1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Пусть в пространствах А1, АО выбраны системы координат, отождествляющие их с Х'", Х" соответственно. Тогда любое аффинно линейное отображение ~: А1-»АО можно записать в виде 1(х) = Вх + у, где  — матрица отображения О) в соответствующих базисах В1, Ц. а у — координаты вектора 1(аО) — а," ,в базисе Е.;, а,',— нача- ло координат в Аи а" — начало координат в Ав Действительно, Ф» Ф отображение х Вх+уаффинно линейно, переводит а,' в )(а') и имеет ту же линейную часть, что и 1.
б) Другой вариант данного определения системы координат со- стоит в том, чтобы заменить векторы (еь ..., е,) точками (а»+ еь ..., аь+е ) в А. Положим а1 = а»+ е1, 1= 1,,п. Координаты точки а ~ А находятся тогда из представления а аО + )'., х1(а, — аь). Возникает соблазн «привести по« добные члены» и написать выражение справа в виде 1 — Х х1 о + 1=1 +) х,апОтдельные члены в этой сумме не имеют смысла! Тем не менее оказывается, что суммы такого вида можно рассматри- вать, и они весьма полезны. 15.
Предложение. Пусть а,, ..., а,— любые точки аффинного в пространства А. Для любых уО, ..., у,~Ж с условием ~,у,=1 в О определим формальную сумму ~, у,а, выражением вида 1 О ' у,а, = а + ~ у1 (а, — а), 1-О еде а — любая точка А, Утверждается, что выражение справа не зависит от а, Поэтому точка ~~„у,а1 определена корректно. Она 1-О называется барицентрической комбинацией точек аО, ..., а.
с коэффициентами уо, ° - ° У ° Доказательство. Заменим точку а на точку а+ 1, 1ен1.. Получим $ « а+1+ ~ У1(а1 — а — !)=а+ Х. У1(а1 — а)1 в О 1 О ибо 1 — Х у,~1= О. Мы пользовались здесь правилами, сфор- ~-о мулированными в п. 6. Читателю будет полезно провести эту выкладку подробно. 16. Следствие. Система (ао, а, — ао, ..., а„— ао), состоящая из гочки во он А и векторов а~ — ао в 1„образует систему а4финных координат в А тогда и только тогда, когда любая гочка А однозначно представимо в виде барицентрической комбинации х,ао х~ а=Ж, ~ хо 1.
-о г-о Когда это условие выполнено, система точек (ао, ..., а ) называется барицентрической системой координат в А, а числа хо, ... о ..., х„— барицентрическими координатами точки ~ х~аи Доказательство. Все непосредственно следует из определений, если вычислять )" х,а, по формуле ао+ Е хг (ао — ао). о-о 1 1 Действительно, так как любая точка А однозначно представляется в виде ао + 1, ! ен 1„ система (ао, а~ — ао, ..., а„ вЂ” ао) является аффннпой системой координат в А тогда и только тогда, когда всякий вектор !е= Е однозначно представляется в виде линейной комбинации ~ х,(а, — а,), т. е.
если (а~ — ао, ..., а, — ао) обраь ! зуют базис Е. По координатам хь ..., х,.вектора ! барицентрические координаты точки ао+ ! восстанавливаются однозначно в л виде 1 — ,'Ехо хо х„..., х„. о ! 11. С барицентрическими комбинациями можно во многом обращаться так же, как с обычными линейными комбинациями в линейном пространстве. Например, слагаемые с нулевыми коэффициентами можно выбрасывать. Наиболее полезное замечание состоит в том, что барицентрическая комбинация нескольких барицентрических комбинаций точек ао, ..., а, в свою очередь является барицентрической комбинацией этих точек, коэффициенты которой можно вычислять по ожидаемому формальному правилу~ Действительно, 8 м Я Ю И$ Х ~'„хоусо ~', хо ~ ум „~, хо 1, так что последняя комбинация барицентрична.
Вычисляя левую и правую части этого равенства по правилу, сформулированному в предложении п. 15, с помощью одной и той же точки а жА и применяя формализм п, 6, легко получим, что они совпадают. Наконец, барицентрические комбинации ведут себя как линейные комбинации относительно аффинных отображений. 18. Предложение.
а) Пусть 1: А! — «А» — аффинное отображение и ао, ..., а,енА!. Тогда / б а ~Щ х!а!~= ~ хо((а!), если Дхс=1 ° б) Пусть ао, ..., а„задают барицентричесную систему координат в А!. Тогда для любых точен Ьо, ..., Ь„енА» существует единственное аффинное отображение 1, переводящее а! в Ьь ! = 1, ..., п.
Д о к аз атель с т во. Выбрав а ~ Аь получим / 5 / 5 ~~~ хоа!)=)~а+ ~ х,(а, — а)) =1(а)+Я ~~х,(а, — а))= о-о г-о 1-о 1(а)+ ~х!01 (а! — а)=1(а) + ~', х,(1 (а!) — 1(а))=Д хи'(а!) по предложению и. 15, что доказывает утверждение а). Если ао, ..., а„образуют барнцентрическую систему координат в Аь то по следствию и. 16 всякая точка А представляется единственной барицентрической комбинацией ~~! х!а,. Определим -о тогда теоретико-множественное отображение 11 А!-«Ао формулой /!31л 1~~т, х!а!)= ~ х,Ь,. В силу а) зто единственное возможное апре/-о г-о деление, и нужно лишь проверить, что 1 — аффинное отображение.
Действительно, вычисляя, как в предложении п. 15, получаем л о х,а,) — !'~~ у!а!)= Х х!Ь! — ~ уоЬ,=Ь + )„х!(Ь вЂ” Ь)— с-о ю-о 1-о !-о о Ч» / !! И вЂ” (ь.!- Я ц!ь, — !!) = с о! — !! !! — ь!-о! (К о — Я«а) с-о -о о-о ю-о где 01; Т.! — «Т,,— линейное отображение, переводящее а! — а, в Ь! — Ьо для всех 1=1, ..., и. Оно существует, ибо а,— ао, ..., а„— ао по предположению образуют базис Е~. 19, Замечания. В аффинном пространстве й" барицентрическая 1 комбинация ~ — а, представляет положение «центра масс» си! ! стемы единичных масс, помещенных в точках а!. Этим объясняется терминология.
Если а!=(0, ..., 1, ..., О) (единица на 1-м месте), то множество точек с барицентрическими координатами х1, ..., х„, 0<х! 1, составляет пересечение линейного много- образия Х «! = 1 с положительным октаитом (точяее, «2"-тактом»). Г=, В топологии это множество называется стандартным (л — 1)-мер- ным симллексом. Одномерный симплекс — это отрезок прямой, двумерный — треугольник, трехмерный — тетраэдр. Вообще, мно- « ~ « (е*р„к*,-!, в<*,«~) ° ! ы ьг=! ' 1 с-! с вершинами а!, ..., а, в вещественном аффинном пространстве. Он называется вырожденным, если векторы ໠— аь ..., а„— а! линейно зависимы.
й 2. Аффинные группы 1. Пусть А — аффинное пространство над полем Л'. Множество аффинных бнективных отображений 1: А-!.А в силу предложения п. 1О $1 образует группу, которую мы будем называть аффинной группой и обозначать АНА. Ее отображение Р: АНА — 01.(Е), где ОЬ(Е) — группа линейных автоморфизмов ассоциированного векторного пространства, является гомоморфизмом. Он сюръективен по предложению п.
11 $1 и имеет своим ядром группу сдвигов (1!~1«пЦ по следствию п. 13 $1. Эта группа сдвигов изоморфна аддитивной группе пространства Е по предложению п. 4 $ 1. Таким образом, АНА есть расширение группы 0Е(Ц с помощью аддитивной группы 1., которая является нормальным делителем в АНА. Это расширение является полупрямым произведением 01.(С) и Е. Чтобы убедиться в этом, фиксируем любую точку а ~А и рассмотрим подгруппу 6, с: АН А, состоящую из отображений, оставляющих а на месте.
По предложению п. 11 $1 каждый элемент 1еп 6, однозначно определяется своей линейной частью Р1, и Р1 можно выбирать как угодно. Следовательно, Р индуцирует изоморфнзм 6, с 01. (Е). Для любого отображения 1 ~ АП А можно найти единственное отображение 1„еп 6, с той же линейной частью, и 1 = й ° 1, для подходящего 1~ 1. по следствию и. 13 $1. Фиксирован а, будем записывать й ° („в виде пары (р; 11, где д= Р1= Р1, ен 01.(Е). Правила умножения в группе АПА на языке таких пар имеют следующий вид.
2. Предложение. Имеем (й!1 1!) Ыь 12) (е!а!~ а!(12) + 1!Ь (к' 11 Ы '1. а '(1)1. Доказательство. Согласно определениям (д; 1) переводит точку а+т епА в а+у(т)+1, откуда (а! 1!1 !э2 1') (а+ т) Ы!1 Ц (а + е! (т) + 1 ) — а + й! (д, (т) + 1,) + 1, а + д!л, (т) + д! (1») + 1, = =(аа!; а(1.)+1!)(а+ ), $0! что доказывает первую формулу. Вычисляя с ее помощью произведение (д; 1) (у-'; — д-'(1)), получаем (1йс; О]; а зта пара представляет тождественный элемент АИА. Это завершает доказательство предложения и показывает, что АНА — полупрямое произведение.
3. Пусть теперь 6 с: 01.(Е) — некоторая подгруппа. Множество всех элементов (еи АНА, линейные части которых принадлежат 6, очевидно, образуют подгруппу в АИ А — прообраз 6 относительно канонического гомоморфиэма АИА — ь-01.(Ц. Мы будем называть ее а4финным расширением группы 6. Особенно важен случай, когда ассоциированное с А линейное пространство снабжено дополнительной структурой — скалярным произведением, а 6 представляет собой соответствующую группу изометрий.
Так строятся две важные в приложениях группы: группа движений аффинного евклидова пространства (6 = 0(л) ) и группа Пуанкаре (Š— пространство Минковского, 6 — группа Лоренца). Изучим подробнее группу движений. 4. Определение. а) А4финным евклидовым пространством называется пара, состоящая из аффинного конечномерного пространства А над полем вещественных чисел и метрики й на нем (в смысле определения и. 1 $10 ч. 1), которая обладает следую- и(им свойством: для любых точек а, Ь е-=А расстояние а(а, Ь) зависит только от а в Ь ы Е и совпадает с длиной вектора а — Ь в лодходяи(ей евклидовой метрике пространства Е (не зависящей от а, Ь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
