1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 42
Текст из файла (страница 42)
е. Е~ й М й )т' =(О). Действительно, множество (базис Е~ й М)Ц Ц(еь ..., е„) пороУкдает М, поэтому базис У.,йМ можно дополнить до базиса М с помощью г — з векторов из (еь ..., е,) по предложению п. 1О $2 ч. 1. Номера этих векторов образуют искомое1, ибо Е|йМ+Ф М, так что Е|йМйУУ=(0). Положим теперь У =(1, ..., г)~,1 и покажем, что изотропное подпространство Ег, натянутое на (еье,+;)1ы У, 1ен У), является прямым дополнением к Еь Достаточно проверить, что У.~ й Ет =(О).
Действительно, из доказательства предложения п, 2 следует, что Е~-=Е„Ц.=Е,, Но Е,йМ содержится в Еь )т' содержится в Еь так что сумма М = Е~ й М+ Ф ортогональна к Е, й Еь Но М нзотропно размерности г, поэтому Мх = М, и Е~ й Ет с: М. Значит, окончательно Е! й Ет = (Е~ й М) й (Е2 й М) = (Е~ й М) й 1у = (0) Линейное отображение Е.,— ~Е", ставит в соответствие вектору 1~Ее линейную форму гп~-~~1,гн] на Еь Оно является изоморфизмом, ибо д!щЕ. = 01гаЕ;= г, а его ядро содержишься в ядре формы ( „), которая, по предположению, невырождена.
Это завершает доказательство. 4. Следствие. Любые лары взаимно дополнительных изотропных надпространств в Е одинаково расположены: если Е = Е, ® Ет= =Е',9Е~~, то существует изометрия 1; Е- Е такая, что 1(Е,)= = Е'о У (1.,) = Ц. Доказательство. Выберем базис (еь ..., е,) в Е~ и двойственный к нему базис (е,+ь ..., ем) в Ег относительно описан- 182 ного выше отождествления Е~ — ~-Еь Очевидно, (еь ..., ем) есть снмплектнческий базис в Е.
Аналогично построим симплектический базис (еп ..., е,') по разложению ЕЯЦ. Линейное отображение ): е,. ~е',, 1= 1, ..., 2г, очевидно, является требуемой изометрией. Из этого следствия н предложений пп. 2, 3 следует, что любые изотропные подпространства одинаковой размерности в Е переводятся одно в другое подходящей нзометрией. 5. Симплектическая группа. Множество всех изометрий ~: Х;~Е симплектического пространства образует группу. Множество матриц, представляющих эту группу в симплектическом базисе (еь ..., е„), называется симллектической группой и обозначается Яр(2г, Л'), если йш 1.
=2г. Условие А ~ Яр(2г,Л) равносильно тому, что матрица Грама базиса (еь ..., ет )А совпадает с 1ы =( ), т. е. что Л'1мА =!то так что де1А = ~1;ниже мы ! о п,~ — й„о ) докажем, что йе1А =! (см. и. 11). Поскольку 1' = — Е,„, это условие можно записать также в виде А = — 1„(А')-'1„. Отсюда вытекает 6.
Предложение. Характеристический многочлен Р(1) = йе1 (1Еэ, — А) симплектической матрицы ° Л возвратен, т. е. РЯ = Р'Р (1-'). Доказательство. Имеем, пользуясь тем, что ое(А =1, йе1(1ń— Л)= йе1(1Е, + 1„(А') '1т',.)= се((1ń— (А') ') = = йе1(1Л вЂ” Е,„)=1ыйе1(! 'Ет,— А )=1з'Пе((! 'Ем — А). 7. Следствие. Если Л" = — К и А — еимплектическал матрица, то вместе с каждым собственным значением Х у Л есть собственные значения Х вЂ” ', Я. и Я Доказательство. Поскольку А невырождена, Хчьб и Р(),")= Х.чиР(Х) = О. Поскольку коэффициенты Р вещественны, Р 9) = Р(Х) = О. Комплексное сопряжение есть симметрия относительно вещественной оси, а отображение Х +Х-' — симметрия относительно единичной окружности.
Значит, комплексные собственные значения А появляются четверками, симметричными одновременно относительно вещественной осн н единичной окружности, а вещественные собственные значения — парами. 8. Пфаффиан. Пусть к'" — координатное пространство, А— невырожденная кососимметрическая матрица порядка 2г над Л'. -ь -> -э" Скалярное произведение (х, у) =л'Лу в Л"" невырождено и косо- симметрично. Переходя от исходного базиса к симплектическому, получаем, что для матрицы А найдется такая невырожденная матрица В, что откуда де! А = (де1 В) '. Итак, определитель каждой кососнмметрической матрицы является точным квадратом.
Это наводит на мысль попытаться извлечь из определителя квадратный корень, который был бы универсальным многочленом от элементов А. Это действнтельно возможно. 9. Теорема. Сувцествует единственный многочлен с целыми коэффициентами Р1А от элементов кососимнегрической матрвсцы А такой, что де!А =(Р1А)в и Р1( . ')=-1. Этот многочлен О егх называется пфаффианом и обладает следуюсцим свойством: Р1(В'АВ) = де! В ° Р1 А Поэтому Р1(ВвАВ) = ~ бе! ВР1 Л. Чтобы установить знак, достаточно выяснить его в случае А = 12„ В = В,„, где он, очевидно, положителен.
19. Примеры. Р1( ';")= „; авв ам авв авв о = — аВВаВВ+ ав а~л — аешь. — а„о О Р1 12 — а12 а1 ° а12 О для любой матрицы В. (В случае с)вагдУ'~0 коэффициенты Р1 »целы» в том смысле, что лежат в простом подполе поля Л', т, е. являются суммами единиц.) Доказательство. Рассмотрим т(2т — 1) независимых переменных над полем Ж (ац~1 =1 1(2т). Обозначим через К ноле рациональных функций (отношений многочленов) от аи с коэффициентами нз простого подполя поля Лг. Положим А =(ац), где ан= — ан пРи в ) 1, ав = О, и введем на кооРдинатном пРостранстве 1(вг невырожденное кососимметрическое скалярное произведение лгЛу.
Перейдя к симплектическому базису с помощью некоторой матрицы В, получим, как выше, де! А = (де! В) 2. Априори 4е! В является лишь рациональной функцией от ао с коэффициентами из 1) нлн простого поля конечной характеристики. Но так как де!А — многочлен с целыми коэффициентами, квадратный корень нз него также должен иметь целые коэффициенты (здесь мы пользуемся теоремой об однозначном разложении на множители в кольце многочленов У!а11) нли Г (ан) ). знак ° т1де(А, очевидно, однозначно фиксируется требованием, чтобы значение ЬЯе112, было равно единице. Последнее равенство нз формулировки теоремы устанавливается так.
Прежде всего, В'АВ кососимметрична вместе с А, так что Р(в(В'АВ) = сне!(В'АВ) =(де! В)в де!А =(де! В)'Р12 Л. 11. Следствие. Определитель любог7 сихаплектической матрицы равен единице. Доказательство. Из условия АЧмА =-7м и теоремы п. й следует ! = Р1 У~ = Р1 (А~УмА) = г!е! А Р1 Уь что доказывает требуемое. Мы пользовались этим фактом прн доказательстве предложения п. 6. 12. Связь ортогональной, унитарной и симплектической групп. Пусть 1(м — координатное пространство с двумя скалярными произведениями: евклидовым (,) и симплектическим [,1: (х, у)=х'у; и -~ и [х, у)= х'йму=(х, йму). Поскольку 12 = — Езп оператор !и определяет на 11м комплексную структуру (см.
$ !2 ч. 1) с комплексным базисоьг (ег+ !е,+!~! =1, ..., г), относительно которой имеется эрмитово скалярное произведение (х, у)=(х, у) — 1[х, у! (см. предложение п. 2 $ 6). В терминах этих структур имеем 13 (г) = О (2г) П Яр (2г) = О1. (г, С) () 8 р (2г) = О1 (г, С) П О (2г). Мы оставляем читател|е проверку в качестве упрагкнения. $14. Теорема Витта и группа Витта 1.
В этом параграфе мы изложим результаты Витта, относящиеся к теории конечномерных ортогональных пространств пад произвольными полями. Они уточняют теорему классификации из й 3 и могут рассматриваться как далеко идущее обобщение теоремы инерции и понятия о сигнатуре. Начнем с некоторых определений. Как обычно, считаем характеристику поля скаляров не равной двум. Гиперболической плоскостью называется двумерное пространство Е с невырожденным симметричным скалярным произведением (,), имеющее ненулевой изотропный вектор.
Гиперболическим пространством называется пространство, разлагающееся в прямую сумму попарно ортогональных гиперболических плоскостей. Апизотропньии пространством называется пространство, не имеющее (ненулевых) нзотропаых векторов. Над вещественным полем анизотропные пространства Е имеют сигнатуру (и, 01 или (О, п), где и = б!гп(.. Мы сейчас покажем, что гиперболические пространства суть обобщения пространств с сигнатурой (и, гп). 2.
Лемма. У гиперболической плоскости 1. всегда существуют базисы (еи ег) с лштриуей Грама(о ~) и (е„еч) с магараджей г~ о~ Грама (~ о). Доказательство. Пусть 1енЬ, (1,1)=О. Если Вен 1. не пропорционален 1, то (1ь 1)чьО, ибо 1. невырождена. Можно считать„что (1ь1)=1. Положим е,=1, е,=1,— ' ' 1. Тогда (1ь 1,1 (еь еч) (ем ез)= О, (еь ег)= 1.Положим е', = ' ', е',=- — ' Тогда (е'„е',)=1, (е', е',)= — 1, (ее е.',)=О. Лемма доказана Базис (еьез) мы будем называть гиперболическим. Лналогично, в общем гиперболическом пространстве мы будем называть гиперболическим базис с матрицей Трама, состоящей из диагональных блоков (1 о). 3. Лемма. Пусть 1гч: 1.— изотропное надпространство в невы- рожденном ортогональном пространстве 1., (еь .
„., е ) — базис в 1.ы Тогда существуют такие векторы е'„..., е' ~ 1., что (е„ е',, ..., е, е') образуют гиперболический базис своей линейной оболочки. Доказательство. Пусть 1., — линейная оболочка (е,, ... ..., е ). Так как (л строго меньше (.ы то М строго больше (.о в силу невырожденности 1.. Пусть е~ чн (лг; М Тогда (еь е;) = 0 при1 ъ2, но (ег е,) чь О. Можносчитать, что(е",, е,) =1, так что е" пе пропорционален е,. Как в доказательстве леммы п. 2, положим (е, е,) е', = е", — — ег Тогда (е„е',) образуют гиперболический базис своей линейной оболочки. Ортогональное дополнение к ней невырождено и содержит изотропное подпространство, натянутое на (ем ..., е ). К этой паре можно применить аналогичное рассуждение, и индукция по т дает требуемое.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
