1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 38
Текст из файла (страница 38)
б ясно, что операторы (еь е,„ е») образуют ортонормированный базис тогда и только тогда, когда е',=е,'=е'=(б; е,.е +е,е, О, (Ф1. В частности, если в М выбран ортонормированный базис, то операторы, заданные в нем матрицами Паули оп ам аз, образуют ортонормированный базис в о: т1 ох Теперь мы можем объяснить математический смысл матриц Паули, доказав обратное утверждение. 7.
Предложение. Для козкдого ортонормированного базиса (еьемез) пространства о существует ортонормированный базис (Ь,, Ьз) пространства ев, обладающий твм свойством, что Ан — — оь Ам=аз или — вм Ам«=ом где А,— матрица оператора е в базисе (Ьь Ьт). Он определен с точностью до умножения на комплексное число, по модулю равное единице, Доказательство. Собственные значения е~ суть ~1. Пусть вз = уе+ Ю М', где ез действует на йе+ тождественно, а на тэ — изменением знака. Выберем сначала векторы Ь; ен гэ+, Ьг~ УУ, ~Ь;~=(Ь;~=1. Они определены с точностью до умноже- ния на еьь, е ч*; матрица еа в базисе (Ь'„Ь,;) есть о .
Далее, е, (Ь;) е,е (Ь,') = — е е, (Ь;), так что е, (Ь;) есть ненулевой собственный вектор для ег с собственным значением — 1. Поэтомуе, (Ь;) =аЬ;,. Аналогично е,(Ь;) = рЬ; Матрица е, в базисе (Ь,„Ьг) эрмитова, поэтому а =~3. Наконец, ег1 — 1д, поэтому ар = 1 = ~ссра ='1(1~1~. Заменив (Ь„Ь) на (Ь„ Ьг) = (хЬ;, уЬ;), где ~х~ =~у~ = 1, чтобы превратить матрицу е~ в новом базисе в оь получим е1 (Ь1) = хе~ (Ь1) = хаЬг =- а ху Ьь е~(йэ) =ус~ (Ьг) = урЬ~= рух 'Ьп Поэтому х, у должны удовлетворять еще условию ху-' = а — '; тогда автоматически аху-'=(1ух-' =1.
Можно положить, например, х= 1, у=а. Итак, в базисе (ЬьЬ|) имеем А„=омА„=о„и этот базис определен с точностью до умножения на скаляр, по модулю равный единице. Те же рассуждения, что 'для еь показывают, что то~ в таком базисе А„имеет вид( ~~), где 1у1г=1. Кроме того, (,то условие ортогональности е,еэ+ езе1 = О дает (1о) (р о)+ (ч о) (1 о) т. е. у+ф=О, откуда у Ь либо у= — Ь Поэтому А„=ах или А,х = — от 8.
Следствие. Пространство Е снабжено отмеченной ориентацией: ортонормированный базис (еьем ег) принадлежит к классу, отвечающему втой ориентации, тогда и только тогда, когда существует ортонормированный базис (Ьь Ьг) в ев", в котором А, =о, а=1, 2, 3. Доказательство.
Мы должны проверить, что если (е,) в базисе(Ьь) н (е',) в базизе (Ь',) задаются в точности матрицами Паули, то определитель матрицы перехода от (е,) к (е,') положителен, или что имеется непрерывное движение, переводящее (е ) в (е,'). Мы построим такое движение, показав, что (Ьь) переводится в (Ьь) унитарным непрерывным движением: существует такая система унитарных операторов 1п ув-ч-Ж, зависящая от параметра Фен[0,11, что гь 1д, 1,(Ь )=Ь' и (~с(Ь1), ~~(Ьз)) образуют ортонормированный базис д5 для всех 1, тогда, обозначив 166 через (йч(в~), уз(ез), у~(ез)) ортонормированный базис В', задающийся матрицами Паули в базисе ф(6,), р(йз)), мы построим нужное нам движение в Ю. Пусть (йо Я = (Ьп ЬД0.
Поскольку оба базиса ортопормированы, матрица перехода 0 должна быть унитарна. По следствию п. 7 $8 ее можно представить в виде ехр((А), где А — эрмитова матрица. Тогда для всех 1енА матрица (А эрмитова, а оператор ехр(11А) унитарен, и мы можем положить [,(йь Ьз) =(йь Ез) ехр(ВА), 0(~Г(1. Это завершает доказательство. Операторы о~/2, оз/2, оз/2 в Ж называются наблюдаел~ыми провнз(ий спина на соответствующие оси в В: эту терминологию объясняет квантовомеханическая интерпретация нз п. 5. Множитель '/з введен для того, чтобы их собственные значения были равны ~'/з. 9. Векторное произведение.
Пусть (вь еь ез) — ортонормированный базис в д', принадлежащий отмеченной ориентации. Векторное произведение в Е определяется классической формулой (х~вз + хзвз+ хзвз) Х (УА + Узвз+ Узвз) = (хзУЗ хзрз)в! + (лзУ! %УЗ)вз+ (х!У2 лзУ!)вз' Замена базиса на другой, ориентированный так же, не меняет векторное произведение; если же новый базис ориентирован про- тивоположно, то у него меняется знак. Инвариантную конструкцию векторного произведения нетрудно дать в наших терминах. Вспомним, что антиэрмигова опера- торы в УУ с нулевым следом образуют алгебру Ли зп(2) (см. $ 4 ч. 1). Пространство В" можно отождествить с этой алгеброй Ли, 1 разделив каждый оператор нз Е на й Поэтому на —, В' имеется структура алгебры Ли. Имеем Ь" .[ "т" 1 1 Ч 1 — о„—,о,[=2е,,— о;, где е~зз= 1 и е~ь, кососимметрнчен по всем индексам, или [о' оь[ = 21е ь,а..
Поэтому [ь*, „суй] ь(Я ))((~„, ). так что векторное произведение с точностью до тривиального множителя есть просто коммутатор операторов. Это позволяет без вычислений установить классические тождества хХ~ ух,- л Х(У Хв)+ яХ (х ХУ)+УХ (яХх)-0. Есть еще один способ ввести векторное произведение, одно- временно связав его со скалярным произведением и кватернио- нами. 1О. Кватерииоиы. Как и коммутирование, умножение операто- ров из М', вообще говоря, выводит нас за пределы д".
одновременно нарушается эрмитовость и условие обращения следа в нуль. На самом деле произведение операторов из Й' лежит в 1(Ы+ Ьэ, при- чем «вещественная часть» есть как раз скалярное произведение, а «мнимая» — векторное. Действительно, о,о»= )е,д,а, при а ~ Ь, (а, Ь, с) =(1, 2, 3), /1 Ох так что нли, как пишут физики, (х.а)(у ° о)= (х ° у)а«+1(хХу) о, о=(аь ом аз).
Отсюда видно, что вещественное пространство операторов йЫ + аэ замкнуто относительно умножения. Его базис составляют в классических обозначениях элементы 1 =вО 1= 1о~ 1= (а2 (г= — 1оэ с таблицей умножения 1~=1~=)с'= — 1, Ц=-11=(г, Ы = — Пс=); ))г= — Ц =1, Иными словами, мы получаем тело кватернронов в одном из традиционных матричных представлений (ср.«Введение в алгебру», гл. 9, 5 4). 11.
Гомоморфизм 81)(2)-»$0(3). Фиксируем ортонормированный базис (йьйэ) в Ж и соответствующий ему ортонормированный базис (еьемез) в Е, для которого А,,=оь Любой унитарный оператор (l: Уэ — УУ переводит (аи й«) в (Ьа й;), этому последнему базису отвечает базис (е,', е'„е'), и имеется ортогональный оператор з(У): д'- Р, который переводит (е,.) в (е,').
По следствию п. 8 з(У)ен 30(З), ибо определитель з(У) положителен. Реализовав Ю матрицами в базисе (йь йэ), мы можем представить действие э(б) на э простой формулой: з(б)(А) =РАЙ ' для любых А ~ д'. Действительно, это частный случай общей формулы замены матрицы оператора при замене базиса.
Мы можем теперь доказать следующий важный результат. !2. Теорема. Отображение з, ограниченное на Я)(2), определяет сюръективный гомоморфизм групп Я/(2)- 80(3) с ядром (ЫЕ»). Доказательства Из формулы з((/) (А) = 1/А(/-' сразу видно, что з(Е)= !д и з(И/)=з((/)з(!/), так что з является гомоморфизмом групп. Его сюръективность проверяется так.
Выберем элемент д ен 50(3) и пусть 8 переводит базис (оь ом оз) в 8' в новый базис (пп и'„а'). Построим по нему базис (Ьп Ь») в 38, в котором операторы и', задаются матрицами пь По предложению п. 7 (Ь,', Ь,;) существует с точностью до того, что матрица а'„возможно, равна — пь а не оь На самом деле эта возможность исключена по следствию и. 8, ибо д ен 80(3) сохраняет ориентацию д'. Оператор !/, переводящий (Ьп Ь,) в (Ьпй;,), удовлетворяет условию з((/) = й. Правда, ои может принадлежать лишь 1)(2), а не 8!)(2), Если бе! !/ = в"Р, то в-м/Ч/ея Я/(2). МатРнца в — ич/»Ь пеРеводит (Ьь Ь») в (е ьг/»Ьп в "н»Ь;), а этомУ базису в тэ по-прежнему отвечает базис (оп и', и») в 8'.
Следовательно, также з(в-'ч/»1/) = д, и мы получаем, что з: 8!/(2) — ~-80(3) сюръективен. Ядро гомоморфизма тп (/(2)-~-80(3) состоит только из скалярных операторов (вьэ!д): это следует из предложения п. 7, согласно которому базис (Ь;, Ь,') восстанавливается по (е,', в,', вз) как раз с точностью до умножения на в'ч. Пересечение группы (в'ч!д) с Я/(2) равно в точности (~1о!, что и завершает доказательство.
Смысл построенного гомоморфизма выясняется в топологии: группа 81)(2) односвязна, т. е. любую замкнутую кривую на ней можно непрерывным движением стянуть в точку, тогда как для 80(З) это неверно. Таким образом, 8!)(2) является универсальным накрытием группы 80(3). Мы воспользуемся доказанной теоремой для того, чтобы разо-. браться в структуре группы 80(З), играя на том, что 80(2)' устроена проще. Здесь уместно процитировать Р. Фейнмана: «Не правда ли, странно, что, живя в трех измерениях, мы все же с трудом воспринимаем„что произойдет, если сперва повернуться так, а потом еще как-нибудь. Вероятно, если бы мы были птицами или рыбами и если бы мы на собственном опыте знали, что бывает, когда все время крутишь разные сальто в пространстве, нам было бы легче воспринимать подобные вещи».
(Фейнман Р., Лейтон Р. Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике, вып. 8, гл. 4. — Мл Мир, 1978, с. 101). 13. Структура 8$/(2). Прежде всего, элементы 80(2) суть 2Х2-матрицы с комплексными элементами, для которых (Р = Е и бе1 !/ = 1. Отсюда сразу же следует, что Я/ (2) = (( ) ~ ! а ('+ ! ь г' = 1~. Множество пар ((а,Ь)~ !а!з+ !Ь!'=1) в Сз превращается в сферу единичного радиуса в овеществлении Сз, т. е. К4: (Ке а)'+ (1 гп а)' + (Ке Ь)'+ (1т Ь)' = 1. Итак, группа Я) (2) топологически устроена как трехмерная сфера в четырехмерном евклидовом пространстве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
