. 12 $11, ибо базисы(з1У)е,) и (е,'.), 1= 1, 2, 3, в (е')~ортонормированы и одинаково ориентированы. Доказательство окончено.
13. Бвклидовы повороты и бусты. Пустье„, е„' — два одинаково временно ориентированных времениподобных вектора длины единица, Ем Е' — ортогональные дополнения к ннм. Имеется стандартное преобразование Лоренца из Л~~, переводящее еэ в е,', которое в физической литературе называется бустол. При е,=е' это †тождественн преобразование.
При ево е,' оно определяется так: рассмотрим плоскость (Е,„1) Е,',)~-. Она содержат е, и е'. Сигнатура метрики Минковского на ней равна (1, 1). Поэтому существует пара единичных пространственноподобных векторов е„е',ен(Е,ДА')~, ортогональных к ес и е' соответственно. Буст оставляет на месте все векторы из Е 1) Е' и переводит е, в е'„е, в е', соответственно. Чтобы вычислить элементы матрицы перехода (ем е,1~ ) (е', е',1, заметим пРежде всего, чтоа=(е,„е') , где о — скорость относительного удаления ннерциалл- 1 /~ аи ' ных наблюдателей, отвечающих е, и е'. Далее, матрицы Грама (е, е,) и (е„', е',1 суть (, ).
поэтому ав — бз=1, ас — Ы=О, с' — сР= — 1. Из первого уравнения, зная а, находим Ь =, . Добавляя т/à — «' сюда условие, что определитель буста аа — Ьс равен единице, получаем с/ = а, с = Ь. Окончательно, матрица буста в базисе (еы е!, ем е»), где (ем е») — ортонормированный базис (Е„П Е;,)'-, имеет вид /~,и оо о !о о о! ч/! — ст /! я о о или в терминах пространственно-временийх координат » Р » У "о+ е«1 ««о+ «! у ~ х» хм ха хм у! — тт и! — е~ Стоящую в левом верхнем углу матрицу можно записать также как матрицу «гиперболического поворота» (ся 6 «Ь В) .ь о сь е найдя О нз условий 2 т/! — сР ' 2 З/! — «П Если исходить из двух одинаково ориентированных ортонормированных базисов (е„, е,, е„е») и (е,',, е'„е,',, е»), то преобразование Лоренца, переводящее один в другой, можно представить в виде произведения буста, переводящего е, в е', и затем евклидова поворота в (е')-г, который переводит образ базиса (е!, е,, е») после буста в базис (е'„е,', е')„оставляя е~т на месте.
14. Пространственные и временнйе отражения. Любое трехмерное подпространство Е с:Я, на котором метрика Минковского (анти)евклидова (т. е. прямая Еь времениподобна), определяет преобразование Лоренца, тождественное на Е и меняющее знак на Е'-. Все такие операторы называются отразсениязш времени. Любое трехмерное подпространство Е с: Ж, на котором метрика Минковского имеет сигнатуру (1,2) (т. е. прямая Е1 пространственноподобна), также определяет преобразование Лоренца, тождественное на Е и меняющее знак на Ет.
Все такие операторы называ!отся пространственными отражениями. Если фиксировать какое-нибудь отражение времени Т и пространства Р, то все элементы изЛ~~, Л ', Л" будут получаться из элементов Л+ умножением на Т, Р, РТ соответственно. й 13. Симплектические пространства 1.
В этом параграфе мы будем рассматривать конечномерные линейные пространства Е над полем Л' характеристики чь2, снабженные невырожденным кососимметрическим скалярным произведением [, 1: Е)(Е-+Л', и называть их симплектическими пространствами. Напомним свойства симплектических пространств, которые уже были установлены ранее, в 3 3. Размерность симплектического пространства всегда четна.
Если она равна 2г, то в пространстве существует симплектический базис [е», ..., е„; е,+», ..., ем), т. е, базис с матрицей Грама вида В частности, все симплектические пространства одинаковой размерности над общим полем скаляров изометрнчны. Подпространство Е» ~ Е называется изотропным, если ограничение скалярного произведення [,1 на него тождественно равно нулю.
Все одномерные подпространства изотропны. 2. Предложение. Пусть Š— симплектическое пространство размерности 2г, Е» с: Š— изотропное подпространство размерносп» г». Тогда г» - г, и если г» ( г, то Е» содержится в изотропном подпространстве максимальной волг»ожной размерности г. Доказательство. Поскольку форма [, [ невырождена, она определяет изоморфизм Е-+ Е*, при котором вектору 1ен Е ставится в соответствие линейный функционал Р ~[Е!'[.
Отсюда следует, что для любого подпространства Е, ~ Е имеем»1»пп Е»» = = »11»п Š— »11»п 1., (ср. 5 7 ч. 1). Если к тому же Е, нзотропно, то Е» с: Ех», откуда г, = д(п» Е,(»11»пЕ~-= »1)в Š— »11»п Е, = — 2г — гп так что г, (г. Рассмотрим теперь ограничение формы [, 1 иа Ц-. Во всем пространстве Е ортогональное дополнение к Е»х имеет размерность дпп Š— 31»п Ц- = »11т Е, по предыдущему рассуждению. С другой стороны, Е, лежит в этом ортогональном дополнении и потому совпадает с ним.
Значит, Е» есть в точности ядро ограничения [, 1 на Е»». Но в Ех имеется симплектический базис в том его варианте, который рассматривался в 3 3, где допускались вырожденные првстранства: (еь ..., е, „,; е, о~ь»„..., еды пй ех»,.п»+», ..., ем,.). с матрицей Грама г-и [ [о [о о»о Размер единичной клетки есть -(»11п»Е» — д(шЕ») = г — г, . Векторы еит т»ы»...., етт „порожда»от ядро формы наЕ(-,т. е.
Е,; »в» добавив к ним, например, еь ..., е, „, получим г-мерное нзотропное надпространство, содержащее Еь 3. Предложение. Пусть Š— свмплектическое пространство размерности 2г, Е~ с: Š— изотропное надпространство размерности г. Тогда существует еругое изотропное надпространство Ет ~ Е размерности г такое, что Е =Е~ Ю Еь и скалярное произведение индуцирует изоморфизм 1, Е;. Доказательство. Мы докажем несколько более сильный результат, полезный в приложениях, а именно установим существование подпространства Ет среди конечного числа изотропиых подпространств, связанных с фиксированным симплектическнм базисом (еь ..., е,; егчь ..., еы) в Е.
Именно, пусть дано разбиение (1, ..., г) = 1Ц У на два непересекающихся подмножества. Тогда г векторов (еь е,.ц)1ен У, )АУ) порождают г-мерное изотропное подпространство в Е, называемое координатным (относительно выбранного базиса). Очевидно, их имеется 2". Покажем, что Е, можно найти среди координатных подпростр анств. Пусть М натянуто на (еь ..., е,) и 01 та(Е~ й М) = з, 0 ( з ( г. Существует такое подмножество 1~(1, ..., г) из г — з элементов, что Е~ й М трансверсально к )т', натянутому на (е;11е= 1), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
