1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 37
Текст из файла (страница 37)
И, Лрнольда «Математические методы классической механики» (Мл Наука, 1974, гл. 5). 6. Теория Морса. Представим себе в (п+!)-мерном евклидовом пространстве к"+! и-мерную гладкую ограниченную гиперповсрхность К, вроде яйца нли баранки (тора) в 11'. Рассмотрим сечения г' гнперплоскостями хх ы = сопз1. Предположим, что имеется только конечное число значений с!, ..., с таких, что !60 гиперплоскости х,+! — — с! касаются )т и притом в единственной точке о; ен т'. Вблизи этих точек касания (т мозкно приблизить графиком квадратичной формы х„+! = с!+ д!(х, — х, (о!), ... ..., х — х„(о!)), если только )т находится в достаточно общем положении (например, бублик не должен лежать горизонтально).
Оказывается, что важнейшие топологические свойства т', — в частности, так называемый гомотопический тип (т — вполне определяются набором сигнатур форм д!, т. е. указанием того, по скольким направлениям т' вблизи о! уходит вниз и по скольким— вверх.
Самое замечательное то, что, хотя информация о сигнатурах д! чисто локальна, восстанавливаемый по ней гомотопический тип (т есть глобальная характеристика формы К Например, если имеются только две критические точки с, и сг с сигнатурами (и, 0) и (О,п), то (т топологически устроена как и-мерная сфера. Подробности читатель сможет найти в книге Дж. Милнора «Теорня Морса» (Мл Мир, 1965). 7. Самосопряженные операторы и многомерные квадрики. Пусть теперь Š— конечиомерное евклидова или унитарное пространство, 1: Е-+.Š— самосопряженный оператор. Нас ннтсресуют свойства его спектра.
Расположим собственные значения 1 в порядке убывания с учетом кратностей: Л, ) Лг ) ... ) Л. и выберем соответствующий ортонормированный базис (еь е,, ..., е,). Вернемся к точке .зрения п. 4 Ч 8, согласно которой задание 1 равносильно заданию новой симметричной или эрмитовой формы (1(1!), 1г) или же квадратичной формы д~(1)=(Ц1),1) (в унитарном случае она квадратична на овеществленном пространстве). В базисе 4е!, ..., е„) она приобретает вид » « д (х„..., х„) = ~ Л!х'; или 2 Л,~хьюг и, таким образом, направления Ке! (или Се,) суть ~лавные оси аь Простейшее экстремальное свойство собственных значений Л! выражается следующим фактом.
8. Предложение. Пусть 5=(1ен Е~ ~1~= 1) — единичная сфера пространства Е. Тогда Л, = шах о!(1), л„= тп(п о!(1). !«э !<я Доказательство. Поскольку (х!1' ) 0 и Л, » ... ) Л„, очевидно На единичной сфере левая часть есть Л„, а правая Л,. Эти значения достигаются на векторах (О, ..., О, 1) и (1, О, ..., 0) соответственно (координаты берутся в базисе (е!, ..., е„), днагонализирующем 1).
9. Следствие. Пусть й — линейная оболочка семейства (еь, ел), Е.д+ — линейная оболочка семейства (ем ..., е«). Тогда Ля гпах(д (Е)~Евин()Е+)=щ!п(д (Е)~!~ЯДЕ- ). Доказательство. Действительно, в очевидных координаи тахограничение д на Ч имеет вид ~ Л,!х,)т, а ограничение на Е;, — вид ) Л, ~ х, !'.
! ! Следующее важное усиление этого результата, в котором вместо А~+ рассматриваются любые линейные подпространства в Е коразмерности й — 1, называется теоремой Фишера — Куранта. Она дает «минимаксную» характеристику собственных значений дифференциальных операторов. 10. Теорема. Для любого надпространства Е.'с Е коразл1ерности А — 1 справедливы неравенства: Ль~(тпах(дг(Е) !Еен ЯЕ)Е.'), Л„ь+~)пап(дЕ(Е)1 Евно()Е.'). Эти оценки точны для некоторых Е. (например, Ед+ и Е,„л, соответственно), так что Лл —— пип гпах (де (Е) ! Е ен 5 Е) Е'), Л„л+, — — гпах ппп (д! (Е) ! Е ~ 8 П Е.') . Доказательство. Поскольку б!гп Е.' + б!п1 Е. †, = (и — А + !) + й = и + 1, а бпп (Е,' + Е „-) ( бип Е= и, из теоремы п.
3 $ 5 ч. 1 следует, что бпп (Е' ПЕ ))!. Возьмем вектор Ея ~ Е' П Е„() 5. Согласно следствию 9 Л = щ!п(д (Е) !Е~ 5() Е„-), так что Лл<д (Е„) и тем более Лл ~ гпах(д!(Е) ~ Е ен 5 Д Е'). Второе неравенство теоремы проще всего получить, применив первое неравенство к оператору — 'Е и заметив, что знаки и порядок собственных значений при этом обращаются. 1!.
Следствие. Пусть опп ЦЕг= 1 и р — оператор ортогонального проектирования Е -+. Ея Обозначим через Л', ) Л',)... » Л,', собственные значения салюсопряженного оператора рЕ: Е.„- Е,ы Тогда Л1~ )Л~ .'ь Ла~ )Лт~ )- ° ~ ~Ля — 1~) Лы т. е. собственные значения операторов Е и рЕ перемежаются. Доказательство. Ограничение формы де на Е., совпадает с др,. (Е(Е), Е) = (рЕ(Е), Е), если Е е= Ео. Поэтому Л' пах (д„Е (Е) ! Е ж Я П Е;) = щах (дЕ (Е) ! Е еи 5 П Е.') для подходящего подпространства Гс: 1ь, имеющего коразмерность й — 1 в Еь. Значит, в 1. оно имеет коразмерность й, откуда Ль, (Л'.
Записав это неравенство для — ) вместо 1, получим — Ль( — Л', т. е. Л' (Л . Это завершает доказательство. Мы предоставляем читателю возможность убедиться в том, что следствие п. 11 имеет следующий простой геометрический смысл. Будем считать, что Л, ) Лг ... ~ Л„> 0 и вместо функции д!(1) на 5 рассмотрим эллипсоид е: у!(Х) = 1. Тогда его сечение еь подпространством Еь также представляет собой эллипсоид, длины полуосей которого перемежаются с длинами полуосей эллипсоида е. Вообразите себе, например, эллипсоид з в Кз и его сечение плоскостью еь. Большая полуось гь ие превосходит большой полуоси е («очевидно»), но ие меньше, чем средняя полуось а.
Малая полуось еь не меньше малой полуоси в («очевидно»), но не больше средней полуоси в. Контрольный вопрос: как получить в сечении окружность9 й 11. Трехмерное евклидова пространство !. Трехмерное евклидова пространство Ь является основной моделью физического пространства Ньютона и Галилея. Четырехмерное пространство Минковского .Ж, снабженное симметричной метрикой сигнатуры (г+, г ) =(1, 3), является моделью простран. ства-времеии релятивистской физики. Уже поэтому они заслуживают более пристального изучения. С математической точки зрения они также имеют особые свойства, существенные для понимания устройства мира, в котором мы живем: связь вращений в Ж с кватернионами и существование векторного произведения; геометрия векторов нулевой длины в Ж.
Эти специальные свойства весьма удобно излагать на языке связи геометрии д' и я с геометрией вспомогательного двумерного унитарного пространства вй, называемого пространством спиноров. Эта связь имеет также глубокий физический смысл, ставший ясным лишь после появления квантовой механики. Мы избрали именно такое изложение. 2. Итак, фиксируем двумерное унитарное пространство вв. Обозначим через ет вещественное линейное пространство самосопряжгнных операторов в,Ж с нулевым следом. Каждый оператор ! ез«Т имеет два вещественных собственных значения; они отличаются только знаком, ибо след, равный нх сумме, обращается в нуль.
Положим !)1= Д бе(! ! — положительное собственное значение 1. 3. Предложение. Ю с нормой ( ~ являвтвя трвхмврным ввнлидовым пространством. Доказательство. В ортонормированном базисе вв операторы 1 представлены эрмитовыми матрицами вида ( ), аев11, ввяС, ,1 ад т. е. линейными комбинациями Ке Ь ° о, + 1гп Ь о, + аом где оь оь о» вЂ” матрицы Паули (см. упражнение 5 к ф 4 ч. 1): о!=(р)о2 — (!в)~о»(в!) Так как о!, о„оз линейно независимы над К, д(та о' =3. Положим теперь (), й)= ~ Тг(!«д). Это билинейное симметричное скалярное произведение, и если собственные значения 1 равны ~Х, то ! ) 1' = — Тг ()) =- — (л«+ л) = ~ де( ) ~ Очевидно, Х'=О тогда и только тогда, когда ) =О.
Это завершает доказательство. Назовем направлением в д' множество векторов вида К „) = (а)' ~ а > 0), где 1 — ненулевой вектор из !э. Иными словами, направление— это полупрямая в д'. Направление, противоположное к К+),— это 1!+( — !)- 4. Предложение. Имеется взаимно однозначное соответствие между направлениями в о и разложейиями Ж в прямую сумму двух ортогональных одно»!ерных надпространств Ж+ !Т! Ж .
Именно, направлению К+) отвечшот Ж+ — собственное надпространство Ж для положительного собствен ого значения 1, Ж то же для отрицательного собственного значения. Доказательство. Ж+ и Ж ортогональны по теореме п. 4 ф 7. Замена ) на а), а ) О, не меняет Ж+ н Ж . Наоборот, если ортогональное разложение Ж=Ж+ЮЖ задано, то множество операторов 1ен д', растягивающих Ж в ) ) О раз вдоль Ж+ и в — Х ( О раз вдоль Ж, образует направление в д'. 5.
Физическая интерпретация. Отождествим о с физическим пространством, например, посредством выбора ортогональных координат в д* н в пространстве. Отождествим Ж с пространством внутренних состояний квантовой системы «частица со спином !/ь локализованная вблизи начала координат» (например, электрон). Выбрав направление й+(с:Ю', включим магнитное поле в физическом пространстве вдоль этого направления.
В этом поле система будет иметь два стационарных состояния, которые как раз и суть Ж+ иМ . Если направление К+( отвечает, скажем, верхней вертикальной полуоси избранной координатной системы в физическом пространстве («ось г»), то состояние Ж+ называется состоянием «с проекцией спина+ '/» на ось г» (или «спин вверх»), а Ж вЂ” соответственно состоянием «с проекцией спина — !/т» (или «спин вниз»). Такая традиционная терминология является реликтом доквантовых представлений о том, что наблюдаемая спина отвечает классической наблюдаемой «момент количества движения» — характеристике внутреннего вращения системы и потому может быть сама представлена вектором в д', который поэтому имеет проекции на оси координат в гт.
Это совершенно неверно: состояния системы суть лучи в Зв, а не векторы в д'. Расхождение с классикой становится еще более очевидным при рассмотрении систем со спином з/2, з.» 1, для которых д)шзв" = з+ 1. Точное утверждение дается именно предложением п. 4. Мы дали идеализированное описание классического эксперимента Штерна — Герлаха (1922). Вместо электронов в нем использовались ионы серебра, проходившие между полюсами электромагнита. Из-за неоднородности магнитного поля ионы, вышедшие в состояниях, близких к ЗЖ+ и Ж соответственно, пространственно разделялись на два пучка, что и позволило макроскопически отождествить эти состояния.
Серебро испарялось в электрической печке, а магнитное поле между полюсами играло роль объединения двух фильтрон, пропускающих раздельно состояния уэ+ и ев" . Продолжим теперь изучение евклидова пространства Ю. 5. Предложение. (1,д)=0 тогда и только тогда, когда )у+ + а!=0. Доказательство.
Имеем (~, д)= — 'Тг(~д)= 4 Тг(1у+й1)= — Тг((~+д)' — ~ — д 1. Но 1» имеет единственное собственное значение ~Д», поэтому все квадраты операторов из д' являются скалярными, значит и )й + ф — скалярный оператор, и он равен нулю тогда и только тогда, когда его след равен нулю. 6. Ортонормированиые базисы в з. Из доказательства предложения п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
